高中数学第四章数系的扩充与复数的引入课时作业复数的四则运算含解析北师大版选修1_2

高中数学：
课时作业14 复数的四则运算
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)
1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
【答案】 B
【解析】 本题考查共轭复数的概念及性质．根据共轭复数的性质可知，共轭复数在复平面内表示的点关于x 轴对称．故选B.
2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )
A ．－1－i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．1＋i
【答案】 A
【解析】 本题考查共轭复数概念，复数乘法．
z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z 的共轭复数是z －＝－1－i.复数乘法与除法是常考点，解题时注
意i 2＝－1.
3．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )
A ．－2
B ．－12 C.12
D ．2 【答案】 D
【解析】 (1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，
∵此复数为纯虚数，∴b ＝2.
4．复数z ＝(2－i )2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )
A ．25 B.41 C ．5 D. 5
【答案】 C
【解析】 本题考查了复数的乘法、除法运算、复数的模．
∵z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4i i
＝－3i －4， ∴|z |＝5.
5．复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】 D
【解析】 本题主要考查复数的乘法及复平面内的点与复数的一一对应关系．由z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i 知复数z 对应点在第四象限．
6．|21＋i
|＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1
【答案】 C
【解析】 本题考查复数的运算及复数的模．
∵21＋i ＝1－i ，∴|21－i
|＝|1－i|＝2，故选C. 7．若z 2＋z ＋1＝0，则z 2 002＋z 2 003＋z 2 005＋z 2 006的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．－12＋32
i D ．－12±32i 【答案】 B
【解析】 由z 2＋z ＋1＝0，不难联想到立方差公式，从而将z 得出．将z 2＋z ＋1＝0两边同乘(z －1)，得z 3－1＝0，即z 3＝1(z ≠1)．则z 4＝z ，z 2 002＝(z 3)667· z ＝z ，于是，原式＝z 2 002(1＋z ＋z 3＋z 4)＝z (2＋2z )＝2(z ＋z 2)＝－2.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)
8．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
【答案】 1
【解析】 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i ，因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1，故填1.
9．已知z 1＝
32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.
【答案】 3
【解析】 z 1－z 2＝
32a ＋(a ＋1)i ＋33b －(b ＋2)i ＝32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝43，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43(a ＋1)－(b ＋2)＝0
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1a ＝2. ∴a ＋b ＝2＋1＝3.
10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为____________．
【答案】 －1＋52＜m ＜32 【解析】 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＜0 解得－1＋52＜m ＜32
. 三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使得az ＋2b z ＝(a ＋2z )2.
【解析】 因为z ＝1＋i ，
所以az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，
(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.
因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2
b ＝a 2＋4a a －2b ＝4(a ＋2)，
两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0，
解得a 1＝－2，a 2＝－4，
相应得b 1＝－1，b 2＝2，
所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.
12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
【解析】 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，
∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)
＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，
由题意得x ＝4，
∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，
8(a －2)>0，
解得2<a <6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
13．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，求z z 的值．
【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，
由z ＋z ＝4，z ·z ＝8可得，⎩
⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )＋(a －b i )＝4
(a ＋b i )(a －b i )＝8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2
b ＝－2， 即z ＝2＋2i 或z ＝2－2i.
当z＝2＋2i时，z
z
＝
2－2i
2＋2i
＝
1－i
1＋i
＝
(1－i)2
2
＝－i；
当z＝2－i时，z
z
＝
2＋2i
2－2i
＝
1＋i
1－i
＝
(1＋i)2
2
＝i.
综上，z
z
的值为±i.。