2021年高三上学期期末数学(文)试题 含解析

2021年高三上学期期末数学（文）试题含解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A． x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x﹣y﹣3=0 D． 2x﹣y﹣5=0
【考点】：直线与圆相交的性质．
【专题】：计算题；直线与圆．
【分析】：由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB 的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解析】：解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）
∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，PQ的斜率k===1
可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0
故选：C
【点评】：本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
2．（5分）直线3x+4y﹣9=0与圆x2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相离B．相切
C．直线与圆相交且过圆心D．直线与圆相交但不过圆心
【考点】：直线与圆的位置关系．
【专题】：直线与圆．
【分析】：求出圆心，根据直线和位置的关系进行判断即可．
【解析】：解：圆心坐标为（0，1），半径R=1，
则，
即直线和圆相切，
故选：B
【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．
3．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
【考点】：椭圆的应用；数列的应用．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．
【解析】：解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
则2a+2c=2×2b，
即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，
整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），
故选B．
【点评】：本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．
4．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为（）
A． 2 B． 2 C． 4 D． 4
【考点】：椭圆的简单性质．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：由题意可得长方形边长AB=2c，再根据椭圆的定义，可计算出2a=AC+BC，最后可得椭圆的短轴的长．
【解析】：解：∵长方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，
∴焦距2c=AB，其中c=2
∵BC⊥AB，且BC=3，AB=4，∴AC=5
根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=5+3=8，a=4，
∴椭圆的短轴的长=2b=2=2=4
故选D．
【点评】：本题给出椭圆以长方形的一边为焦距，而长方形的另两个顶点恰好在椭圆上，求椭圆的短轴的长，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）
A．8 B． 4 C． 4 D． 4
【考点】：由三视图求面积、体积．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．据此即可得出体积．
【解析】：解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．
因此，．
故选B．
【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的体积是（）
A．B．8 C． 4 D．
【考点】：由三视图求面积、体积．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：由三视图可知：原几何体是一个三棱锥，其中侧面PAC⊥底面ABC，PA=PC，AB=BC，AO=OC=1，PO=BO=2．据此即可计算出体积．
【解析】：解：由三视图可知：原几何体是一个三棱锥，其中侧面PAC⊥底面ABC，PA=PC，AB=BC，AO=OC=1，PO=BO=2．
∴V三棱锥P﹣ABC==．
故选A．
【点评】：由三视图正确原几何体是解题的关键．
7．（5分）经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（）A．y2﹣x2=8 B．x2﹣y2=±8 C．x2﹣y2=4 D．x2﹣y2=8
【考点】：双曲线的标准方程．
【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入M的坐标，可得双曲线的方程．
【解析】：解：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
将点M（3，﹣l），代入可得9﹣1=λ，
∴λ=8，
∴方程为x2﹣y2=8，
故选：D．
【点评】：本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．
8．（5分）已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（）
A．16 B．12 C．9 D． 6
【考点】：抛物线的简单性质；抛物线的定义．
【专题】：计算题．
【分析】：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得
|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．
【解析】：解：抛物线的标准方程为x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），
故选C．
【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到
|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解题的关键．
9．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A．πa2 B．C．D．5πa2
【考点】：球内接多面体．
【专题】：计算题．
【分析】：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解析】：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中
点就是球心，则其外接球的半径为，
球的表面积为，
故选B．
【点评】：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
10．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图则原平面图形的面积为（）
A． 2 B． 3 C．8 D．
【考点】：平面图形的直观图．
【专题】：计算题；空间位置关系与距离．
【分析】：由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
【解析】：解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=2，对应原图形平行四边形的高为：4，
所以原图形的面积为：2×4=8．
故选：D．
【点评】：本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．
11．（5分）已知直线a，b和平面α，有以下四个命题：①若a∥α，a∥b，则b∥α；②若a⊂α，b∩α=A，则a与b异面；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④若a⊥b，a⊥α，则b∥α．其中真命题的个数是（）
A．0 B． 1 C． 2 D． 3
【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】：综合题．
【分析】：采用只要能找到反例即可判断为假命题，反之，只要用理论依据即可说明其为真命题的方法对对四个选项逐个分析即可．
【解析】：解：对于①，当a∥α，a∥b时，b与α可以是平行关系，但也有可能b在α内，故①为假命题；
对于②，因为a⊂α，b∩α=A，所以a与b可以有一公共点A，也有可能异面，故②为假命题；
对于③，因为两平行直线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直，故③为真命题；
对于④，因为当a⊥b，a⊥α时，b与α可以是平行关系，但也有可能b在α内，故④为假命题．
所以只有③为真命题．
故选B．
【点评】：本题主要考查对空间点、线、面位置关系的概念、定理的理解和应用，考查特例反驳和结论证明，特别是把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件的命题，其目的是考查考生对这些定理掌握的熟练程度．
12．（5分）两个平面平行的条件是（）
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
【考点】：平面与平面垂直的判定．
【专题】：阅读型．
【分析】：排除法，逐一检验答案，①②③可通过特例说明是错误的．④说明两个平面无公共点，是正确的．
【解析】：解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错
②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错
③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错
④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对
故选D．
【点评】：本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查学生严密的思维能力和空间想象能力．
二.填空（每小题5分，共20分）
13．（5分）表示双曲线，则实数t的取值范围是{t|t＞4或t＜1}．
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：通过方程表示双曲线，判断4﹣t与t﹣1符号相反，求出t的范围即可．
【解析】：解：因为表示双曲线，所以（4﹣t）（t﹣1）＜0，
解得t＞4或t＜1，
所以实数t的取值范围是{t|t＞4或t＜1}．
故答案为：{t|t＞4或t＜1}．
