2014年大学生数学建模竞赛论文

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A 题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要：本文主要从以下几个方面分析了嫦娥三号软着陆轨道设计与控 制策略：首先在探测器飞近月球时，利用自带发动机产生制动力让其被月 球引力捕获，做离月面高度 100km 的圆周运动，此时，根据匀速圆周运动 学公式计算出远月点的速度，当加速器在某一点再次产生制动，此时以月 球为一个焦点做椭圆运动，根据相应的天体运动学公式和开普勒三大定律 求出做椭圆运动时近月点的速度，此时离月面高度为 15km。在近月点再次 制动时，探测器开始软着陆，首先进行霍曼变轨原理，根据质心运动原理 建立了第二阶段的数学模型，且根据预定着陆点的经纬度逆推出近月点在 月球表面的正投影点的经纬度，即能找到近月点的具体位置。其次，探测 器在整个轨道运行中速度、质量、Fthust 等参数在不断变化，可以根据建立的 数学模型确定加速器的运行轨道和损耗的质量以及运行的时间。在加速器 几乎位于正上方时，根据能量守恒定理和相应的运动学公式也建立了相应 的数学模型。数据实验和分析表明，所建立的数学建模方案不但可以较好 地解决“嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略”问题，而且对于相似问题 也能起到良好的参考价值和运用价值。
N./ Kg m/s m/s J J kg N rad/s m/s S S m/s N/kg 。 m

Va t0 tf Ve g月

L J W H2 Ci a mi(t) a(t)
m

m m m/s2
mi
3
三、 问题分析 对于嫦娥三号软着陆轨道的设计与控制策略：在问题 1 中，根据附件 1 的附图 1 嫦娥三号近月轨道示意图， 建立嫦娥三号在近月点与远月点运动 过程中的模型和算法。根据嫦娥三号在远月点时的万有引力等于向心力， 求出嫦娥三号在远月点的速度 。再由近月点和远月点机械能守恒，且对开 普勒三大定律进行分析，得出近月点的速度。此时，通过逆推法，根据嫦 娥三号预定着陆点的经纬度，可推算出嫦娥三号在近月点处的位置，即近 月点正投影到月球表面上的经纬度。在考虑此问题中，嫦娥三号的降落为 一个二维平面降落，而不是三维空间的降落，所以在 A 点与 B 的经度是相 同的，那么我们可以根据经纬度公式转换关系求出 A 点的经纬度，这个经 纬度的正上方 15 公里处即是我们一直所求的近月点位置。 问题 2：针对此题，嫦娥三号的着陆轨道由近月点在月心坐标系的位 置和软着陆轨道形态共同决定。然而对于 6 个阶段的最优控制策略，分析 如下：第一近阶段我们选择制动力为：Fthust=2500N 用来在近月点进行制动； 第二阶段该阶段主要是减速，实现到距离月面 3 公里处嫦娥三号的速度降 到 57m/s， 用质心运动学方程组来解； 第三阶段需要从距离月面 3km 到 2.4km 处将水平距离减为 0m/s 在此过程中我们采用探测器以匀速的方式到达距离 月面为 2400m 的位置；第四阶段要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点 上方 100m 处悬停，根据机械能守恒定理建立数学模型，找出时间 t 和 Fthust1 的关系；第五阶段避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点 上方 30m 处水平方向速度为 0m/s。根据能量守恒可算此时探测器的损耗过 后所剩下的质量； 第六阶段主要任务控制着陆器在距 离月面 4m 处的速度为 0m/s，这时可以采用第五阶段 时用到的方法相应的比拟此处的损耗情况 问题 3: 我们对模型的误差和参数的敏感性进 行了分析，如在模型数值求解过程中，我们对时间导 数进行了一阶差分离散， 此时时间间隔大小改变会对 计算的数值结果产生误差，但当时间间隔很小时， 该 差分格式是稳定的，不会对数值结果产生较大的影响。
6
图—5
取月心 O 为坐标系原点， 向量 OY 指向着陆转移轨道的近月点， 设 r=h+R 为嫦娥三号到月心的距离，θ是 OY 到向量 Or 的夹角，φ（t）为推力方向 与向量 Or 垂线的夹角，Fthust 为火箭的制动力，根据着陆器质心运动学方程 可得到下列数学模型：
dr dt V dv g月 2 r F thust sin 2 m dt r d dt d 1 （ F thust cos 2V） r m dt dm F thust dt ve
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
Vb=
GM
HR
其中：H 为远月点的距离，R 为月球的平均半径，G 为万有引力的常量， M 为 月 球 的 质 量 ， 为 远 月 点 的 速 度 ， 利 用 软 件 Matlab 计 算 可 以 得 出 Vb=1633.4km/s。 1.2 近月点的速度： 若嫦娥三号运动时的速度在第一宇宙速度和第二宇宙速度之间时，那 嫦娥三号将会以月球为点做椭圆运动。根据开普勒第二定律（开普勒第二 定律：也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过 的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。）
3 -4
7
现在上面的数学模型写成向量形式： dU
dt
f
方程组写成向量形式：U
r v m
fHale Waihona Puke v g 2 月 F thust sin 2 r m r 1 ( F thust cos 2v ) r m F thust ve
图—2
嫦娥三号在近月点与远月点机械能守恒，在 b 点时的机械能为 Eb ，在 a 点时的机械能为 Ea(参考文献[1][1])则有：
5
E E
b

