高二数学下学期期末学情调研卷含解析 试题

江宁区2021-2021学年高二数学下学期期末学情调研卷〔含解析〕
单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明
一、填空题：请把答案填写上在答题卡相应位置上.
{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，那么集合A B =______.
【答案】{}3,5 【解析】 【分析】
根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可 【详解】
{}1,3,5A =,{}3,4,5B =
{}35A B ，∴⋂= 故答案为{}35，
【点睛】此题主要考察了集合交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键，属于根底题。

2.i 为虚数单位，那么复数(1)(3)i i -+=_______. 【答案】42i - 【解析】 【分析】
由复数乘法法那么即可计算出结果 【详解】(1)(3)i i -+(
)2
3(13)42i
i i =-+-=-.
【点睛】此题考察了复数的乘法计算，只需按照计算法那么即可得到结果，较为简单
3. 根据如下图的伪代码，可知输出的结果S 为________.
【答案】7 【解析】
第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;完毕循环，输出7.S =
考点：循环构造流程图
4.袋中有形状、大小都一样的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】
56
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，那么
一次取出2只球，根本领件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 一共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 一共5种；
所以所求的概率是56
P =
．
考点：古典概型概率
-的汽车中抽取300 5.HY门对某路段公路上行驶的汽车速度施行监控，从速度在5090km/h
辆进展分析，得到数据的频率分布直方图如下图，那么速度在70km / h以下的汽车有_____辆.
【答案】150
【解析】
【分析】
先计算出速度在70km/h以下的频率，然后再计算出车辆的数量
+⨯=，
【详解】因为速度在70km/h以下的频率为(0.020.03)100.5
⨯=.
所以速度在70km/h以下的汽车有0.5300150
【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单
()2
=+-的定义域是_____.
f x x x
()lg76
-
【答案】(1,7)
【解析】
【分析】
对数函数的定义域满足真数要大于零
【详解】由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-.
【点睛】此题考察了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单
()sin()f x A x ωϕ=+〔A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<〕的局部图象如
下图，那么(0)f =_____.
【答案】
32
【解析】 【分析】
由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：3A =
由
741234
T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.
将点7,312π⎛
⎝732312πϕ⎛⎫
⨯+=- ⎪⎝⎭
即7sin 16πϕ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3π
ϕ=.
所以33
(0)3322
f ϕ===. 【点睛】此题考察了由函数图像求三角函数的表达式，纯熟掌握图像是解题关键，较为根底
{}n a 的前n 项和为n S ，假设30a =，6714a a +=，那么7
S
=____．
【答案】14 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7． 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，
∴11
1205614a d a d a d +=⎧
⎨+++=⎩，
解得a 1=﹣4，d=2， ∴S 7=7a 1+
76
2
d ⨯=﹣28+42=14． 故答案为：14．
【点睛】此题考察等差数列的前7项和的求法，考察等差数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．
xOy 中，抛物线2
12y x =的焦点恰好是双曲线2
221x y a
-=的一个焦点，那么双曲线的两条渐
近线的方程为_____.
【答案】4
y x =±
【解析】 【分析】
由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出a 的值，即可得到渐近线方程
【详解】因为抛物线的焦点为(3,0)，
所以双曲线的半焦距213c a =+=，解得22a =， 故其渐近线方程为1
22y x =±
，即24
y x =±. 【点睛】此题考察了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和a 的值，然后可得渐近线方程，较为根底
1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，
H ，M (如图)，那么四棱锥M EFGH -的体积为__________.
【答案】
1
12
【解析】
分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为2
2
的正方形，其面积2
212EFGH S ==⎝⎭
， 顶点M 到底面四边形EFGH 的间隔 为1
2
d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212
M EFGH
V -=⨯⨯=. 点睛：此题主要考察四棱锥的体积计算，空间想象才能等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =，假如
3AC BM ⋅=-，那么AB AD ⋅=________.
【答案】
32
【解析】
试题分析：因为122
()()23233
AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+
⋅-+=--⋅=-，所以3
.2
AB AD ⋅=
考点：向量数量积
R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31
(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨
--≥⎩那么函数1
()()2g x f x =-的所有零点之和为______. 21 【解析】 【分析】
画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线1
2
y =的交点的横坐标的和 【详解】由1()()02
g x f x =-=，得1()2f x =，
那么1()()2
g x f x =-
的零点就是()f x 的图象与直线1
2y =的交点的横坐标.
由，可画出()f x 的图象与直线1
2
y =〔如下列图〕，
根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，那么
0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即1
2
y =
与2log (1)(01)y x x =+<的交点的横坐标.
