例析一元二次方程公式法的推导及应用
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。
因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。
这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。
2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。
因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。
解集为{1/2, -3/2}。
应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。
2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
一元二次方程公式法的推导及应用
一元二次方程公式法的推导及应用公式法是学习了“配方法”、“直接开方法”解方程之后，必须掌握的另一种解一元二次方程的方法。
它为以后学习二次函数及解决生活中的一些实际问题起了铺路石的作用。
掌握公式法的关键是掌握公式法的推导和应用，下面举例予以说明，供同学们学习参考。
一、一元二次方程公式法的推导在探究一元二次方程公式法的推导过程中，能让我们更进一步体会公式法、直接开平方、配方法的内在联系，领悟化归的解题思路，不断提高分析问题能力和解决问题的能力.例1如何将)0(02≠=++a c bx ax 转化成04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ）的形式.分析：根据等式的性质，把)0(02≠=++a c bx ax 转化为完全平方式，再根据开平方的意义就可以转化成024(2422≥--±-=ac b aac b b x ）。
解：方法一：)0(02≠=++a c bx ax .因为0≠a ,所以02=++ac x a b x . 移项,得a c x a b x -=+2. 配方,得222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++,即22244)2(a ac b a b x -=+. 因为0≠a ,所以042 a ,当042≥-ac b 时,直接开方,得aac b a b x 2422-±=+. 所以aac b a b x 2422-±-=. 即a ac b b x 2421-+-=,aac b b x 2422---=. 方法二：)0(02≠=++a c bx ax .方程两边都乘a 4,得044422=++ac abx x a .移项,配方,得ac b b ax 4)2(22-=+.当042≥-ac b 时, ac b b ax 422-±=+.所以ac b b ax 422-±-=.因为0≠a ,所以aac b a b x 2422-±-=. 即a ac b b x 2421-+-=,aac b b x 2422---=. 二、利用一元二次方程公式法成立的条件解题 在一元二次方程公式法的推导过程中，已经推理得出一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实数根完全取决于ac b 42-的符号，因此我们把“ac b 42-”叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式.巧用判别式，可以帮助我们轻松解题。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
23.2 一元二次方程的解法---公式法
当b 2 4ac 0 b b 2 4ac 2 时，方程有 x . b 4ac 0 . 实数根吗 2a 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
特别提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1
1
1
解得
即即
x 2 2 0 4 14 x1 4 x17 2 4 17 x1 , x2 2 4 4 此方程无实数根
3、配方法解一元二次方程的基本 步骤： （1）化1:把二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方：方程两边都加上一次 项系数的一半的平方； （4）变形：原方程变形为（x+m） 2=n的形式； （5）开方：如果右边是非负数， 就可以直接开平方求出方程的解， 如果右边是负数，则一元二次方 程无解． （6）求解； （7）定根
17 0 -8
+ 0 -
不等 相等 不存在
请观察上表，综合b2-4ac的符号，提出你的猜想。
2014年深圳市中考试题
7.下列方程中没有实数根的是（ ） A、x2+4x=10 B、3x2+8x-3=0 C、x2-2x+3=0 D、（x-2)(x-3)=12 分析：容易看出A、B两个一元二次方程中的二次 项系数和常数项异号，则4ac为负的，b2- 4ac>0； D选项的一元二次方程经变形为x2-5x-6=0，同样可 以看出b2- 4ac>0，所以选C.