1 2 GmM 月 mV b 2 H R 1 2 GmM 月 mV a 2 H R
a
根据机械能守恒有： Eb =Ea ， 通过 matlab 计算（ 见附加 1 ）得出： Va=1710.8m/s
1.3 着落准备轨道近月点和远月点的位置 设嫦娥三号的近月点在月球上的正投影是点 A，月球最终的着陆地点 为点 B，当嫦娥三号发生制动一段时间后，它就会处于最先设计的着陆点， 那么在水平方向上的速度已经为 0 。
A B
图 3_探测器轨迹立体
图 4_探测器横截面软着陆效果图
目前研究月球软着陆的文献中探测器的动力学模型大多都是采用二维模 型，即假设月球探测器在一个固定的铅垂面内运动，没有考虑侧向运动， 而且得到的模型都是在忽略月球自转的基础上得到的，但由于各种误差和 月球自转等因素的存在，探测器很难保证始终在固定的铅垂面内运动，使 用较为简单的二体模型可以很好的描述这一问题，可建立如下图-5所示软 着陆二维截面坐标系：
图—1
4
四、 模型的建立与求解 1.1 远月点的速度： 根据嫦娥三号发生第一次制动后由于它的速度不大于第一宇宙速度运 动，所以嫦娥三号围绕月球做圆周运动(图-1)，其运动半为:（H+R），此 时其万有引力提供嫦娥三号做圆周运动的向心力！根据匀速圆周运动的公 式，以此可以建立模型，其值可以有如下的表达式：
初 始 条 件 r0=1752.013*10 m, v0=0 ， 0=0 ， 0=9.7648*10 rad/s ， m0=2400kg， 其中 v 是探测器在矢量 r 方向上的速度， 是探测器在向量 OY 和向量 Or 之间的夹角 的角速度，m 是探测器的质量，g 月是月球引力常数， ve 是比冲。
2
二、 符号说明 各符号的含义见表 1
表1
符号 含
符号含义说明
义 单位 m m m
h H R G M Va Vb Ea Eb m Fthust
近月点到月球表面的距离 远月点到月球表面的距离 月球的平均半径 万有引力常量 月球的质量 嫦娥三号到达近月点 a 的速度 嫦娥三号到达远月点 b 的速度 嫦娥三号到达近月点 a 时的机械能 嫦娥三号到达远月点 b 时的机械能 探测器的初始质量 发动机的推力 探测器方位角的角速度 探测器方位角的线速度 初始时刻 终端时刻 比冲 月球引力常数 角度 弧长 降落点的经度 降落点的纬度 降落的实际高度 不同时间段探测器离月面的高度 加速度 质量关于时间的关系函数 加速度关于时间的关系函数 单位时间燃料消耗的公斤数 不同时间段嫦娥三号的质量
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 贵州师范大学 李青华 张燕 张颖 (打印并签名)： 安静 24003004 A
关键词 ：位置确定 数学模型 轨道设计 控制策略
1
问题重述 ：嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日 抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在 下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即 单位质量的推进剂产生的推力） 为 2940m/s， 可以满足调整速度的控制要求。 在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够 自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预 定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件 1）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现 软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本 要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨 道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段（见附件 2），要求 满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 需要解决的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速 度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性 分析。 一、 基本假设 （1）假设嫦娥三号在地月转移轨道中，经过减速制动后靠近月球，此时的 嫦娥三号不受地球的引力，以及安装在下部的主减速发动机能产生的 可调节推力，减速移动向月球。 （2）忽略月球的自转。 （3）假设嫦娥三号的降落为一个二维横截面。 （4）假设在整个运动过程中，侧面发动机调整探测器姿态时，不计燃料损 耗。 （5）假设探测器在着陆第四，第五阶段探测时，由于地面起伏很大，只能 使探测器平移寻找安全着陆点，其中消耗的能量不计。