计算机控制系统第2章

假频现象在时域中有清楚的物理意义。


两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值。 采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象： ----连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低, 如s <2m (m ---信号中的最高频率)。
图2-9两个余弦信号的采样信号值(T=1s)
----连续信号的频谱是无限带宽。
例2-2 两个频率为f1=1/8Hz 、f2=7/8Hz的余弦信号被采 样频率为fs=1Hz的采样开关采样。试研究其频谱及时 域特性。 连续余弦信号的频谱为位于相应频率处的脉冲，如图 （a）、 (c) 所示。
图2-8两个余弦信号采样信号频谱
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
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2.1 计算机控制系统信号

本节主要内容
2.1.1 采样过程数学描述及特性 2.1.2 采样定理 2.1.3 信号的恢复与重构 2.1.4 信号的整量化
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
1.采用过程

采样器就是不同形式的“开关” p----采样时间，采样所得的脉冲宽度 T----采样周期，采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间， 单位为s
F ( j )
1
m
n 1
0 (a）
m
*

n 1
F ( j )
s
2
1/T
s
2
图2-7 m >s /2时 频谱响应产生混叠
(s m )
s
m (s m ) 0 (s m ) m
(b)
s
(s m )

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2.1.1 采样过程数学描述及特性



采样信号频谱 如 图(b) 、(d)所示。 从图可见，两个信号的采样信号频谱完全相同。 f2=7/8Hz的余弦信号，采样后变为低频f1=1/8Hz的余弦 信号。 f0=fs - f2 =(1-7/8) Hz=1/8 Hz---频谱7/8Hz的假频。
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2.1.1 采样过程数学描述及特性

该特性在讨论离散系统 方块图简化时将非常有 用。
图2-4 F*(s) 的零-极点分布
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
4 理想采样信号的频域描述 1) 理想采样信号的频谱
1 F ( s) F ( s jns ) T n
*
s=js
1 F ( j ) F ( j jns ) T n
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
2) 理想采样信号的时域数学描述 理想采样信号f *(t)可以看作是连续信号f(t) 被单位脉冲 序列串T调制的过程。
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t kT )
* k
k
图2-6 连续信号频谱和采样信号频谱

F*(j)和F(j)的关系如下 ：
(1) 当n＝0时，F*(j)＝F(j)/T---采样信号的基本频谱 正比于原连续信号f (t)的频谱，仅幅值相差1/T。 (2) 当n0时，派生出以s为周期的高频谐波分量---旁带 每隔1个s，重复原连续频谱F(j)/T 1次，如图2-6(b) 所示。
第2章 计算机控制系统的 数学描述
计算机控制系统
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本章主要内容
计算机控制系统信号 离散系统的时域描述 ---差分方程 2.3 离散系统z域描述 ---脉冲传递函数 2.4 离散系统频域描述 ---频率特性 2.5 离散系统状态空间描述 ---状态方程 2.6 应用实例 本章小结 2.1 2.2
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理想采样信号是幅值强度为f(kT) 的脉冲序列。 有时也可采用f(kT)表示采样映实现瞬时采样的物理过程。 采样开关采用单位脉冲序列描述，仅是数学上等效， 理想采样器在物理上是不可能实现的。
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
3 理想采样信号的复域描述 1) 理想采样信号的拉氏变换


f (t ) (t kT )
图2-3 采样器—脉冲幅值调制器
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2.1.1 采样过程数学描述及特性

理想采样信号的时域表达式 ---f(t)在t <0时都为零，f(t) 仅在脉冲发生时刻有效， 记为f(kT) 。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
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1 dt 1 j
F ( j )
1
2 1
图2-10 f(t)=e-t及其采样信号频谱
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2.1.2 采样定理
1．采样定理 连续信号被采样，由于 采样在时域内只保留了 采样时刻的信息，丢失 了采样间隔之间的信息， 可能使采样信号与原连 续信号特性相差较大。 图2-11为蒸汽加热冷水 系统.其中 ．(b)---连续记录 ．(c)---T=2min时采样记 录 ．(d)---T=0.5min时采样 记录
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
2 理想采样信号的时域描述 1）理想采样开关的数学描述
用函数来描述 理想采样开关 ---其时域数学表达式为

T
(t kT )
k


(t kT )
图2-2
理想采样开关的数学描述
---表示延迟kT时刻出现的脉冲， 定时作用.


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2.1.2 采样定理
(2) 隐匿振荡(Hidden oscillation) 如果连续信号x(t) 的频率分量等于采样频率 s的整数倍， 则该频率分量在采样信号中将会消失。
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) sin(t ) sin(3t )

令采样频率s =3rad/s ，采样序列为 x(kT ) sin(2πk / 3) sin(3 2 πk / 3) sin(2πk / 3) sin(2 πk ) sin(2 πk / 3)
(1) 依时域信号求采样信号拉氏变换
F ( s ) L[ f (t )] f * ( )e s d
* * 0



