普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学(含解析)

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数 ） A
B
C
D
【答案】A
A ．
2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}
2|230B x x x =--<，则A B =（ ） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,3
【答案】C
【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}
2|230B x x x =--<()1,3=-，所以
A
B =()1,12-，选
C ．
3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）
A
B
C
D
【答案】A
【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，阴影部分的面积为
A ． 4．在ABC △中，角A ，
B ，
C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a
=，b =则ABC S =△（ ）
A
B C
D ．2
【答案】C
【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =
，∴由正弦定理得：1sin 2ABC S ac B =
=
△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】B
【解析】几何体如图，则体积为33
2=64
⨯，选Ｂ．
6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足
(
)
(213a f f -≥，则a 的最大值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．14
D ．34
【答案】D
【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R
上的偶函数，则(f
=f ，
又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，
a 的最大值是3
4
，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组22
12 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪
⎨⎪⎩（a
为常数）表示的区域面积等于1，则抛
物线2y ax =的准线方程为（ ） A ．124
y =-
B ．124x =-
C ．3
2x =-
D ．3
2
y =-
【答案】D
【解析】
16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32
y =-，选
D ．
8．在n
x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2
x 的系数为（ ）
A ．50
B ．70
C ．90
D ．120
【答案】C
【解析】在n
x ⎛ ⎝
中，令1x =得()134n
n +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的
二项式系数和为2n
．由题意得42322
n
n n ==，解得5n =．
故二项式为5x ⎛+ ⎝，其展开式的通项为(
)3552
1553r
r r r r r r T C x C x --+==，
()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．
9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A
． B
．
C
． D ．
【答案】B
【解析】设好田为x ，坏田为y
12.5 87.5x y =⎧∴⎨
=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．
10．已知函数(
)()sin 0f x x x ωωω=>
4个元素，则实
数ω的取值范围是（）
A．
35
,
22
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭B．
35
,
22
⎛⎤
⎥
⎝⎦
C．
725
,
26
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭D．
725
,
26
⎛⎤
⎥
⎝⎦
【答案】D
【解析】
π
2sin1
3
x
ω
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
，
π1
sin
32
x
ω
⎛⎫
∴-=-
⎪
⎝⎭
，解得：
()
7π
2π
6
k k
+∈Z，
3π2π
2
k
x
ωω
=+()
k∈Z，
设直线1
y=-与()
y f x
=在()
0,+∞上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B
，则
由于方程()1
f x=-在()
0,π上有且只有四个实数根，
则<π
B
A
x x
≤，即
3π2ππ4π
π
26
ωωωω
+<≤+
D．
11．已知三棱锥P ABC
-的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，ABC
△是边长为2的等边三角形，若球O
PC与平面PAB所成角的正切值为（）
A
B
C
D
【答案】A
【解析】
R=，设ABC
△的外心为M
，由正弦定理
AM=，由
2
22
2
PA
AM
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
得PA=，设AB的中点为N，则CN⊥平面PAB，连接PN，则CPN
∠
为直线与平面所成的角，PN==
，CN=
tan
CN
CPN
PN
∠==，故选A．
12．设P 为双曲线()22
22:1,0x y C a b a b -=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，
212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的
17
6
倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C ．2或3
D ．4或5
3
【答案】D
【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，
∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为
12212222
F F PF PF c a
c a +--==-．
设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()2
2
222x x a c =-+，
∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为22
2a c a
+．
∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的
17
6
倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+=
∴5
3
e =或4，故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________． 【答案】-3
【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．
14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2
【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()2
2
112x y -++=，
圆心()1,1-
，半径r =，因为()2,0A -，()0,2B
，所以AB =，
要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线
AB
的距离为，所以ABM S △
的最小值为min 11
222
AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．
15．
．
【答案】2
12
．
16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设
11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫
=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是
__________．
【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．
【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫
=-++⎨⎬⎩
⎭
，的图象如图所示
31M A =-， ∴当0x <时，1
22x x -=-+，得4x =-，
当01x ≤<时，122x x =-+，得4
3
x =，舍去，
当12x ≤<时，1
12
x x =
+，得2x =，舍去， 当2x ≥时，x x =，恒成立，
综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()4
13
n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-+⎪⎪⎩
⎭的前n 项和为n T ，证明：12n
T <． 【答案】（1）()
*4n n a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()1114
13
a S a ==
-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()114
13n n S a --=-，则
()()1144
1133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分
整理得：1
4n n a
a -=，……4分
∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()
