2023届辽宁省沈阳市重点联合体高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（）
A.20x -<<
B.23x -<<
C.05x <<
D.24x -<<
2．已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 A.1:3 B.1:2 C.2:2 D.3:6
3．函数()sin f x x x =⋅的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知()21sin cos 25
x x +=，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos x x -=（） A.35
- B.75- C.434343
5．若()1sin 2πα+=，32παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，则()tan 3πα-等于（）
A.12-
B.3
2-
C.3-
D.3
3-
6．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)
1f x y x +=+的定义域为()
A.3
[,1]2- B.3
[,1)(1,1]2--⋃-
C.[3,7]-
D.[3,1)(1,7]--⋃-
7．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = (
) A.{}1,3- B.{}1,0
C.{}1,3
D.{}1,5
8．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=
A.4
3- B.5
4
C.3
4- D.4
5
9．下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是
A. B.
C. D.
10．已知角α的终边在第三象限，则点(tan ,cos )P αα在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm ，则该扇形面积为_____cm 2
12．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________
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13．若点(),27a 在函数3x y =的图象上，则2πtan a
的值为______. 14．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________
15．已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图象如图所示，则ϕ=________________ .
16．若点(sin 2,2sin )P θθ位于第三象限，那么角θ终边落在第___象限
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱锥S —ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直
线AM 与直线SC 所成的角为60°
.
（1）求证：平面MAP ⊥平面SAC .
（2）求二面角M —AC —B 的平面角的正切值；
18．某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照[15,25)，
[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求a 的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在[15,25)中的概率
19．已知向量()()
2cos ,1,cos 32,a x b x x m ==+ 函数().f x a b =⋅
（1）若x ∈R 时，不等式()33f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）当[]0,x π∈时，讨论函数()f x 的零点情况.
20．已知函数22()sin cos 23sin cos f x x x x x =--()x R ∈
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.
21．目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与药熏时间t （小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）的函数关系式为1()32
t a y -=（a 为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的变化曲线如图所示.
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（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
【解析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.
【详解】解不等式260x x --<得：23x -<<，
对于A ，因{|20}x x -<< {|23}x x -<<，即20x -<<是260x x --<成立的充分不必要条件，A 正确； 对于B ，23x -<<是260x x --<成立的充要条件，B 不正确；
对于C ，因{|05}x x <<⊄{|23}x x -<<，且{|23}{|05}x x x x -<<⊄<<，
则05x <<是260x x --<成立的不充分不必要条件，C 不正确；
对于D ，因{|23}x x -<< {|24}x x -<<，则24x -<<是260x x --<成立必要不充分条件，D 不正确. 故选：A
2、A
【解析】 所求的全面积之比为：223244163⨯=⨯ ，故选A. 3、A
【解析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()sin f x x x =⋅的定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，
函数()f x 为偶函数，排除BD 选项， 当02x π
<<时，sin 0x >，则()sin 0f x x x =⋅>，排除C 选项.
故选：A.
4、A 【解析】利用)21sin cos 25
x x +=两边平方求出232sin cos 25x x ⋅=-，再根据函数值的符号得到,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()
248sin cos 25x x -=可求得结果. 【详解】)21sin cos 25
x x +=，∴()1112sin cos 225x x +⋅=，∴232sin cos 25x x ⋅=-，
,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，∴cos 0x >，∴sin 0x <，所以,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，
()
22348sin cos 12sin cos 12525x x x x -=-=+=，∴43sin cos x x -=故选：A..
5、D
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【解析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.
【详解】∵()1sin 2πα+=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 11sin sin 22αα∴-=⇒=-
，cos 2α==-
，tan 3
α=， ()(
)tan 3tan tan 3πααα∴-=-=-=-
. 故选：D.
6、B
【解析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可
【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312
x -
≤≤， 由10x +≠，解得：1x ≠-， 故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭
，
故选：B
7、C 【解析】∵集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =
∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=
∴3m =
∴{}{}
{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 8、D 【解析】22222
222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－ 考点：同角间三角函数关系
9、D
【解析】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，
∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，
分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，
选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，
故选D
点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确
10、D
【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.
【详解】角α的终边在第三象限，则tan 0α>，cos 0α<，点P 在第四象限
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1
【解析】设该扇形的半径为r ，根据题意，因为扇形的圆心角为2弧度，周长为4，则有
422,1r r r =+=，2211=21122
S r α=⨯⨯=，故答案为1. 12、3(6π)m +
【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体, 体积为213132163ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+
13、【解析】将点代入函数解析式可得a 的值，再求三角函数值即可.
【详解】因为点(),27a 在函数3x y =的图象上，所以327=a ，解得3a =，
所以2π2tan tan 3
a π==
故答案为：
14
【解析】|a －b|＝
15、910
π 【解析】由图可知，()544,,2,1255T y sin x πωπϕ⎛⎫=
∴==+ ⎪⎝⎭把代入有：
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891,510sin ππϕϕ⎛⎫=+∴= ⎪⎝⎭
16、四
【解析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值小于0，余弦值大于0，得到角是第四象限的角
【详解】解：∵点()sin2,2sin P θθ位于第三象限，
∴sin θcos θ＜0
2sin θ＜0，
∴sin θ＜0，
Cos θ＞0
∴θ是第四象限的角
故答案为四
【点睛】本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析
（26 【解析】（1）由已知可证BC ⊥平面SAC ，又PM ∥BC ，则PM ⊥面SAC ，从而可证平面MAP ⊥平面SAC ； （2）由AC ⊥平面SBC ，可得∠MCB 为二面角M —AC －B 的平面角，过点M 作MN ⊥CB 于N 点，连接AN ，则∠AMN =60°，由勾股定理可得2AN =Rt AMN 中，可得63
MN =，从而在Rt CNM △中，即可求解二面
角M —AC —B 的平面角的正切值.