由21
log (1)2x +=
，解得21C x ， 即1
()()2
g x f x =-21.
【点睛】此题考察了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数的交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，此题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题
xOy 中，曲线(0)1
m
y m x =
>+在1x =处的切线为l ，那么以点(2,1)-为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的HY 方程为_______. 【答案】2
2
(2)(1)2x y -++= 【解析】 【分析】
由题意先求出切线为l 的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l 相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的HY 方程
【详解】因为1
m y x =+，所以2(1)m y x '=-+， 当1x =时，2m y =
，4m y '=-，即切点为1,2m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，切线斜率4m k =-，
那么l 的方程为(1)24m m y x -=--，即(3)4
m
y x =--，
所以直线l 恒过定点(3,0)A .
又直线l 与以点(2,1)C -为圆心的圆相切， 那么圆的半径r 等于圆心C 到直线l 的间隔 d ， 又当AC l ⊥时，d
最大，所以max max r d AC === 故所求圆的HY 方程为22(2)(1)2x y -++=.
【点睛】此题考察了求与直线相切的圆的HY 方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的间隔 ，需要具有转化的才能
,0a b >，关于x 的不等式3232
x x
x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -a
b
的最小值______.
【答案】4 【解析】 【分析】
化简3232
x x
x x
a b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果
【详解】因为,0a b >，
所以()3212323232x x
x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x x
a a
b b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-
⋅+
1
312x a a b b b +=-⎛⎫
⋅+ ⎪⎝⎭
在(0,1)上单调递增， 又关于x 的不等式32
32
x x x x
a N M
b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立， 所以1
1
a
a b N b b +=-+，131
2
a a
b M b b +=-+， 因为M N -的最小为1，
所以11
31
12
a a
b b M N b b ++-=
-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝
⎭ ⎪+⎝⎭， 即23(1)1135222135265111312
12
b b a b b b b b b b
b b ⎛⎫
++ ⎪
++⎝⎭+===+++-+
+， 所以
264a b +，当且仅当23b b =，即b ==〞， 即
a
b
的最小值为4. 【点睛】此题考察了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用根本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考察了学生转化才能
二、解答题：请在答题卡指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a b >，5a =，6c =，3
sin 5
B =.
〔1〕求b 的值；
〔2〕求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕13b =〔2〕7226
【解析】
【分析】
(1)运用余弦定理计算出b 的值
(2)由正弦定理计算出sin A 的值，运用两角和的正弦公式计算出结果
【详解】〔1〕解：在ABC ∆中，因为a b >，故由3sin 5
B =，可得cos 45B =. 由及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =.
〔2〕解：由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 313sin 13
a B A
b ==. 因为a
c <，得213cos 13
A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-
故sin 24A π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭72sin 2cos cos 2sin 4426
A A ππ=+= 【点睛】此题考察了运用正弦定理、余弦定理解三角形，纯熟运用公式来解题，较为简单
A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，A
B AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.
〔1〕求证：EF 平面ABC ；
〔2〕假设CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF .
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.
【解析】
试题分析：
(1)利用题意证得//EF AB ，由线面平行的结论有//EF 平面ABC ；
(2)利用题意可得：CE AD ⊥，AD EF ⊥，结合线面垂直的结论那么有AD ⊥平面CEF ． 试题解析：
〔1〕∵E ，F 分别为BD ，AD 的中点
∴//EF AB
∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC
∴//EF 平面ABC
〔2〕∵CB CD =，E 为BD 的中点
∴CE BD ⊥
∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CE ⊂平面BCD
∴CE ⊥平面ABD AD ⊂平面ABD ∴CE AD ⊥
∵//EF AB ，AB AD ⊥ ∴AD EF ⊥ ∵CE ⊂平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，CE EF E ⋂=
∴AD ⊥平面CEF ．
点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的断定定理，不要误解为“假如一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面〞
17.为迎接HY成立70周年，布置一椭圆形花坛，如下图，O是其中心，AB是椭圆的长轴，C是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB上选两点E，F，使OE OF
=，沿CE、CF、FA铺设管道，设CFOθ
∠=，假设20m
OA=，10m
OC=，
〔1〕求管道长度u关于角的函数及cosθ的取值范围；
〔2〕求管道长度u的最小值.