m2 2
3 6 2 3 2 3 x D． 2
B．x
4．若使方程（m+1）x
一元二次方程经典例题及详细解答
一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。
一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。
1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。
这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。
2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。
一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。
1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。
解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。
所以方程的根为x1=3，x2=2。
2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。
解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。
所以方程的根为x1=3/2，x2=2。
用公式法求解一元二次方程
实例二
总结词
此实例展示了如何使用公式法求解一元二次方程的特殊形式。
详细描述
当一元二次方程为$x^{2} + bx + c = 0$时，若$b^{2} - 4ac = 0$，则两个解相等。在这种情况下， 可以使用因式分解法求解，将方程化为$(x + b/2)^{2} = 0$的形式，解得$x = - b/2$。
用公式法求解一元二次方程
xx年xx月xx日
目 录
• 一元二次方程的概述 • 公式法求解一元二次方程的原理 • 公式法求解一元二次方程的步骤 • 公式法求解一元二次方程的实例 • 公式法的扩展的概述
一元二次方程的定义
定义
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
详细描述
当一元二次方程为$ax^{2} + bx + c = 0$时，使用求 根公式求解。首先，需要计算判别式$b^{2} - 4ac$， 然后确定方程的解。如果$b^{2} - 4ac > 0$，则有两 个不相等的实数解；如果$b^{2} - 4ac = 0$，则有两 个相等的实数解；如果$b^{2} - 4ac < 0$，则没有实 数解。
06
总结与回顾
公式法求解一元二次方程的优势
01
普遍适用
02
直接求解
公式法适用于所有一元二次方程的求 解，具有普遍性。
公式法可以直接求解方程的根，不需 要额外的技巧和步骤。
03
简单易懂
公式法原理简单，易于理解和掌握， 对初学者较为友好。
公式法求解一元二次方程的不足之处
计算量大
使用公式法求解一元二次方程时 ，需要进行大量的计算和化简， 过程较为繁琐。
公式法解一元二次方程全面版
25
x3 25 3 5
22
4
即： x1 2,x2
1 2
2 x 3 2 x 9 6 0
解： 原方 2 x 2 9 程 x 6 x 2 化 6 7 0为
整理 2x2 为 3x2： 10
a 2 ,b 3 ,c 21
公式法解一元二次方程
一、回顾
用配方法解方程：x2bxc0
x 解：移项得： 2bxc
x22b 2xb 22b 22c
则：
xb22
b2 4
c
当b2 c0时,方程有实.数解 4
二、公式的推导
a2x b x c0a0
解： a0x2 bxc0
关于一元二次方程 a2x bxc0a0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2x b xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
x__ 5_2 _7 ____
即x1： _1 _x_ 2_ _-6,___
２、用公式法解方程
1 x 2 2 x 5 2 6 t 2 13 t 5 0 3 3 x 2 1 x 1 0
22
4 x 2 2 2 x 3 0
2
３、想一想：
b24ac32 4221
9168
177
x3 177
22
即 :x13417,x7 234177
例３ 解方程： x2323x
解： 原方x 程 2 23 x 化 30 为：
a 1 ,b 23 ,c 3
一元二次方程(公式法)课件
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实数根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实数根，即一个重
根。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实数根，有两个共轭复根。
方程的解与根的关系
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
根
对于一元二次方程，其解也称为根。根据判别式的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个 相等的实数根（一个重根）或无实数根。在有实数根的情况下，可以通过求根公式求解得到。
03 公式法的推导与证明
配方法推导公式
01
02
03
04
05
将一元二次方程 化为一般…
ax² + bx + c = 0
移项
配方
开方
求解
将常数项移到等号右边， 得到 ax² + bx = -c
等式两边同时加上一次项系 数一半的平方，即 (b/2)²， 得到 a(x + b/2a)² = (b²4ac)/4a
标准形式与系数
一元二次方程的标准形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a neq 0$。
系数
在一元二次方程中，$a$、$b$、$c$ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数 项。
根的判别式
01
02
03
04
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方程
对方程两边同时开平方，得 到 x + b/2a = ±√((b²4ac)/4a)
整理得到一元二次方程的解 为 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
一元二次方程求根公式推导过程是什么
一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由作者为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax +bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax +bx+c=0（a≠0，表示平方），等式两边都除以a，得x +bx+c=0；2、移项得x +bx=－c，方程两边都加上一次项系数b的一半的平方，即方程两边都加上b ；3、配方得x +bx+b =b －c，即（x+b）=（b -4ac）；4、开根后得x+b=±[√（b -4ac）]（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b -4ac）]。
一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。
第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。
第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。
第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。
方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）]，将标准形式中的a、b、c 代入即可。
第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。
第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。
解一元二次方程的步骤分为审题、列方程、解方程，检验，答。
一元二次方程的求解方法及应用
一元二次方程的求解方法及应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，广泛应用于实际问题的建模与求解。
本文将介绍一元二次方程的求解方法，并通过实际应用案例展示其在解决现实问题中的应用价值。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
方程中的x称为未知数，Δ=b²-4ac称为方程的判别式。
二、求解一元二次方程的方法1. 因式分解法当方程能够被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，可利用因式分解法求解。
以下是一个例子：假设给定方程 2x²+5x+3=0，可以通过因式分解的方式将其转化为(x+1)(2x+3)=0。
得到x+1=0或2x+3=0，解得x=-1或x=-3/2。
2. 公式法当方程无法进行因式分解时，可以通过一元二次方程的求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b±√Δ)/(2a)其中，±表示两个解，Δ=b²-4ac为方程的判别式。
以下是一个例子：考虑方程 3x²-4x-1=0，可以得到a=3，b=-4，c=-1。
根据求根公式，我们可以计算出Δ=(-4)²-4×3×(-1)=40。
然后带入求根公式，得到x= (4±√40)/(2×3)。
进一步化简得到x=(2±√10)/3，即为方程的解。
3. 完全平方式当方程是一个完全平方的形式时，也可以利用完全平方方式求解。
以下是一个例子：考虑方程 x²+6x+9=0，可以将其写成(x+3)²=0的形式。
根据完全平方式，得到x+3=0，解得x=-3。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛。
举个例子，考虑以下实际问题：某物体从高度h0开始自由落体，经过t秒后落地。
已知重力加速度为g，则有以下一元二次方程描述物体的高度：h(t) = h0 - 0.5gt²其中h(t)表示t秒后物体的高度。
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
公式法解一元二次方程 (2)
公式法
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
b b2 4ac
_x_=_
2a_____，条件是 b2-4ac≥0 .