【小问1详解】
证明：∵SC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥BC ，
又∵∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ，又AC SC =C ，
∴BC ⊥平面SAC ，
又∵P ，M 是SC 、SB 的中点，
∴PM ∥BC ，∴PM ⊥面SAC ，又PM ⊂平面MAP ，
∴平面MAP ⊥平面SAC ；
【小问2详解】
解：∵SC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥AC ，又AC ⊥BC ，BC SC =C ， ∴AC ⊥平面SBC ，
∴AC ⊥CM ，AC ⊥CB ，从而∠MCB 为二面角M —AC －B 的平面角， ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°，
∴过点M 作MN ⊥CB 于N 点，连接AN ，
则∠AMN =60°，在△CAN 中，由勾股定理可得2AN =
在Rt AMN 中，362tan AN MN AMN ∠===， 在Rt CNM △中，6
63tan 13
MN MCN CN ∠===. 18、（1）0.035a =，平均数为41.5岁
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（2）
35
【解析】（1）根据频率之和等于1得出a 的值，再由频率分布直方图中的数据计算平均数； （2）根据分层抽样确定第1，2组中抽取的人数，再由列举法结合古典概型的概率公式得出概率. 【小问1详解】
由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035.a = 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁. 【小问2详解】
第1，2组的人数分别为0.120020⨯=人，0.1520030⨯=人，
从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人， 分别记为1a ，2a ，1b ，2b ，3.b 从5人中随机抽取2人，样本空间可记为
12={{,}a a Ω，11{,}a b ，12{,}a b ，13{,}a b ，21{,}a b ，22{,}a b ，
23{,}a b ，12{,}b b ，13{,}b b ，23{,}}b b ，
用A 表示“2人中恰有1人年龄在[15,25)”，则11{{,}A a b =，12{,}a b ，13{,}a b ，21{,}a b ，22{,}a b ，23{,}}a b ，A 包含的样本点个数是6.
所以2人中恰有1人年龄在[15,25)中的概率63
().105
P A == 19、（1）20m -<<；（2）见解析 【解析】（1）由题意得()2sin 216f x x m π⎛⎫
=+++ ⎪⎝
⎭
，结合不等式恒成立，建立m 的不等式组，从而得到实数m 的取值范围；
（2）)令()0f x =得：2sin 21,6x m π⎛⎫
+=-- ⎪
⎝
⎭即1sin 262m x π--⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，对m 分类讨论即可得到函数()f x 的零点情况.
【详解】（1）由题意得，(
)2
•2cos f x a b x x m ==+
(
)cos212sin 216f x x x m x m π⎛
⎫∴=+++=+++ ⎪⎝
⎭，
当x R ∈时，
[]sin 21,16x π⎛
⎫+∈- ⎪⎝
⎭
∴()[]1,3f x m m ∈-+，又()33f x -<<恒成立，则13
33m m ->-⎧⎨+<⎩
解得：20m -<<
(2)令()0f x =得：2sin 21,6x m π⎛
⎫
+
=-- ⎪
⎝
⎭得：1sin 262m x π--⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
[]0,x π∈132,666x π
ππ⎡⎤
∴+
∈⎢⎥⎣⎦13=2,666u x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
令,则1sin 2m u --=. u 由图知：
01当
112m -->或1
12m --<-，即3m <-或1m >时，0个零点； 02
当112m --=或112m --=-，即3m =-或1m =时，1个零点； 03当11122m --<
<或11
122m ---<<，即32m -<<-或21m -<<时，2个零点； 04当11
22
m --=，即2m =-时，3个零点. 综上：013m <-或1m >时，0个零点；
023m =-或1m =时，1个零点；
0332m -<<-或21m -<<时，2个零点；
042m =-时，3个零点.
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质的应用，三角不等式恒成立问题，函数的零点问题及三角函数的化简，属于
中档题.
20、（Ⅰ）最小正周期是π，对称轴方程为,6
2k x k Z π
π=
+
∈；（Ⅱ）6
x π
=时，函数()f x 取得最小值，最小值为-2，2
x π=
时，函数()f x 取得最大值，最大值为1.
【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出对称轴及最小正周期； （Ⅱ）由x 的取值范围，求出26
x π
+
的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 2322sin(2)6
f x x x x π
=-=-+
所以()f x 的最小正周期是π； 令2,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得,6
2k x k Z π
π=
+
∈，即函数的对称轴为,62
k x k Z ππ=+∈；
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（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，7(2),666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 所以，当26
2
x π
π
+=
，即6
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，最小值为2-
当726
6
x π
π+
=
，即2x π
=时，函数()f x 取得最大值，最大值为1.
21、（1）0.2
5,00.2
1,0.232t t t y t -⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎩；（2）0.8小时.
【解析】（1）00.2t ≤≤时，设y kt =，由最高点求出k ，再依据最高点求出参数a ，从而得函数解析式；
（2）解不等式0.2
10.12532t -⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
可得结论
【详解】解：（1）依题意，当00.2t ≤≤时， 可设y kt =，且10.2k =，解得5k =
又由0.21132a
-⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，解得0.2a =，
所以0.2
5,00.21,0.232t t t y t -⎧⎪=⎨⎛⎫
> ⎪
⎪⎝⎭⎩ （2）令0.2
10.12532t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，
即51
3
1122t -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 得513t -≥，解得0.8t ≥，
即至少需要经过0.8h 后，学生才能回到教室.。