九年级数学上册第四章相似三角形4

第3课时 相似三角形的性质的应用
1．某一时刻，身高1.6 m 的小明在阳光下的影子是0.4 m ．同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m ，则该旗杆的高度为( C ) A ．1.25 m B ．10 m C ．20 m
D ．8 m
【解析】 设该旗杆的高度为x m ．由题意，得1.6∶0.4＝x ∶5，解得x ＝20，即该旗杆的高度是20 m ．故选C.
2．如图4－5－22，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，
D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点
E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( B )
图4－5－22
A ．60 m
B ．40 m
C ．30 m
D ．20 m
【解析】 ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△BAE ∽△CDE ，∴AB
DC
＝
BE CE
. 又∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，DC ＝20 m ，∴AB 20＝20
10
，
解得AB ＝40.故选B.
3．[2017·绵阳]为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4 m ，如图4－5－23.已知小丽同学的身高是1.54 m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm ，则旗杆DE 的高度等于( B )
图4－5－23
A ．10 m
B ．12 m
C ．12.4 m
D ．12.32 m
【解析】 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，则AB ED ＝BC DC
，即
1.5
DE
＝0.5
4
，解得DE ＝12 m. 4．阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7 m 的亮区DE (如图4－5－24所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，则窗口底边离地面的高BC 为( A ) A ．4 m B ．3.8 m C ．3.6 m
D ．3.4 m
图4－5－24 第4题答图
【解析】 如答图，连结AE ，BD . ∵太阳光为平行光线， ∴AE ∥BD ，∴△BCD ∽△ACE ，
∴AC BC ＝EC DC
，即1.8＋BC BC ＝8.7
8.7－2.7
，解得BC ＝4.
5．[2017·天水]如图4－5－25所示，路灯距离地面8 m ，身高1.6 m 的小明在距离路灯的底部(点O )20 m 的A 处，则小明的影子AM 的长为__5__m. 【解析】 设AM ＝x ，根据三角形相似，有
x
x ＋20＝1.6
8
，解得x ＝5.
图4－5－25 图4－5－26
6．如图4－5－26，铁道口栏杆的短臂长1.2 m ，长臂长为8 m ，当短臂端点下降0.6 m 时，长臂端点升高__4__m(栏杆的粗细忽略不计)．
【解析】 设长臂端点升高x m ，则x 0.6＝8
1.2
，x ＝4.
7．如图4－5－27，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且使边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边
DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝__5.5__m.
图4－5－27
【解析】 ∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC FE ＝DC DE
.
∵DE ＝40 cm ＝0.4 m ，EF ＝20 cm ＝0.2 m ，CD ＝8 m ，
∴BC 0.2＝8
0.4
，解得BC ＝4， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)．
8．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图4－5－28，矩形城池ABCD ，东边城墙
AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过点A ，则FH ＝__1.05__里．
图4－5－28
【解析】 ∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过点A ， ∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，
∴∠HFA ＝∠AEG ＝90°，∠FHA ＝∠EAG ， ∴△GEA ∽△AFH ， ∴EG FA ＝EA FH
.
∵AB ＝9里，DA ＝7里，EG ＝15里， ∴FA ＝3.5里，EA ＝4.5里， ∴153.5＝4.5
FH
，解得FH ＝1.05. 9．如图4－5－29是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整地拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
图4－5－29
解：根据物体成像原理，得△LMN ∽△LBA ， ∴MN BA ＝LC LD ，即MN LC ＝
AB
LD
.
(1)∵像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ， ∴3550＝4.9
LD
，解得LD ＝7. 答：拍摄点距离景物7 m ；
(2)∵拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变， ∴35LC ＝2
4，解得LC ＝70. 答：相机的焦距应调整为70 mm.
10．[2017·西安模拟]如图4－5－30，某水平地面上建筑物的高度为AB ，在点D 和点F 处
分别竖立高是2 m 的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52 m ，并且建筑物AB ，标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 后退2 m 到点G 处，在G 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4 m 到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，求建筑物的高．
图4－5－30
解： ∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴AB ∥CD ∥EF ，
∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝
DG
DG ＋BD
，
EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD
， ∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，FH ＝4 m ， ∴2AB ＝44＋52＋BD ，2AB ＝2
BD ＋2，
∴
22＋BD ＝44＋52＋BD
，解得BD ＝52， ∴2AB ＝22＋52，解得AB ＝54. 答：建筑物的高为54 m.
11．[2016·滨海校级月考]如图4－5－31，小华在晚上由路灯A 走向路灯B .当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12 m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m ，且AP ＝QB . (1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是多少？
图4－5－31 第11题答图①
解：(1)如答图①，
∵PM ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴AP AB ＝PM BD ，即AP AB ＝1.6
9.6
，
∴AP ＝1
6
AB ，
∵NQ ∥AC ，∴△BNQ ∽△BCA ， ∴BQ BA ＝QN AC ，即BQ AB ＝1.6
9.6
，
∴BQ ＝1
6AB ，
∵AP ＋PQ ＋BQ ＝AB ， ∴16AB ＋12＋1
6AB ＝AB ， ∴AB ＝18.
答：两路灯之间的距离为18 m ；
(2)如答图②，他在路灯A 下的影子为BN ，
第11题答图②
∵BM ∥AC ， ∴△NBM ∽△NAC ， ∴BN AN ＝BM AC ，即
BN
BN ＋18＝1.69.6
， 解得BN ＝3.6.
答：当他走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是3.6 m.
12．一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高线AD ＝80 mm ，把它加工成正方形零件如图4－5－32①，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．
① ②
图4－5－32
(1)求证：△AEF ∽△ABC ； (2)求这个正方形零件的边长；
(3)如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？ 解：(1)证明：∵四边形EGHF 是正方形， ∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C . ∴△AEF ∽△ABC ；
(2)同(1)得△AEK ∽△ABD ，∴AK AD ＝
AE
AB
， 设EF ＝x mm ，则AK ＝AD －KD ＝(80－x )mm. ∵△AEF ∽△ABC ，∴AE AB ＝EF BC
，
∴AK AD ＝EF BC ，即80－x 80＝x 120
，解得x ＝48. ∴这个正方形零件的边长为48 mm ； (3)由题知∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°. ∵四边形EGHF 是矩形， ∴EF ∥BC ，∠EGH ＝90°， ∴∠EKD ＝∠ADC ＝90°.
∴AK ⊥EF ，且四边形EGDK 是矩形． ∴EG ＝KD .
设EG ＝a mm ，矩形EGHF 的面积为y mm 2
，则AK ＝AD －KD ＝(80－a )mm. ∵EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C .
∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AK AD ，即EF 120＝80－a 80
，
∴EF ＝3
2
(80－a )．
∴y ＝a ·32(80－a )＝－32
(a －40)2
＋2 400.
由二次函数的性质知，当a＝40时，y有最大值2 400.
∴这个矩形的最大面积是2 400 mm2.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看
考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。