5．当x=___4___时，代数式x2-8x+12的值是-4．
6．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一 根为0，则m的值是__-_3__． 7．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
公式法
本课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况.
b b2 4ac 就得到方程的根. 2a
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
公式法
例2．用公式法解下列方程：
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）(x-2)(3x-5)=0
（4）4x2-3x+1=0
解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x= (4) 24 4 2 6 2 6
22
4
2
∴x1= 2 6 2
，x2=
2 6 2
公式法
（2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
若b2-4ac≥0且4a2>0
则 b2 4ac
4a2
≥0
公式法
一元二次方程的公式法推导过程
一元二次方程的公式法推导过程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程通常有多种方法，其中一种常用的方法是公式法。
本文将以标题“一元二次方程的公式法推导过程”为线索，详细介绍该推导过程。
一、推导思路通过公式法推导一元二次方程的解，我们要先从一元二次方程的标准形式出发，利用求根公式推导出方程的解的一般表达式。
具体的推导步骤如下。
二、推导过程1. 已知一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0。
2. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。
3. 对方程两边同时除以a，得到x^2 + (b/a)x = -c/a。
4. 为了使左边的二次项系数变为1，我们需要将方程两边同时除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
5. 将方程写成完全平方的形式，即(x + b/2a)^2 = b^2/4a^2 - c/a。
6. 对方程两边同时开方，得到x + b/2a = ±√(b^2 - 4ac)/2a。
7. 将方程两边同时减去b/2a，得到x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
8. 经过以上推导，我们得到了一元二次方程的解的一般表达式。
三、推导结果分析通过公式法推导，我们得到了一元二次方程的解的一般表达式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
该公式中的两个解分别对应方程的两个根。
其中，根的个数和判别式Δ = b^2 - 4ac的正负关系有关，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
四、实例应用下面通过一个实例来应用一元二次方程的公式法。
例：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
1. 根据方程的系数，我们可以知道a = 2，b = 5，c = -3。
一元二次方程公式法的推导过程
一元二次方程公式法的推导过程摘要：一、一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的求根公式推导1.配方法2.完全平方公式3.平方差公式4.求根公式三、求根公式的应用1.实际问题举例2.数学竞赛题解析四、一元二次方程的判别式1.判别式的定义2.判别式的意义3.判别式的应用五、一元二次方程的图像解析1.抛物线的性质2.一元二次方程与抛物线的关系3.抛物线在实际问题中的应用正文：一、一元二次方程的一般形式一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
我们可以通过公式法求解这类方程。
二、一元二次方程的求根公式推导1.配方法将一元二次方程ax+bx+c=0进行配方法，即可得到：(ax+1/2b)-1/4b+c=0。
2.完全平方公式将上式中的(ax+1/2b)用完全平方公式展开，得到：ax+abx+1/4b-1/4b+c=0。
3.平方差公式将上式中的ax-1/4b用平方差公式分解，得到：(ax+1/2b)(ax-1/2b)+c=0。
4.求根公式根据二次方程的求根公式，我们有：x1,2 = [-b ± sqrt(b-4ac)] / (2a)。
三、求根公式的应用1.实际问题举例假设一个物体从静止开始下滑一段距离，其运动方程为s = 16t - 3t + 5，其中t为时间，s为距离。