【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，二次不等式的解法，考查计算能力．
14．（5分）F1、F2是双曲线﹣=1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|•|MF2|=32，△F1MF2的面积为16．
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：利用双曲线的定义，结合|MF1|•|MF2|=32，可确定△F1MF2是直角三角形，从而可求三角形△F1MF2的面积．
【解析】：解：由题意可得双曲线的两个焦点是F1（0，﹣5）、F2（0，5），
由双曲线定义得：||MF1|﹣|MF2||=2a=6，联立|MF1|•|MF2|=32，
得|MF1|2+|MF2|2=100=|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，
从而其面积为S=•|MF1|•|MF2|=32=16．
故答案为：16．
【点评】：本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，属于基础题．
15．（5分）抛物线x=ay2的准线方程是x=2，则a的值为．
【考点】：抛物线的简单性质．
【专题】：计算题．
【分析】：首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．
【解析】：解：抛物线x=ay2的标准方程是，则其准线方程为=2，
所以a=．
故答案为．
【点评】：本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．．
16．（5分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是b⊂α或b∥α．
【考点】：直线与平面垂直的性质．
【专题】：阅读型．
【分析】：根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可．【解析】：解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b
当b∥α时，a⊥α，则a⊥b
故当a⊥b，a⊥α⇒b⊂α或b∥α
故答案为：b⊂α或b∥α
【点评】：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及空间想象能力，推理能力，属于基础题．
三．解答题：
17．（12分）根据下列条件求双曲线的标准方程：
（1）经过点（，3），且一条渐近线方程为4x+3y=0；
（2）P（0，6）与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为．
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：（1）由题意，可设双曲线的方程为16x2﹣9y2=m（m≠0），代入点的坐标计算即可得到；
（2）由题意可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），令两焦点为（﹣c，0），（c，0），两顶点为（﹣a，），（a，0），由题意可得c=6，a=2，再由双曲线的a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线的方程．
【解析】：解：（1）由于双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0，
可设双曲线的方程为16x2﹣9y2=m（m≠0），
代入点（，3），得m=16×﹣9×81=﹣504．
则有双曲线的标准方程为﹣=1；
（2）由题意可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），
令两焦点为（﹣c，0），（c，0），两顶点为（﹣a，），（a，0），
由P（0，6）与两个焦点的连线互相垂直，
再由对称性，可得c=6，
由P与两个顶点连线的夹角为，
再由对称性，可得6=×2a，即有a=2，
则b===2．
则双曲线的标准方程为﹣=1．
【点评】：本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的性质的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
18．（12分）（2011•陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【考点】：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．
【专题】：计算题．
【分析】：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．
【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程代入C的方程，得，
即x2﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中点坐标，
，
即中点为．
【点评】：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．
19．（12分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求线段BC中点M的坐标
（Ⅲ）求BC所在直线的方程．
【考点】：双曲线的标准方程；中点坐标公式；直线的一般式方程．
【专题】：计算题．
【分析】：（1）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，将A点坐标代入，易求出参数p的值，代入即得抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）又由，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，由重心坐标公式，易得线段BC中点M 的坐标；
（3）设出过BC中点M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易构造关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，进而可以得到直线的方程．
【解析】：解：（I）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16
所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得；
设点M的坐标为（x0，y0），则解得x0=11，y0=﹣4所以点M的坐标为（11，﹣4）
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为y+4=k（x﹣11）（k≠0）
由消x得ky2﹣32y﹣32（11k+4）=0
所以由（II）的结论得解得k=﹣4
因此BC所在直线的方程为y+4=﹣4（x﹣11）即4x+y﹣40=0．
【点评】：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．
20．（10分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，求这个几何体的
体积．
【考点】：由三视图求面积、体积．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．
【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，
∵其侧视图是一个等边三角形，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
故半圆锥的体积为：×π×=，
四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，
故四棱锥的体积为：，
故几何体的体积V=+=
【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
21．（12分）如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．证明：平面AB1C
⊥平面A1BC1．
【考点】：平面与平面垂直的判定．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：根据面面垂直的判定定理证明B1C⊥平面A1BC1即可．
【解析】：证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C，
又已知B1C⊥A1B，
A1B∩BC1=B，
∴B1C⊥平面A1BC1，
又∵B1C⊂平面AB1C，
∴平面AB1C⊥A1BC1．
【点评】：本题主要考查面面垂直的判定，根据面面垂直的判定定理是解决本题的关键．
22．（12分）已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心；D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．
（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
（2）求S△：S△ABC=1：9．
【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【专题】：综合题；空间位置关系与距离．
【分析】：（1）利用三角形重心的性质，结合线面平行的判定定理，证明G1G2∥平面ABC，G2G3∥平面ABC，再证明平面G1G2G3∥平面ABC；
（2）证明△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1：3，可得结论．
【解析】：（1）证明：如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，
连接DE、EF、FD，则有PG1：PD=2：3，PG2：PE=2：3，∴G1G2∥DE．
又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC．
同理G2G3∥平面ABC．
又因为G1G2∩G2G3=G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC．
（2）解：由（1）知=，∴G1G2=DE．
又DE=AC，∴G1G2=AC．
同理G2G3=AB，G1G3=BC．
∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1：3，
∴：S△ABC=1：9．
故答案为：1：9
【点评】：要证“面面平行”，只要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．/720275 4F33 伳*37242 917A 酺€39921 9BF1 鯱21615 546F 呯28312 6E98 溘31438 7ACE 竎38667 970B 霋26973 695D 楝n23570 5C12 尒。