超详细中职数常用公式及常用结论大全(精华版)

中职数学常用公式及常用结论大全
1. 常见数集： N---自然数集2，充要条件：
N * ---正整数集
Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集
（ 1）充分条件：如
p
q ，就 p 是 q 充分条件 .
（ 2）必要条件：如 q p ，就 p 是 q 必要条件 .
（ 3）充要条件：如 p
q ，且 q p ，就 p 是 q 充要条件 .
注：假如甲是乙的充分条件，就乙是甲的必要条件；反之亦然
.
3，一元二次方程 ax 2 bx c 0(a
0)
（ 1）求根公式： x
b
b
2
4ac 2a
（ 2）根与系数的关系：
4，不等式的基本性质：
x 1 x 2
b c ， x 1 x 2
a
a
（ 1）如 a
b ，就 a
c b c ；
（ 2）如 a b ，且 c （ 3）如 a b ，且 c 5，一元一次不等式
（ 1）
（ 2） 0 ，就 ac bc 0 ，就 ac bc
b a
b a
（ 3）留意在解一元一次不等式组时，最终肯定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不等式组的解集；
6，一元二次不等式
（ 1） ax
2
bx c 0(a 0) 的解集： x x x 1或x x 2 x 1 ， x 2 是对应方程的两个根且 x 1 < x 2
（ 2） ax 2 bx c 0( a 0) 的解集：
x x
x x x ， x 是对应方程的两个根且
x < x
1
2 1
2
1
2
7，含肯定值的不等式
（ 1） x
a(a 0) a, a
（ 2） x
a(a 0) , a a,
（ 3） ax
b c(
c 0) ax b
c 或ax b c
（ 4） ax
b c(
c 0)
c ax b c
8，定义域
口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；
偶次方根非负，零和负数无对数； 零的零次方无意义，正切函数角不直；
其余函数实数集，多种情形求交集；
9，二次函数的图像与性质
ax b 0( a 0)
ax b x ax b
0(a 0)
ax b
x
0) .
（ 1）解析式： 一般式： y ax 2 bx c
顶点式： y a x
b 2a
2
4ac 4a
b 2
交点式： y a x x 1 x x 2
（ 2）图像与性质 10 ，分数指数幂 (1) m a
n 1
n a
m （ a 0, m , n N ，且 n 1 ）
. (2) a
m
n 1
m a
n （ a 0, m, n N ，且 n 1 ）
. 11．有理指数幂的运算性质 (1) a r a
s a r s ( a
0, r , s Q ) .
(2)
(a r )
s a rs (a
0, r , s Q ) .
(3)
(ab )r
a r
b r (a 0, b 0, r Q ) .
12，常用指数值 : a 0 1 a 0 ;
a
1
1 a 0 a 13，指数式与对数式的互化式 log a N
b
a
b
N (a 0, a 1, N
14．对数的四就运算法就
如 a ＞0， a ≠ 1， M ＞ 0， N ＞ 0，就 (1) log a ( M N ) log a M
log a N ;
(2) log
M log M
log N ;
a
a
a
N
(3) log a M
n l og a M (n R ) .
15，常用对数值 ： log a 1 0 ； log a a 1
16，指数函数与对数函数的图像与性质
y a x
(a 0且a 1)
y log a x( a 0且a 1)
定义域
, 0,
值域
0,
,
单调性
增函数
减函数
增函数
减函数
17， 等差数列
（ 1）等差数列定义： a n
a n 1 常数 d （ 2）等差数列的通项公式
a n a 1 (n 1)d ；
（ 3）如 a, b, c 成等差数列
b 是 a,
c 的等差中项
2b a c
（ 4）其前 n 项和公式为 s n
18，等比数列
n(a 1 2
a n )
na 1
n(n 1)
d . 2
（ 1）等比数列定义：
a n 常数 q
a n 1
（ 2）等比数列的通项公式
a
a q
n 1
a 1 q n (n N *
) ；
n
1
q
（ 3）如 a, b, c 成等比数列 b 是 a, c 的等比中项
b
2
ac
（ 4）其前 n 项的和公式为 s n
a 1 (1
1
q n
) , q 1
q na 1 , q 1
n
2
2
19，三角函数定义 已知角
终边上一点
P
（ x,
y) ，设
OP r
x 2 y 2
就： sin
y
,cos x
, tan y ；
r
r
x
20，三角函数值在各象限的符号
口诀： 一全正；二正弦正；三正切正；四余弦正； 21，诱导公式：
口诀 ：奇变偶不变，符号看象限； 22，同角三角函数的基本关系式
sin
2
cos
2
1 ； tan =
sin ；
cos
23，和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin
；
cos(
) cos cos
sin sin ；
tan(
)
tan
tan 1 tan tan
；（子同母异）
24，二倍角公式
sin 2
sin cos ；
cos 2
cos
2
sin
2
2cos
2
1 1 2sin
2
；
tan 2
2 tan .
1 tan 2
25， y
Asin( x
) B 的周期与最值 (A, ω , 为常数，且 A>0)
2
(1) 周期： T
(2) 最值：
1 sin x 1 A Asin
x A
A B Asin
x
B A B
(3)(3)
y a sin x b cos x a
2
b 2
sin( x
)
26，正弦定理 a b c 2 R .
27，余弦定理
sin A sin B
sin C
（ 1） a 2
b 2
c 2
2bc cos A ； b 2
c
2
a
2
2ca cos B ； c
2
a
2
b 2
2ab cosC . （ 2）推论： cos A
b
2
c
2
2bc
a
；
cos B a 2
c
2
2ac
b
；
cos C a
2
b
2
c
2
2ab
28，三角形面积定理
（1）S 1
ah
1
bh
1
ch （h ，h ，h 分别表示a，b，c 边上的高）.
a b c
2 2 2 a b c
（2）S 1
ab sin C
1
bc sin A
1
casin B .
