2024届甘肃省陇东中学数学高一下期末教学质量检测试题含解析

2024届甘肃省陇东中学数学高一下期末教学质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．2
sin y x =是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为2π的奇函数
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥
②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ③若//m α，//n α，则//m n ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
3．某数学竞赛小组有3名男同学和2名女同学，现从这5名同学中随机选出2人参加数学竞赛（每人被选到的可能性相同）.则选出的2人中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（ ） A ．
3
5
B ．
25
C ．
23
D ．
13
4．若函数110,1 ()=lg ,1x x f x x x -⎧≤⎨>⎩
，则()()10f f =（ ）
A ．9
B ．1
C ．1
10
D ．0
5．已知变量，满足约束条件
则
的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P
满足OP OA OB λμ=+，其中λ，μ∈R ，且λ+μ=1，则点P 的轨迹方程为() A ．0x y -= B ．0x y +=
C ．230
x y +-=
D ．22(1)(2)0x y ++-=
7．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．
52
B ．3
C ．
72
D ．4
8．函数1tan 236y x π⎛
⎫=
-+ ⎪⎝
⎭的一个对称中心是（ ） A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．30,9⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
9．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．菱形
10．数列{}n a 中，22
21
1201620172n n n
a n n n n
⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，则数列{}n a 的极限值（ ） A ．等于0
B ．等于1
C ．等于0或1
D ．不存在
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则2
2
2
x y z ++的最小值为 . 12．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
13．已知实数,x y 满足条件0040y x x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值是________.
14．如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A
B ＝ ．
15．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =______. 16．若()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）上至少含有30个零点，则
b a -的最小值为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 、P 、
Q 分别是棱AD 、SC 、AB 的中点，且SE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：PQ ∥平面SAD ； （2）求证：AC ⊥平面SEQ ． 18．已知()(
)1,n n A A n n n N
*
+=∈.
（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设(
)11n n b A A n N
*
+=∈，求数列{}n
b 的通项公式；
（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()
22111n n a a C C n N *+⎛--=∈ ⎝⎭
，其中a 为常数，1a ≥，求(
)
112
11
1
lim 1
n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞
++⋅++⋅++的值.
19．已知函数2()6sin cos 2)2cos 1,4
f x x x x x x R π
=+-+∈,
（1）求()f x 的单调递增区间.
（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，的最大值和最小值. 20．如图，在ABC 中，2
3
BAC π∠=
，27BC =2AC =，AD AC ⊥.
（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求AD .
21．已知直线l 经过点()1,2P .
（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；
（2）若()1,1A -，()3,1B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
将函数2
sin y x =化为()1
1cos22
y x =-的形式后再进行判断便可得到结论． 【题目详解】
由题意得()()2
1
sin 1cos22
y f x x x ===
-， ∵()()f x f x -=， 且函数()()11cos22f x x =
-的最小正周期为2π
2
π=， ∴函数2sin y x =时最小正周期为π的偶函数． 故选A ． 【题目点拨】
判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为()y Asin x ωϕ=+或
()(0)y Acos x ωϕω=+>的形式，然后利用公式2π
T ω
=
求解即可得到周期．
2、A 【解题分析】
根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案． 【题目详解】
解：对于①，因为//n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得//n l ， 又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合//n l 得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为//αβ且//βγ，所以//αγ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题；
对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在的平面，
则有//m α且//n α成立，但不能推出//m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A 【题目点拨】
本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 3、A 【解题分析】
把5名学生编号，然后写出任取2人的所有可能，按要求计数后可得概率． 【题目详解】
3名男生编号为,,A B C ，两名女生编号为,a b ，任选2人的所有情形为：
,,,,AB AC Aa Ab ,,BC Ba Bb ，,,Ca Cb ab ，共10种，其中恰有1名男生1名女生的
有,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb 共6种，
所以所求概率为63105
P ==． 【题目点拨】
本题考查古典概型，方法是列举法． 4、B 【解题分析】
根据()f x 的解析式即可求出()10f ，进而求出()()10f f 的值．
【题目详解】
∵()110,1
lg ,1x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩
，∴()10lg101f ==，
故()()()11
10110
1f
f f -===，故选B.
