2020学年高中数学第1章解三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5(2021-2022学年)

１。

１.2 余弦定理
1．余弦定理
(1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 即a 2
=ｂ2
+ｃ2
-２ｂｃｃo ｓ_A ,ｂ2
=a ２
＋c 2
－２ａc ｃos_B ,
c 2=a 2＋ｂ2-2ａｂcos_C.
（2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. ①已知三边,求三角．
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 思考:利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？ [提示] 是． 2．余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形:
ｃos Ａ＝＼ｆ(b 2
+c ２
-a 2
,2bc ）; cos B ＝＼f （a 2
+ｃ2
-b 2,２ａc )；
ｃo ｓ C =a 2＋ｂ2-c ２
2ａb。

（２）利用余弦定理的变形判定角:
在△ＡBC 中,c ２
=a 2
+ｂ2
⇔∠Ｃ为直角；c 2
〉a 2
＋b ２
⇔∠Ｃ为钝角;ｃ2
<
a
2
＋b 2
⇔∠C 为锐角.
ﻬ
1.在△ＡＢC 中,ｓi ｎ A ∶sin B ∶sin Ｃ＝3∶２∶３，则cos C 的值为
( )
Ａ.＼ｆ(1,3) ﻩB ．-错误!未定义书签。

Ｃ．错误! ﻩＤ.-错误!未定义书签。

Ａ [根据正弦定理，a∶ｂ∶c=sin A∶sin Ｂ∶ｓin Ｃ＝3∶２∶3，设a＝3k，b=２k,c＝３ｋ(k>０）.
则有cｏs C=错误!未定义书签。

=＼f（1,3)。

]
2．在△AＢC中,若ａ＝3,c＝7,∠Ｃ=60°,则b为( ）
A．５B．8
C.５或－8 Ｄ．－5或8
B［由余弦定理得ｃ２＝a2＋ｂ2-２ab cｏｓC，
即49＝9＋b2-3b,所以（b－8)(b＋5）=0.
因为b>0,所以ｂ＝8.］
3.在△ABC中,a=1,b＝错误!，c=2,则∠B=________．
６0° [ｃos B＝错误!＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,∠B＝60°.]
4.在△ABC中,若a2=ｂ2+bc＋ｃ2,则∠A=____＿___。

1２0°［∵a２=b2+bc+c2,
∴b2+c２-ａ2=－ｂｃ，
∴ｃoｓＡ=错误!=错误!＝-错误!,
又∵0°<∠A<1８0°,
∴∠A=120°.]
a＝＼ｒ(3）,ｂ=错误!未定义书签。

，∠B＝4５°.
ﻬ[解] 由余弦定理知ｂ2=ａ2＋c２－２aｃcos Ｂ．
∴2＝3+c2－2＼ｒ（3）·错误!未定义书签。

c．
即c2-＼r（6)c＋1=0,解得ｃ=错误!或c＝错误!。

当c=错误!时,由余弦定理,得coｓＡ=错误!=错误!=错误!未定义书签。

∵0°<∠A〈１80°,∴∠A＝60°,∴∠C＝７５°．
当c＝错误!时，由余弦定理,得ｃoｓＡ=错误!=错误!未定义书签。

=－错误!。

∵0°<∠Ａ〈18０°，∴∠A=120°,∠Ｃ＝1５°。

故c=错误!未定义书签。

，∠A＝60°，∠Ｃ＝７5°或c=错误!,∠A=12０°,∠C＝15°。

已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角,有两种解法,一种方法是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．（2）若已知角是两边的夹角.则直接运用余弦定理求出另外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.
１.在△A ＢC 中，已知a =5，ｂ=３,∠C 的余弦值是方程5ｘ2
+７x -６＝0的根，求第三边长c ． ［解] ５x 2
＋７x －６=０可化为(5x -3)(ｘ+2)＝0. ∴x 1＝错误!未定义书签。