当物体滑到地面时，求t的值。
解：将s=0代入运动方程，得到16t-3t+5=0，应用求根公式，得到t1=1/4，t2=5/4。
2.数学竞赛题解析已知a、b、c为正整数，且a+b+c=100，求abc的最大值。
解：根据一元二次方程的求根公式，我们有a、b、c的解为整数，且a+b+c=0。
通过尝试，我们可以得到a=4，b=3，c=1，此时abc=12。
四、一元二次方程的判别式1.判别式的定义一元二次方程ax+bx+c=0的判别式为Δ=b-4ac。
2.判别式的意义当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。
一元二次方程公式法的推导过程
一元二次方程公式法的推导过程摘要：一、一元二次方程的背景和基本概念1.一元二次方程的定义2.解一元二次方程的重要性二、一元二次方程公式法的推导过程1.配方法2.公式法的推导a.完全平方公式b.一元二次方程的求根公式三、一元二次方程公式法的应用1.求解实际问题中的一元二次方程2.与其他解方程方法进行比较正文：一、一元二次方程的背景和基本概念一元二次方程是形如ax+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在数学中，解一元二次方程是一项基本任务，因为它涉及到许多实际问题，如物理、化学和工程等领域的许多问题都可以用一元二次方程来描述。
二、一元二次方程公式法的推导过程1.配方法我们可以通过配方法将一元二次方程转化为完全平方的形式。
具体操作如下：ax+bx+c=0我们可以加上(b/2a)，同时在等式的另一边减去(b/2a)，得到：ax+bx+c+(b/2a) - (b/2a) = 0 + (b/2a)(ax+b/2a) = (b-4ac)/4a2.公式法的推导根据上一步的结果，我们可以得到一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b-4ac)) / 2a其中，±表示加减两个方案，√表示平方根运算。
三、一元二次方程公式法的应用1.求解实际问题中的一元二次方程利用公式法，我们可以轻松地求解实际问题中的一元二次方程。
例如，假设我们有一个问题：一个物体从静止开始沿着一个直线运动，其加速度为2m/s，运动距离为10m。
求物体的速度和运动时间。
我们可以将问题转化为以下一元二次方程：v - 0 = 2as其中v为速度，s为距离，a为加速度。
将已知数值代入方程，得到：v = 2 * 2m/s * 10mv = 40v = ±2√10 m/s得到两个解，表示物体有两种可能的运动方向。
2.与其他解方程方法进行比较公式法解一元二次方程是一种非常有效的方法，尤其适用于求解复杂数字或带有分数的系数的一元二次方程。
一元二次方程公式法的推导及应用
-b - ■■： b 2-4ac一元二次方程公式法的推导及应用公式法是学习了“配方法”、“直接开方法”解方程之后，必须掌握的另一种 解一元二次方程的方法。
它为以后学习二次函数及解决生活中的一些实际问题起 了铺路石的作用。
掌握公式法的关键是掌握公式法的推导和应用， 下面举例予以说明，供同学们学习参考。
一、一元二次方程公式法的推导在探究一元二次方程公式法的推导过程中，能让我们更进一步体会公式法、 直接开平方、配方法的内在联系，领悟化归的解题思路，不断提高分析问题能力 和解决问题的能力•例 1 如何将 ax 2bx c = 0(a = 0)转化成 x = ―b(b 2- 4ac 亠 0) 2a的形式.分析：根据等式的性质，把ax 2 5x7=02 = 0)转化为完全平方式，再根 据开平方的意义就可以转化成「匕仟―)解：方法一：ax 2 bx c = 0(a = 0). 因为a =0,所以x 2—x - = 0. a a移项,得x 2 —^ = -C .a a22 b b 2 c b 2b 2 b -4ac配万，得 x x ()(),即(x )2 -a 2a a 2a2a 4a因为a = 0,所以4a 2 '0,当b 2 - 4ac _ 0时，直接开方，得丄 b 丄^b 2 —4ac x2a2a所以x 亠_^^£2a 2ab . b 2-4ac即捲,X 22a方法二：ax 2bx c = 0(a = 0).因为a = 0,所以x 方程两边都乘4a ,得4a 2x 2 4abx 4ac 二0 . 移项,配方,得(2ax - b)2= b 2— 4ac. 当 b 2 - 4ac - 0 时,2ax b = b 2 - 4ac.所以 2ax - -b _ b 2 _ 4ac. b . b 2 -4ac—± --------2a 2a2r 2即仃 • • b ■ i b - - 4ac • • b - > b - - 4ac 即卩 X ［二 ,X 2 二 .2a 2a二、利用一元二次方程公式法成立的条件解题在一元二次方程公式法的推导过程中，已经推理得出一元二次方程ax 2 • bx • c = 0（a = 0）是否有实数根完全取决于 b 2 -4ac 的符号，因此我们把 “ b 2_4ac ”叫做一元二次方程 ax 2bx • c = 0（a = 0）的根的判别式.巧用判别 式，可以帮助我们轻松解题。