【答案】〔1〕
2010cos
20
sin
u
θ
θ
-
=+，25
0cosθ
<<〔2〕(203)m
+
【解析】
【分析】
(1)由三角函数值分别计算出CE、CF、FA的长度，即可求出管道长度u的表达式，求出cosθ的取值范围
(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值
【详解】解：〔1〕因为10sin CF θ=，10tan OF θ=，1020tan AF θ
=-， 所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θθθθ-=+-=+，
其中，0cos θ<<
. 〔2〕由2010cos 20sin u θθ-=+，得21020cos sin u θθ
-'=， 令0u '=，1cos 2θ=
， 当10cos 2
θ<<时，0u '>，函数()u θ为增函数；
当1cos 2θ<<0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2
θ=，即3πθ=时，
min 1
201022020sin 3
u π
-⨯=+
=+ 答：管道长度u
的最小值为(20+.
【点睛】此题考察了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法
xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且点12⎫⎪⎭在椭圆C C 的左顶点为A .
〔1〕求椭圆C 的HY 方程；
〔2〕过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .假设直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率.
【答案】〔1〕214y +=〔2
〕4
± 【解析】
【分析】
(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程
(2)由题意设直线斜率，分别求出OC 、BC 的表达式，令其相等计算出直线斜率
【详解】解：〔1
〕由题意知：2
2222
21121b a a b ⎧⎪-=⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩解得：2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以，所求椭圆C 方程为2
214
x y +=. 〔2〕由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点(2,0)A -，那么l 的方程为：(2)y k x =+， 联立方程组2
214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 整理得：
()222214161640k x k x k +++-=，
令(),B B B x y ，()0,C C y 由22164214B k x k --=+，得2
2
2814B k x k -=+， 将0x =代入(2)y k x =+中，得到2C y k =，所以|2|OC k =，
||0B BC =
-=，由OC BC =，得：
|2|k =
解得：28k =，∴4k =±.所以直线l 的斜率为4
±. 【点睛】此题考察了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法
{}
n a 的前n 项和为n S ，且()*1n a n =+∈N .
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕假设正项等比数列{}n b ，满足22b =，7892b b b +=，求1122n n n T a b a b a b =++⋯+； 〔3〕对于〔2〕中的n T ，假设对任意的*N n ∈，不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<
+恒成立，务实数λ的取值范围.
【答案】〔1〕21n a n =-〔2〕见解析；〔3〕133,
4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
(1)先计算出1a 的值，由11n n n a S S ++=-，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式
(2)先求出等比数列{}n b 的通项公式，运用错位相减法计算出n T 的值
(3)讨论n 为偶数和奇数时两种情况，分别求出满足要求的实数λ的取值范围，即可得到结果
【详解】解：〔1〕因为()241n n S a =+，且0n a >，由()2
1141a a =+得11a =， 又()21141n n S a ++=+，所以11444n n n a S S ++=-()()22111n n a a +=+-+， ()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以10n n a a ++≠，
所以12n n a a +-=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，又11a =，
所以21n a n =-.
〔2〕设{}n b 的公比为q ，因为7892b b b +=，22q q +=，所以1q =-〔舍〕或者2q ， 11b =，12n n b -=.
记1122n n A a b a b a b =++⋅⋅⋅+21113252(21)2n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，
232123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅，
()2112222(21)2n n A n --=+++⋅⋅⋅+--⋅，
()21(21)212222n n A n -=-⋅--+++()(21)21222(23)23n n n n n =-⋅---=-⋅+
所以1122(23)23n n n n T a b a b a b n =++⋅⋅⋅+=-⋅+.
〔3〕不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<+可化为136(1)22
n n n λ-⎛⎫-⋅<-+ ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，13622n n λ-⎛
⎫<-+ ⎪⎝
⎭，记136()22n g n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以min [()]g n λ<. 11669(2)()22222
n n n g n g n +-+-=+-=-， 2n =时，(2)()g n g n +<，4n 时，(2)()g n g n +>，
即(4)(2)g g <，4n 时，()g n 递增，min 13[()](4)4g n g ==，即134λ<， 当n 为奇数时，13622
n n λ-⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，记136()22n h n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以max [()]h n λ>. (2)()h n h n +-1166922222n n n
+-=--+=-+， 1n =时，(2)()h n h n +>，3n 时，(1)()h n h n +<，
即(3)(1)h h >，3n 时，()h n 递减，max [()](3)3h n h ==-，
所以3λ>-
综上所述，实数λ的取值范围为133,4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】此题考察了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求
解通项公式时可以运用1112n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论
21()(1)ln 2
f x x a x a x =-++. 〔1〕当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；
〔2〕假设不等式2()(1)12
a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.
【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1
【解析】
【分析】
(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x
--'=，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区间；〔2〕原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.