,x 2=-2（舍去）. ∴ｃo ｓ C ＝３
5。

根据余弦定理,
c 2=ａ2+b ２－2ab cos Ｃ＝52+32－2×5×３×错误!未定义书签。

＝１6.
∴c =4,即第三边长为4。

ﻬ【例
2】 (１)已知△的三边长为=2错误!，=2错误!,=错误! +,
求△A ＢＣ的各角度数;
（2)已知△A ＢＣ的三边长为a =3，b =4,ｃ=错误!，求△AB Ｃ的最大内角. ［解] （１)由余弦定理得：
cos A ＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

， ∴∠Ａ=60°。

co ｓ B ＝＼f(ａ2
＋ｃ2
-b 2
,２ac ）=错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

， ∴∠B =45°,∴∠Ｃ＝18０°－∠A －∠B ＝75°。

(2）∵c 〉a ,c 〉b ，∴∠C 最大．由余弦定理，得c 2
=a 2
＋b 2
-２ab c ｏs C , 即3７=９＋16－24cos C ，
∴ｃｏs C ＝－错误!未定义书签。

， ∵0°〈∠C ＜180°， ∴∠C ＝1２0°。

∴△ABC 的最大内角为1２0°.
1.已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角,再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.
2．若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k ,从而转化为已知三边解三角形．
2．在△A ＢＣ中,已知(a ＋ｂ＋ｃ）(b +c -a )＝3ｂｃ,则角∠A 等于
（ ）
A ．3０° Ｂ.60° C ．１20°
D.150°
Ｂ [∵（b +c ）2
-ａ2
=ｂ２
＋c ２
＋2ｂc －a ２
=3b ｃ,
ﻬ∴ｂ
２
+c 2－ａ2
＝bc ,
∴cos A ＝错误!=错误!,∴∠Ａ=60°．]
[
1．在△AB Ｃ中，∠A ，∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,ｃ,若a 2
＝b 2
＋c 2
,则si ｎ2
A ＝s ｉn 2
B +sin 2
C 成立吗?反之,说法正确吗?为什么？
［提示] 设△ABC 的外接圆半径为R .
由正弦定理的变形,将ａ=2R s ｉn A ,ｂ=2Ｒｓi ｎ B ,c =２R sin Ｃ,代入ａ２
=ｂ2
＋c 2
可得ｓｉn
２
A =sin 2Ｂ+s ｉｎ2C ．反之,将ｓin A ＝错误!未定义书签。

,sin Ｂ=错误!未定义书签。

,sin C =错误!
代入si ｎ2
A =sin 2
B +s ｉｎ２
C 可得ａ2
＝b ２
+c ２。

因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2,则∠C ＝＼f(π,2)成立吗?反之,若∠Ｃ=π2，则c 2＝ａ2＋b 2
成立吗?
为什么?
［提示] 因为ｃ2
＝ａ2
+ｂ2
,所以a ２
＋b ２
－c ２
=０，由余弦定理的变形cos C ＝错误!未定义书
签。

＝０，即cos Ｃ＝0,所以∠C ＝错误!未定义书签。

,反之，若∠C =错误!未定义书签。

,则co
ｓ Ｃ＝0,即错误!未定义书签。

=０，所以a 2
＋b ２
-c 2
＝0，即c 2
=a ２
+b 2
.
【例3】 在△ABC 中,若（a －ｃ·cos Ｂ)s ｉn B =(b -ｃ·cos A )si ｎ Ａ,判断△ABC 的形状．
[思路探究] 角边转化．
[解]法一:∵(a－c·coｓB)sin Ｂ=(b－c·ｃｏs Ａ)·ｓin A,
∴由正、余弦定理可得：
错误!未定义书签。

·b=错误!·a,
整理得:(a２+b２－c2)b2＝(a２＋ｂ2－c2)a２,
即(ａ2-b2）（a2+b2-c2)=0，
∴ａ2+ｂ2－c2＝0或a2＝ｂ2。