0

k 0
f (kT ) ( kT )e s d f ( kT )e kTs
k 0

(2) 依F(s) 求取采样信号拉氏变换
1 F ( s ) F ( s jns ) T n
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2.1.2 采样定理
图2-12采样信号的隐匿振荡
•这表明x(kT) 中仅含有x1(t) 的采样值，而x2(t) 的采 样振荡分量消失了。 •在采样间隔之间，x(t) 中存在的振荡称为隐匿振荡。
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2.1.2 采样定理
3 前置滤波器 若有用信号混有高频干扰信号，采样频率对干扰信号 不满足采样定理，干扰信号采样后变成低频信号进入 系统影响系统的正常输出。 解决方法： ----按高频干扰的频率选取采样频率 s，但会使采样频 率s过高，难于实现。 ----工程上常用的方法是在采样开关之前加入模拟式的 低通滤波器----前置滤波器。 主要作用： ---滤除连续信号中高于s/2的频谱分量，防止频谱混叠. ---滤除高频干扰。

F*(s) 零点也是s的周期函数。
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
(3) 采样信号的拉氏变换与 连续信号的拉氏变换乘 积的离散化，则有
Y * (s) [ E* (s)G(s)]*
Y * (s) [ E* (s)G(s)]*
E* (s)[G(s)]* E* (s)G(s)*

最常用的形式是
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GF (s) 1/ (TF s 1)
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----时间常数TF 应根据噪声干扰特性来选取。
2.1.3 信号的恢复与重构
1 理想恢复过程


信号恢复： 时域上—由离散的采样值求出所对应的连续时间函数； 频域上—除去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。 理想不失真恢复需要具备3个条件： (1) 原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱； (2) 采样必须满足采样定理； (3) 具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波。
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图2-11 正弦振荡信号的采样
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2.1.2 采样定理

采样定理（香农定理）
如果一个连续信号不包含高于频率max的频率 分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为max)， 那么就完全可以用周期T < /max的均匀采样值来 描述。 或者说，如果采样频率s>2max，那么就可以从 采样信号中不失真地恢复原连续信号。
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
2). 频谱混叠 若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为m，采样 频率s≥2m，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱 不会重叠，如图2-6(b)所示。 若s<2m 时，采样信号各频谱分量互相交叠，产生 严重的频率混叠现象，如图2-7(b)所示。
图2-14采样信号通过理想滤波器的恢复
*
•幅频谱的计算
1 * F ( js ) T 1 F ( j jns ) F ( j jns ) T n n

•工程近似为：
1 F ( js ) F ( j jns ) T n
*
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
x2 (kT ) cos(2kT ) cos(2π 7 / 8)k 1 cos(2kπ 2kπ / 8)
cos(2kπ / 8) cos (2π / 8)kT x1 (kT )
如果两个连续信号的频率相差正好是s的整数倍，即 1-2=ns（n为整数），则它们的采样值相同。 不满足采样定理，一个高频连续信号采样后将会变成 一个低频信号。
*
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2.1.1 采样过程数学描述及特性

采样信号拉氏变换
2) F*(s)的特性 (1) F*(s)是周期函数，其周期值为js，
F*(s+jms)＝F*(s) m＝±1，±2，… (2) 若F(s)在s＝s1处有一极点，F*(s)必然在s=s1+jms处 具有极点 m=0,±1, ±2，… F(s) 的极点在s平面上的位置唯一地确定了F*(s)极点的 位置。 F(s) 的零点的位置并不能唯一地确定F*(s) 零点的位置。
计算机控制系统北京航空航天大学21计算机控制系统信号22离散系统的时域描述差分方程23离散系统z域描述脉冲传递函数24离散系统频域描述频率特性25离散系统状态空间描述状态方程26应用实例本章小结北京航空航天大学本节主要内容211采样过程数学描述及特性212采样定理213信号的恢复与重构214信号的整量化北京航空航天大学t采样周期采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间单位为s图21采样过程描述北京航空航天大学理想采样过程若tp近似认为采样瞬时完成即认为p0理想采样信号用ft表示
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2.1.1 采样过程数学描述及特性
例2-3 画出f (t)=e-t(t<0时，f (t)＝0)和它对应的采样信号的 幅频特性
F ( j ) e e
t jt
dt e
0

(1 j ) t



信号的频谱无限。 采样信号的各频谱分量 互相有混叠。 混叠的程度与采样频率 大小有关。 产生混叠时，输出与 输入信号静态比值不 等于1/T，视混叠程度而定。


采样定理可以利用采样信号的频谱特性加以说明。 采样定理规定了需要的最小采样是s>2max ，但考虑 到实际闭环系统稳定性以及其他设计因素的要求，所 需要的采样频率比理论最小值要高得多。 上例中，T=2min时不满足采样定理，采样信号失真。
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2.1.2 采样定理
2．采样信号失真 (1)信号的高频分量折叠为低频分量 如例2-2，f2 =7/8Hz的余弦信号，由于fs =1Hz，不满足采 样定理，采样信号将要失真。
图2-1 采样过程描述
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2.1.1 采样过程数学描述及特性

• • • • •
fs=1/T---采样频率(Hz) 。 s＝2fs＝2/T---采样角频率 (rad/s)，简称采样频率 理想采样过程---若T>>p，近似认为采样瞬时完成，即 认为p0，理想采样信号用f *(t)表示。 ----为避免在采样时间内被采样信号的变化，提高采 样信号的精度，通常在采样开关之后接有零阶保持器， 以保证采样器的输出为恒值。 均匀采样：整个采样过程中采样周期不变。 非均匀采样：采样周期是变化的。 随机采样：采样间隔大小随机变化。 单速率系统：系统里，各点采样器的采样周期均相同。 多速率系统：各点采样器的采样周期不相同。