浅谈几类积分因子的应用

浅谈几类积分因子的应用
摘 要 本文讨论了几类特殊积分因子存在性的基本准则,并通过实例说明其应用方法,解决了某些一阶常微分方程的求解问题.
关键词 积分因子;恰当方程;应用.
常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一,其主要的研究问题是对常微分方程求解.在常微分方程理论中,一阶常微分方程是微分方程的基础,在常微分中占有举足轻重的地位.一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解.这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的.
本文将根据积分因子的定义及性质,在原有求积分因子方法的基础上,对其进行加深和扩充,给出一些特殊的积分因子,并结合具体问题进行分析讨论,为解决某些特殊的线性微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具,避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目.
1 预备知识
定义1[1] 将一阶方程
()y x f dx
dy ,= 写成微分的形式()0,=-dy dx y x f 或把y x ,平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程
()()0,,=+dy y x N dx y x M . (1) 这里假设()()y x Y y x M ,,,在某矩形域内是y x ,的连续函数,具有连续的一阶偏导数. 这样的形式有时便于探求方程的通解.
如果方程（1）的左端恰好是某个二元函数()y x u ,的全微分,即
()()()
dy y
u dx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂≡≡+ ,,, 则称(1)为恰当微分方程.
容易验证方程(1)的通解就是
c y x u =),( (c 是任意的常数)
定理1 方程(1)是恰当方程的充要条件是
x
N y M ∂∂=∂∂. 恰当方程容易求解,但并不是所有的对称式方程都是恰当方程,因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程具有很大的意义,积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.
定义2 如果存在连续可微的函数()0,≠=y x μμ,使得
()()()()0,,,,=+dy y x N y x dx y x M y x μμ,
为一恰当方程,即存在函数υ,使
υμμd Ndy Mdx ≡+, (2) 则称()y x ,μ为(1)的积分因子.这时()c y x =,υ是(2)的通解.因而也就是(1)的通解.
注 同一个微分方程的积分因子如果存在,不一定是唯一的. 例如,0=-xdy ydx 的积分因子有：2
2221,1,1,1y x xy x y ±等. 由文[1]知函数()y x ,μ为(1)的积分因子的充要条件是
()()x
N y M ∂∂=∂∂μμ. （3） 定理2 对于方程（1）,当x
N y M ∂∂≠∂∂时,()y x ,μ是其积分因子的充要条件是 y M x N x N y M ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂μμμ （4） 证明 由（3）知()y x ,μ为方程（1）的积分因子的充要条件是
()()x
N y M ∂∂=∂∂μμ,从而有 x
N x N y M y M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μμμμ
, 即 y M x N x N y M ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂μμμ.
2 几类特殊积分因子的存在性
定理 3 一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(y x +μ积分因子的充要条件是：N
M y M x N -∂∂-∂∂是y x +的函数. 证明 假设积分因子为),(y x μ,则由定理2可知
y M x N x N y
M ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂μμμ, 令z y x =+,则有 dz d x z dz d x μμμ=∂∂⋅=∂∂,dz
d y μμ=∂∂, 即
)()(y
M x N dz d N M ∂∂-∂∂=-μμ, 当N M ≠时,进一步整理得到
dz N
M y M x N d -∂∂-∂∂=μμ, 即方程右端函数N
M y M x N -∂∂-∂∂仅与z 有关.从而,方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(y x +μ积分因子的充要条件是：N
M y M x N -∂∂-∂∂是y x +的函数,且此时积分因子为⎰=+dz z e y x )()(ϕμ,其中N
M y M x N z -∂∂-
∂∂=)(ϕ. 定理 4 一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(xy μ积分因子的充要条件是：Ny
Mx y M x N -∂∂-∂∂是xy 的函数.
定理 5一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 具有)(22y x +μ积分因子的充要条件是：My
Nx x N y M -∂∂-∂∂是22y x +的函数. 定理4,5的证明与定理3的证明类似.
3 应用举例
例1 求)([]0)(2=+++++dy y x dx y x y x 的积分因子及通解.
解 y x y x y x M +++=+2)()(,y x y x N +=+)(,
故有
[]y x y x y x N M y M x N +-=+++-=-∂∂-∂∂2)
(1)(212, 从而有
()22)(1)(y x e
y x y x d y x +=⎰=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μ, 则原方程变为01)11(=++++dy y
x dx y x ,其为恰当方程,整理可得 0)(1=+++y x d y
x dx , 故方程的通解为
C y x x =++ln .
例2 求方程0)3()(22=-+-dy x y x dx y xy 的积分因子,并求出方程的通解. 解 y xy y x M -=2),(,x y x y x N 3),(2-=,易知
32-=∂∂xy x N ,12-=∂∂xy y
M , 故
xy x y x y y xy x xy xy Ny Mx y M x N 1)
3()()12()32(22-=------=-∂∂-∂∂.
从而有积分因子
xy
e
xy dxy xy 1)()1(=⎰=-μ, 将积分因子乘到方程两边可得 0)3(1)(122=-+-dy x y x xy
dx y xy xy , 整理可得
031=--+dy y
dx x xdy ydx , 即
0)ln (3=-xy xy d ,
故方程的通解为
C xy xy =-3ln .
例3 求方程()
022=--+ydy dx x y x 的积分因子,并求出方程的通解
解 因为x y x y x M -+=22),(,y y x N -=),(,从而 2
22y x My Nx x N y M +-=-∂∂-∂∂, 因此,有积分因子
()()222)21(221)(2222y x e
y x y x d y x +=⎰=+++-μ,
故方程的通解为 x Ce y x 222=+.
本文通过对一些特殊积分因子存在性的研究,解决了一些特殊的线性微分方程积分因子的求法,使得难题迎刃而解,求解直观方便,但还存在许多其他的问题难以解决,因此还需对一阶微分方程积分因子的存在性及应用做更深更广泛的研究和探索.
参 考 文 献
[1] 王高雄,周之铭.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:51-57.
[2] 吴春絮.微分方程中几种特殊积分因子的求法及其应用[J].铜陵职业技术学院
报,2008,5:96-97.
[3] 温启军,张丽静.关于积分因子的讨论[J].长春大学学报,2006,5:43-45.
[4] 伍军.求解积分因子的几种方法[J].新疆师范大学学报,2006,1:104-108.
[5] 米玉珍,孙宏凯.浅谈积分因子的存在条件[J].河北建筑工程学院学报,2002,3:77-79.
[6] 刘会民,王新.有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学
报,2003,3:237-239.
[7] 刘海浪,赵临龙.一阶线性微分方程的积分因子解法[J].高师理科学刊,2010,2:53-54.。