【题目点拨】
本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题. 5、D 【解题分析】 试题分析：把函数转化为
表示斜率为
截距为平行直线系，
当截距最大时，
最大，由题意知当直线过
和
两条直线交点
时
考点：线性规划的应用. 【题目详解】 请在此输入详解！ 6、C 【解题分析】
设P 点坐标(,)x y ，代入OP OA OB λμ=+，得到即33x y λμ
λμ
=-⎧⎨=+⎩，再根据1λμ+=，
即可求解. 【题目详解】
设P 点坐标(,)x y ，因为点,A B 的坐标分别为(1,1),(3,3)-， 将各点坐标代入OP OA OB λμ=+,可得(,)(1,1)(3,3)x y λμ=+-，
即33x y λμλμ=-⎧⎨=+⎩，解得1()2
1()6x y y x λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，代入1λμ+=，
化简得230x y +-=，故选C. 【题目点拨】
本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题. 7、C 【解题分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【题目详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得755
58
x ⨯+=
=，()2
2
7455782
s ⨯+-==.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 8、A 【解题分析】 令26
2k x π
π-+
=
，得：412k x ππ=-+，即函数的对称中心为,0,412k k Z ππ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭，再求解即可. 【题目详解】
解：令26
2k x π
π-+
=
，解得：412
k x ππ
=-
+， 即函数1tan 236y x π⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭
的对称中心为,0,412k k Z ππ⎛⎫
-
+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =，即函数1tan 236y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了正切函数的对称中心，属基础题. 9、A 【解题分析】
本题首先可以根据向量的运算得出23AD a b ，然后根据3BC a b =-以及向量平行的相关性质即可得出四边形ABCD 的形状． 【题目详解】 因为AD
AB BC CD ，所以232323AD
a b a b a b a b ，
因为3BC a b =-，,a b 是不共线的非零向量，所以//AD BC 且AD BC ≠， 所以四边形ABCD 是梯形，故选A ． 【题目点拨】
本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题． 10、B 【解题分析】
根据题意得到：n →∞时，2
22n n a n n
=-，再计算lim n n a →∞即可. 【题目详解】
因为当n →∞时，22
2n n
a n n
=-.
所以221
lim lim lim 1
2
21n n n n n a n n n
→∞→∞→∞===--. 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和应用，属于中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
122
【解题分析】
试题分析：由柯西不等式，2
2
2
2
2
2
2
(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为
2331x y z ++=.所以2222221
22()122
x y z x y z ++≥⇒++≥
，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122
. 考点：柯西不等式 12、1:47 【解题分析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比. 【题目详解】
设长方体长宽高分别为2a ，2b ，2c ， 所以长方体体积12228V a b c abc =⨯⨯=， 三棱锥体积2111
326
V a b c abc =
⨯⨯⨯⨯=， 所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
21211614786abc
V V V abc
==-⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
故答案为：1:47. 【题目点拨】
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题. 13、8 【解题分析】
画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.
【题目详解】
实数x ,y 满足条件4000x y y x +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
的可行域如下图所示:
将目标函数2z x y =+变形为:1122y x z =-
+, 则要求z 的最大值,即使直线11
22
y x z =-+的截距最大,
由图可知,直线11
22
y x z =-+过点(0,4)A 时截距最大,
max 0248z ∴=+⨯=,
故答案为:8. 【题目点拨】
本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义. 14、0.5 【解题分析】
()P A B 表示事件A 与事件B 满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公
式求解． 【题目详解】
()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+=
【题目点拨】
此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目． 15、
15
2
【解题分析】
由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=
2
a q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，
得
42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152
. 16、
86
3
π 【解题分析】
首先求出()f x 在[]0,π上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时a b 、的值即可 【题目详解】
根据()2sin 10f x x =-=，即1sin 2x =
，故26x k ππ=+，或526
x k ππ=+， ∵()2sin 1f x x =-在区间[]
,a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点， ∴不妨假设6
a π
=
（此时，0k =），则此时b 的最小值为5286
π
π+
，（此时，14k =），
∴b a -的最小值为58628663
ππππ+-=， 故答案为：
86
3
π 【题目点拨】
本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。

属于难题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）见解析 【解题分析】
（1）取SD 中点F ，连接AF ，PF ，得PQ AF ，利用直线与平面平行的判定定理证明PQ ∥平面SAD ．
（2）连结BD ，由已知条件得AC EQ ⊥，由SE ⊥平面ABCD ，得AC SE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC ⊥平面SEQ ． 【题目详解】
（1）取SD 中点F ，连接AF ，PF ，∵P 、F 分别是棱SC 、SD 的中点，
∴FP CD ，且1
2FP CD =
．∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点， ∴AQ CD ∥，且1
2
AQ CD =，∴FP AQ ∥且FP AQ =，∴AQPF 为平行四边形.
∴PQ AF ．∵PQ ⊄平面SAD ，AF ⊂平面SAD ，∴PQ ∥平面SAD ．
（2）连接BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，
∵E ，Q 分别是棱AD 、AB 的中点，∴EQ BD ∥，∴AC EQ ⊥， ∵SE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC SE ⊥， ∵SE
EQ E =，SE 、EQ ⊂平面SEQ ，∴AC ⊥平面SEQ .
