2013高中数学总复习 8-6课后演练知能检测 北师大版

2013北师大版数学总复习课后演练知能检测8-6 Word版含答案
(时间：60分钟，满分：80分)
一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)
1．(2012年合肥第一次质检)过点(0,1)作直线，使它与拋物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：结合题意分析可知，满足条件的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与拋物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案：C
2．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交
C．相切D．不确定
解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，
则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝1
2
(|AA1|＋|BB1|)＝
1
2
(|AF|＋|BF|)
＝1
2
|AB|＝半径，故相切．
答案：C
3．(2012年沈阳调研)已知过拋物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角为( )
A.π
6
或
5π
6
B.
π
4
或
3π
4
C.π
3
或
2π
3
D.
π
2
解析：由焦点弦长公式|AB|＝
2p
sin2θ
得
6
sin2θ
＝12，
∴sin θ＝
2
2
，∴θ＝
π
4
或
3π
4
.
答案：B
4．(2011年湖北高考)将两个顶点在拋物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此拋物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
解析：设直线y ＝33(x －p 2)，与拋物线y 2
＝2px 联立可得x ＝7±432
p ，故可得两交点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 和⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7－432p ，3p －2p 与(p 2
，0)之间
的距离为2(2－3)p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋432p ，3p ＋2p 与(p
2
，0)之间的距离为2(2＋3)p ，故等边
三角形有两个，选C. 答案：C
5．设斜率为2的直线l 过拋物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O
为坐标原点)的面积为4，则拋物线的方程为( ) A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ． y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
解析：由题可知拋物线焦点坐标为(a
4
，0)，
于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a
4)，
令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a
2)，
所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |
2＝4，∴a ＝±8.
答案：B
6．(2011年课标全国)已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，
B 两点，|AB |＝12，P 为
C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
解析：设拋物线方程为y 2
＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p
2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2
，
|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，∴△PAB 的面积为
1
2×6×12＝36. 答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升1
2
米后，水
面的宽是________．
解析：设抛物线方程为x 2
＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，
故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2
＝－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x ＝
±2 3.故水面宽43米． 答案：43米
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知拋物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，
则该拋物线的方程是________．
解析：由题意设拋物线的方程为y 2
＝2ax (a >0)，由于其过点P (2,4)，所以42
＝2a ×2⇒a ＝4，故该拋物线的方程是y 2
＝8x . 答案：y 2
＝8x
9．已知点M 是拋物线y 2
＝4x 上的一点，F 为拋物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2
＋(y －1)
2
＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．
解析：依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由拋物线的定义知|MF |等于点M 到拋物线的准线x ＝－1的距离，结合图形(图略)不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到拋物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. 答案：4
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．(2011年江西高考)已知过拋物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交拋物线于
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该拋物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为拋物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值． 解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p
2)，
与y 2
＝2px 联立，从而有4x 2
－5px ＋p 2
＝0， 所以：x 1＋x 2＝5p
4
，
由拋物线定义得：|AB |＝ x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而拋物线方程是y 2
＝8x .
(2)由p ＝4,4x 2
－5px ＋p 2
＝0可简化为x 2
－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，
y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；
设OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，
又y 2
3＝8x 3，即[22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2
＝4λ＋1，
解得λ＝0，或λ＝2.
11．(2012年沈阳模拟)如图，F 为抛物线y 2
＝2px 的焦点，A (4,2)为抛
物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA |＋|PF |的最小值为8. (1)求该抛物线的方程；
(2)如果过F 的直线l 交抛物线于M 、N 两点，且|MN |≥32，求直线l 的倾斜角的取值范围．
解析：(1)设P 点到抛物线的准线x ＝－p
2的距离为d ，由抛物线的定义知d ＝|PF |，
∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA |＋d ) min ＝p
2＋4，
∴p
2
＋4＝8⇒p ⇒8，∴抛物线的方程为y 2
＝16x . (2)由(1)得F (4,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，显然k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，把直线方程代入抛物线，得k 2x 2
－(8k 2
＋16)x ＋16k 2
＝0，x 1＋x 2＝8k 2
＋16
k
2
，x 1·x 2＝16， ∴|MN |＝1＋k 2
×
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝1＋k 2
× ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
＋
16k 22－64 ＝1＋k 2
×64k 4
＋162k 2
＋162
－64k
4
k 2
＝
1＋k
2
k 2
×161＋k 2
＝
16
1＋k
2
k 2
≥32，
∴k 2
≤1，即－1≤k ≤1，
∴直线l 斜率的取值范围为[－1,0)∪(0,1]， ∴直线l 倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 12．(2011年福建高考)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与拋物线C ：x 2
＝4y
相切于点A . (1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与拋物线C 的准线相切的圆的方程．
解析：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b ，
x 2
＝4y 得x 2
－4x －4b ＝0，(*)
因为直线l 与拋物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2
－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与拋物线C的准线相切，
所以圆A的半径r就等于圆心A到拋物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。