1*444n n n a n -=⨯=∈N ，
即数列{}n a 的通项公式为：()
*4n n a n =∈N ．……6分 （2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分 则
()()
()()1
1
111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=
- ⎪+-+--+⎝⎭
，……8分
∴()()
1111
1335572121n T n n =
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
……10分 111
12212
n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分
18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．
若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若
0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；
若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求
ξ的分布列和数学期望()E ξ；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为
5
0.150
P =
=．……3分 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分
ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分
()3
6310201
01206C P C ξ====，……6分
……7分
()2146310363
212010
C C P C ξ====，……8分
()3431041
312030
C P C ξ====．……9分
所以ξ的分布列为：
故ξ的数学期望()113112
0123 1.262103010
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分
（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分
19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．
（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F AD E --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2
． 【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分 在侧面11BCC B 中，
1tan 2CD CFD CF ∠=
=，1
tan 2
BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，
∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分 结合①②，又∵AD
DF D =，∴CE ⊥平面ADF ，……5分
又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分
（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．
则)
00A ，，()012F -，，，()011E ，，． 得(3DA =，()012DF =-，，，()011DE =，，，……7分 设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0 0
DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，
得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分 同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，
，n ，……10分
……11分 则二面角F AD E --．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19
-，记动点M 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）()2
2139
x y x +=≠±；（2）见解析． 【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3
MB y k x =-()3x ≠±，
19MA MB k k ⋅=-，即1339
y y x x ⋅=-+-．……3分 化简得：2
219
x y +=，……4分 由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2
219
x y +=()3x ≠±．……5分 （2）由已知直线l 过点()1,0T ，
设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221 99
x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()
229280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y
……7分 直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s
==-+-， ()()
121111SP SP y y k k my s my s =+-+- ()()()12
22121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991s m s -=-+-．……10分
当3s =时，()
28
2991SP SP k k s -⋅==--； 当3s =-时，()2
8
11891SP SP k k s -⋅==--． 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分
21．设0a >，已知函数(
)()ln f x x a =-+，()0x >．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．
【解析】（1）()1'
f x x a
=+，……1分 ()()
22'0220f x x a x a x a >⇔+>⇔+-+>，
()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，
设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，
①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥，
∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分
②当01a <<时，0∆>，
由()0g x =得12x a ==--，
22x a =-+，
可知120x x <<，由()g x 的图象得：
()
f x 在(0,2a --和()
2a -++∞上单调递增；
()
f x 在(2a --2a -+上单调递减．……5分
（2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，
因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()2ln x a <+，
由()2'0f x =知2x a +=ln <（，
t =，则()ln 2t t <（＊），……8分
由()221,4x a =-+，得()1,2t ∈，
设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t =->， 所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分
这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a
，其参数方程为 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）
，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．
【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94
． 【解析】（1）1C
的参数方程 1x a y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分
（2）将曲线1C
的参数方程2 12
x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：
，得211402
t a +-=，……6分
由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分
当122t t =
时，()121212
2 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分 当122t t =-
时，()121212
2 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =， 综上：136a =或94
．……10分 23．选修4-5：不等式选讲
已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．
（1）求满足条件的实数t 的集合T ；
（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．
【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．
【解析】（1
……2分
则()11f x -≤≤，……4分
由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，
从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)
分
再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。