【题目点拨】
本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18、（1）()1223346,6A A A A A A ++=；
（2）22,22n n n n n b ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
； （3）当1a =-时，()
112
1
1
1
lim 21
n n n n n n n n n A A B B a A A
C C n ++→∞
++⋅++=-⋅++；
当1a =或1a >时，()
112
1
1
1
lim 01
n n n n n n
n n n A A B B a A A
C C n ++→∞++⋅++=⋅++.
【解题分析】
（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；
（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；
（3）先计算出
()112
1
1
1
1
n n n n n
n n n A A B B a A A
C C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三
种情况计算出()112
1
1
1
lim
1
n n n n n n
n n n A A B B a A A
C C n ++→∞
++⋅++⋅++的值.
【题目详解】
（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）
()
112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==++
++++
++++
+
22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
；
（3）
()
112
1
1
111
1
n n n n n
n n n n a a A A B B a A A
C C n ++++-++⋅++=
⋅++①当1a =时，()
1121
1
1
2
lim
lim
01
1
n n n n n n n
n n n A A B B a n A A
C C n ++→∞
→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()
112
1
1
1
222
lim
lim
lim 2111
1
1n n n n n n n n
n n n A A B B a n n A A
C C n n
++→∞
→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++；
③当1a >时，
(
)
(
)
2112
11
2
11
111
lim
lim
011
1
n n n n n n n n n n n a a
n a a A A B B a n n A A C C n n n
++→∞
→∞
++-++-++⋅++===⋅++++.
【题目点拨】
本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题. 19、（1）3,8
8k k π
πππ⎡
⎤
-+
⎢⎥
⎣
⎦
，k Z ∈；（2）最大值为2- 【解题分析】
利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出
()24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
（1）令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解出x 的范围即为所求单调递增区间；
（2）利用x 的范围可求得24
x π
-所处的范围，整体对应正弦函数图象可确定最大值和
最小值取得时24
x π
-的值，进而求得最值.
【题目详解】
()()3sin 2sin 2cos 2cos 22sin 2cos 224f x x x x x x x x π⎛
⎫=---=-=- ⎪⎝
⎭
（1）令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，k Z ∈，解得：38
8
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈
()f x ∴的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈
（2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ ∴当24
2
x π
π
-
=
时，()f x
取得最大值，最大值为2
π
=当24
4
x π
π
-
=-
时，()f x
取得最小值，最小值为24π⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
【题目点拨】
本题考查正弦型函数单调区间和最值的求解问题，涉及到利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简三角函数；关键是能够灵活应用整体对应的方式，结合正弦函数的图象与性质来进行求解. 20、（Ⅰ）4AB =
（Ⅱ）AD =
【解题分析】
（Ⅰ）利用余弦定理2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⨯⨯∠=，解得AB 的长；
（Ⅱ）利用正弦定理得2
2sin sin sin
3
AB BC C
B π==
，计算得sin C ，sin B ，再利用ADC ∆为直角三角形，进而可计算AD 的长. 【题目详解】
（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理有2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⨯⨯∠=， 即2
2422cos 283
AB AB π
+-⨯⨯=，解得4AB =或2AB =-（舍）， 所以4AB =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得4AB =，在ABC ∆中，
由正弦定理有2
2sin sin sin 3
AB BC C B π==
，得sin 14B =
，sin 7
C =，
所以cos 7C =
，tan 2
C =， 又A
D AC ⊥，则ADC ∆为直角三角形， 所以
tan AD C AC =
，即2AD =
AD =. 【题目点拨】
本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用，属于基础题. 21、（2）2y x =或3x y +=（2）24y x =-+或1y x =+ 【解题分析】
（2）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．
（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A ，B 的中点两种情况进行求解即可． 【题目详解】
（2）若直线过原点，则设为y ＝kx ，则k ＝2，此时直线方程为y ＝2x ， 当直线不过原点，设方程为
x y
a a
+=2，即x +y ＝a ， 此时a ＝2+2＝2，则方程为x +y ＝2， 综上直线方程为y ＝2x 或x +y ＝2． （2）若A ，B 两点在直线l 同侧， 则AB ∥l ， AB 的斜率k 112
132
---=
==--2， 即l 的斜率为2，
则l 的方程为y ﹣2＝x ﹣2，即y ＝x +2，
若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C （2，0）， 则k 20
12
-=
=--2， 则l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x +4， 综上l 的方程为y ＝﹣2x +4或y ＝x +2． 【题目点拨】
本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键．。