【详解】〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()0,+∞．
()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x
-++-=='-=-++． ① 假设01a <<，那么
当0x a <<或者1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；
②假设0a ≤，那么当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减； 当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增． 〔Ⅱ〕原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，
设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-．
()()
11'a a a x a g x ax x x
---=+=．
令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >．
∴ 函数()g x 在1
,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，
()max g x 为1e e a g a -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者．
设()h a = ()()1e e e 2e a a
g a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()0a >，
那么()e e 220a a h a -=+->='，
∴ ()h a 在()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，
所以()1e e g g ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，
从而()max g x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e a
g a =-+．
∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．
设()=e e 1a a a ϕ--+ ()0a >，那么()=e 10a a ϕ'->．
所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增．
又()10ϕ=，
所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤．
∵0a >，
∴ a 的取值范围为(]
0,1．
【点睛】此题考察了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数断定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者者有解求参的问题，常用方法有：变量别离，参变别离，转化为函数最值问题；或者者直接求函数最值，使得函数最值大于或者者小于0；或者者别离成两个函数，使得一个函数恒大于或者小于另一个函数.
a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦
，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.求矩阵A . 【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A
【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，
即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩
同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩
解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】此题考察了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩
〔α为参数〕.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 44πρθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 间隔 的最大
【答案】max 5d =
【解析】
【分析】
将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的间隔 公式计算出最大值 【详解】cos 44πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
化简为cos sin ρθρθ+= 那么直线l
的直角坐标方程为x y +=设点P 的坐标为(cos ,sin )αα，得P 到直线l 的间隔
d =，
即d =， 所以：max 5d =.
【点睛】此题考察了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的间隔 公式计算出最值问题，较为根底，需要掌握解题方法
23.a ，b 是正数，求证：22144a b ab
++
. 【答案】见证明
【解析】
【分析】
运用根本不等式即可证明
【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +. 所以221144244a b ab ab ab ++
+=. 即22144a b ab
++. 当且仅当1a =，12
b =时取等号 【点睛】此题考察了根本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等〞的条件
24.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点.
〔1〕求证：AE ⊥平面PBC ；
〔2〕求二面角B PC D --的余弦值.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕714
-. 【解析】
【分析】
可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP
→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC 。

通过求平面PBC 和平面PCD 的法向量得证二面角B PC D --的余弦值。

【详解】〔1〕根据题意，建立以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴的空间直角坐标系，
那么()()()A 000B 100C 110，
，，，，，，，， ()()11D 030P 001E 022⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，，，，，，， ()()11001010122AE BC BP ⎛⎫→=→=→=- ⎪⎝⎭
，，，，，，，，， 因为00AE BC AE BP
→→=→→=，， 所以AE BC AE BP ⊥⊥，．
因为BC BP ⊂、平面PBC ，且BC BP B ⋂＝，
所以AE ⊥平面PBC ．
〔2〕设平面PCD 的法向量为()n x y z ＝，，，那么00CD PD
n n →=→=， 因为()()120031CD PD
→=-→=-，，，，，，所以x 2y 03y z 0－＋＝，－＝． 令x 2＝，那么y 1z 3＝，
＝． 所以()n 213＝，，是平面PCD 的一个法向量．
因为AE ⊥平面PBC ，所以AE 是平面PBC 的法向量． 所以AE AE AE 57cos n n n →→==
→，
由此可知，AE 与n
根据图形可知，二面角B PC D －－的余弦值为。

【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系。

25.一种抛硬币游戏的规那么是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. 〔1〕设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；
〔2〕求恰好得到()*n n ∈N
分的概率. 【答案】〔1〕Eξ=152；〔2〕11[2()]32n +- 【解析】
试题分析：〔1〕抛掷5次的得分ξ可能为5,6,7,8,9,10，且正面向上和反面向上的概率相等，都为12
，所以得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，即可得分布列和数学期望；
〔2〕令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．，因为“不出现n 分〞的概率是1n P -，“恰好得到1n -分〞的概率是1n P -，因为“掷一次出现反面〞的概率是12，所以有1112n n P P --=，即1212()323n n P P --=--，所以23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是以121213236P -
=-=-为首项，以12
-为公比的等比数列，即求得恰好得到n 分的概率． 试题解析：〔1〕所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===， 其分布列如下
105555
115()22i i E iC ξ-===∑ 〔2〕令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．
因为“不出现n 分〞的概率是1n P -，“恰好得到1n -分〞的概率是1n P -，
因为“掷一次出现反面〞的概率是
12，所以有1112n n P P --=， 即1212()323
n n P P --=--．
于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -
=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32
n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32
n +-． 考点：等可能事件的概率；分布列和数学期望；“恰好〞事件的概率．。