2 2 2
29，三角形内角和定理
在△ ABC中，有 A B C C ( A B)
C A B
2C
2 2 2
30，向量的加减运算
2 2( A B) ；
（1）AB BC AC (首尾相连)
（2）AB AC CB (同一起点)
31，实数与向量的积的运算律
设λ ，μ 为实数，那么
(1) 结合律：λ( μa)=( λμ) a;
(2) 第一安排律：( λ+μ) a=λa+μa;
(3) 其次安排律：λ( a+b)= λa+λb.
32，向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b ·a （交换律）;
(2) （a）·b= （a·b）= a·b= a ·（b）;
(3) （a+b）·c= a ·c +b ·c.
33，a 与b 的数量积( 或内积)
a·b=| a|| b|cos θ．
a b
cos
a b
34. 平面对量的坐标运算
(1) 设a= ( x1, y1 ) , b= ( x2, y2) ，就a+b= ( x1x2, y1y2 ) .
(2) 设a= ( x1, y1 ) , b= ( x2, y2) ，就a-b= ( x1x2 , y1y2 ) .
(3) 设A (x1, y1 ) ，B( x2, y2 ) , 就AB OB OA ( x2x1, y2y1) .
(4) 设a= ( x, y), R ，就a= ( x, y) .
(5) 设a= ( x1, y1) , b= ( x2, y2) ，就a·b= ( x1x2y1y2 ) .
35，两向量的夹角公式
cos
x
1
x
2y1y2( a= ( x , y ) , b= ( x , y ) ).
x2 y2 x2 y2 1 1 2 2
1 1
2 2
36，平面两点间的距离公式
中
中
0 0
d
= | AB| AB AB ( x
x )2 ( y
y )2
(A
( x , y ) ， B (x , y ) ).
A, B
37，向量的平行与垂直
2
1
2
1
1
1
2
2
设 a= (x 1, y 1) , b= ( x 2 , y 2 ) ，且 b 0，就
a|| b
b =λ a
x 1 y 2 x 2 y 1 0 .
a b(a 0)
a · b=0 x 1x 2
y 1 y 2 0 .
38，线段 AB 的中点，长度公式
如A ( x 1, y 1 ), B ( x 2 , y 2 )，中点 M （x 中，y 中）就 x x 1 x 2
， y y 1 y 2 2
2
39，斜率公式
k tan
y 2 y 1
（ P (x , y ) ， P (x , y ) ）.
x 2 x 1
1
1
1
2
2
2
40，直线的三种方程
（ 1）点斜式
y y 1
k( x x 1)
( 直线 l 过点
P 1 (x 1, y 1 ) ，且斜率为 k ) ．
（ 2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).
（ 3）一般式 Ax By C
0 ( 其中 A ，B 不同时为 0).
41，两条直线的平行和垂直
(1) 如 l 1 : y
k 1x b 1 ， l 2 : y k 2x b 2
① l 1 || l 2
k 1 k 2, b 1 b 2 ;
② l 1
l 2
k 1k 2
1 .
(2) 如 l 1 : A 1x B 1 y C 1
0 , l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 , 且 A 1，A 2，B 1，B 2 都不为零 ,
① l || l A 1 B 1 C 1 A B A B 0且A C -A C =0 ； 1
2
1 2
2 2
1 2 2 1
A 2
B 2
C 2
② l 1
l 2 A 1 A 2 B 1B 2 0 ；
42. 点到直线的距离
d | Ax 0 By 0 C | ( 点
P(x , y ) , 直线 l ： Ax By C 0 ). 留意直线肯定要是一般式； A 2 B
2
43. 圆的两种方程
（ 1）圆的标准方程
( x a)
2
( y b)
2
r 2
.
圆心坐标：（ a,b ）
半径： r
（ 2）圆的一般方程
x
2
y
2
Dx Ey F 0 ( D 2
E
2
4F ＞ 0).
圆心坐标：D
,
E
2 2
半径：r
D 2
E 2 4 F
2
44，直线与圆的位置关系
设直线l ：ax by c 0 ，圆C ：x 2y 2Dx Ey F 0 ，圆的半径为r ，圆心( D
,
2
E
) 到直
2
线的距离为 d ，就判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d r 时，直线l 与圆C 相离；
（2）当d r 时，直线l 与圆C 相切；
（3）当d r 时，直线l 与圆C 相交；
45，二次曲线（椭圆双曲线抛物线）
椭圆看大小 a 最大，双曲线看正负c最大；
45，抛物线的标准方程
n *
P m
46，直线与圆锥曲线相交
弦长公式
AB ( x x )2
( y
y )2
= (1 k 2
)
2
x
x
4 x x
1
2
1
2
1
2
1 2
（弦端点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，由方程
y kx b 消去 y 得到 ax 2
bx c 0 ，
0 , 为直线
AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）
.
47，分类计数原理（ 加法原理）
N m 1 F( x, y) m 2 0
m n .
48，分步计数原理（ 乘法原理 ）
49，排列数公式
N m 1 m 2
m n .
P
m =
n( n 1)
(n m 1) .( n ，
m ∈ N ，且 m n ) ．注 : 规定 0. 1.
50，组合数公式
P m
n( n 1)
(n m 1)
C
m
=
n
=
m
1 2
( n ∈ N ， m
N ，且 m n ).
m
51，组合数的两个性质
(1) C m =C n m ； (2) C m + C m 1 = C m ； 注: 规定 C 0
1 .
n n n n n 1 n
52，排列组合应用
重复（ 3信4邮） 在于不在用优先
分类
有序( 排列) 相邻问题用捆绑
分步 不重复
无序( 组合)
相隔问题用插空
* n。