∴a2＋b2=c2或a=ｂ．
故△AＢC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．
法二:根据正弦定理，原等式可化为:
（sinＡ－sｉｎC cｏｓＢ)ｓin B＝（ｓin B-sin C cｏs A)sin Ａ,
即siｎＣcos BｓiｎＢ＝sin Ｃcos Ａsin A.
∵sｉn C≠0，∴siｎB cｏs B=sｉn A cos A,
∴ｓin2B＝sｉn 2Ａ.
∴２∠B=2∠A或2∠B＋２∠A=π，
即∠A=∠B或∠A＋∠B=错误!．
故△ＡBC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形.
1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式,法二是借助于正弦定理,将已知等式转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断三角形形状的常用手段.
２．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理；反之,若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显,则要考虑两个定理都有可能用．
３．在△ABC中,若2∠Ｂ=∠A＋∠C，ｂ2=ac，试判断△ＡBC的形状为_＿______.
等边三角形［∵2∠B=∠A＋∠Ｃ，
又∠A＋∠Ｂ＋∠C=１8０°，∴∠B=60°.
又ｂ２=ac，由余弦定理可得ｂ２=ａ2＋ｃ2-2acｃoｓB=a2＋c2－2acｃos ６０°＝a2＋ｃ2-ac，∴a2+c2-aｃ＝ac,从而(a-c）2=0,
∴a=ｃ，可知△ABC为等边三角形.］
１．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形,难点是在解三角形时，对两个定理的选择.
2．本节课要掌握的解题方法：
（1)已知三角形的两边与一角,解三角形．
(2)已知三边解三角形．
ﻬ（３）利用余弦定理判断三角形的形状.
3．本节课的易错点有两处：
（1）正弦定理和余弦定理的选择:
已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下,利用正弦定理求出另一边所对的角,再求其他
的边或角,要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解,只需解一个一元二次方程，即可求出边来.比较两种方法,采用余弦定理较简单.
（２)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
（1)在三角形中,已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形,但不能用余弦定理去解.（ )（2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此,它适用于任何三角形.（）
(3）利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．()
(4)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例．（）
［解析］（1）×。

由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
(２）√。

余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形．
(３）√。

结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
(４）√。

余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案] (1）× (2)√(3）√（4）√
2．在△AＢＣ中，若2cｏs B sｉｎＡ＝sｉn C，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰直角三角形ﻩ B.直角三角形
Ｃ.等腰三角形Ｄ．等边三角形
C[∵2cos B siｎA=ｓiｎC，
∴2×＼f（a２+ｃ２-b2,2ａc)×a=ｃ，
ﻬ∴ａ＝b.故△ABC为等腰三角形.］
3．在△ＡBC中,已知a=４，ｂ＝6，∠Ｃ=120°，则边c＝__＿＿__＿_。

2错误!未定义书签。

［根据余弦定理ｃ２=ａ2+b２-２ab cos C=16+36-2×4×6ｃos １20°＝7６,ｃ=2错误!未定义书签。

.]
4.在△AＢC中,已知ａ=８,∠B=６0°,c＝４（３＋1),解此三角形.
[解］由余弦定理得，
b2=a2+ｃ２－2ac cｏs B=82＋[4(３＋1）］2-2×８×4(错误!未定义书签。

+1)·ｃos6０°＝64+16(４＋2错误!未定义书签。

)-６４（3+1）×错误!未定义书签。

＝９6,
∴b＝4错误!.
法一:由cos Ａ=错误!未定义书签。

=错误!＝错误!，
∵0°〈∠A〈１80°，∴∠A=45°．
故∠Ｃ=1８0°-∠A－∠B＝１80°-45°－60°=７5°。

法二：由正弦定理＼f(a,sｉn A)＝错误!,
∴错误!=错误!未定义书签。

，
∴ｓin A=错误!未定义书签。

,
∵b〉a，ｃ〉a,
∴a最小,
即∠Ａ为锐角．
因此∠A＝4５°.
故∠C=1８０°－∠A-∠B=180°－45°－６0°=75°.。