解一元二次方程-公式法例题讲解
解一元二次方程-公式法一、知识回顾1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。
一元二次方程的标准式：a 是二次项系数b是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：“△”读作“德尔塔”，在一元二次方程中△＝b2－4ac△＝b2－4ac＞0 ＜====＞方程有两个不相等的实数根，即：x1，x2△＝b2－4ac＝0 ＜====＞方程有两个相等的实数根，即：x1＝x2△＝b2－4ac＜0 ＜====＞方程没有实数根。
二、典型例题例1：（2010·杭州）方程x2+x-1=0的根是（）分析：直接选用公式法求解解答：x2+x-1=0中a=1，b=1，c=-1，代入公式得：故选D________________________________________________________________________ ____________________例2：方程（x+1）（x-3）=5的解是（）A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2分析：首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．其实此题化简后用十字相乘法更为简单。
解答：（x+1）（x-3）=5，x2-2x-3-5=0，x2-2x-8=0，a=1，b=-2，c=-8△=4+32=36＞0∴x1=4，x2=-2．故选B．________________________________________________________________________ ____________________例3：一元二次方程x2-4x+3=0的解是（）A．x=1 B．x1=-1，x2=-3 C．x=3 D．x1=1，x2=3分析：利用公式法即可求解．解答：a=1，b=-4，c=3△=16-12=4＞0套入求根公式解得：x1=3，x2=1；故选D．_____________________________________________________________________ _______________________例4：用公式法解一元二次方程：x2+2x-8=0分析：先根据一元二次方程判断各项的系数，然后求出△，最后得出结果。
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例析一元二次方程公式法的推导及应用
□陆智勇
公式法是同学们学习了“配方法”、“直接开方法”解方程之后，必须掌握的另一种解一元二次方程的方法。
它为以后学习二次函数及解决生活中的一些实际问题起了铺路石的作用。
掌握公式法的关键是掌握公式法的推导和应用, 例予以说明，供同学们学习参考。
一、一元二次方程公式法的推导
在探究一元二次方程公式法的推导过程中，能让我们更进一步体会公式法、直接开平方、配方法的内在联系，领悟化归的解题思路，不断提高分析问题能力和解决问题的能力.
例1 女M可将ax2+bx+c =0(a 工0)转化成x=———(b2-4ac>0)
2a
的形式.
分析：根据等式的性质，把ax^+bx +c=O（a工0）转化为完全平方式，再根
据开平方的意义就可以转化成x = ~b±Jb2-4a c（b2 _4acX02 ）。
解：方法一：ax2+bx+c =0(a H 0).
因为a HO,所以X2+—= 0. a
b c
+ — X = —一.
a a 2a
移项,得x2
配方,得x2+ %+e)2
a 2a
2 亠自2,即（x+2a宀霍西
因为a H0,所以4a2 >0,当b2-4ac3 0时,直接开方,得X +异±J b2 -4ac
2a
所以x b + J b2 -4ac 2a " 2a
即X i
-b + J b2 -4ac
- 2a ，x2
-b - J b2 -4ac
2a
方法二：ax ? +bx+c=O(a 工0).
方程两边都乘4a,得4a 2x 2+4abx+4ac = 0 .
移项，配方，得(2ax + b)2 = r — 4ac
当 b 2-4ac>0 时，2ax + b = ±J b 2 -4ac.
所以 2ax =-b ± J b 2-4ac.
二、利用一元二次方程公式法成立的条件解题
在一元二次方程公式法的推导过程中，已经推理得出一元二次方程
ax 2 +bx +c =0(a H0)是否有实数根完全取决于 b 2 -4ac 的符号，因此我们把 +
bx + c=O(aHO)的根的判别式.巧用判别
式，可以帮助我们轻松解题。
分析：因为此题中二次项系数是 类讨论，即a+2=0，a +2H 0，再分别根据a 的
值或范围讨论根的情况.
3
解:⑴当a + 2=0,即a = -2时，方程为4x-3 = 0,所以x=3
. 4
(2)当a + 2=0，即 卩 a 工 一2 时，b 2-4ac =(-2a)2
-4(a +2)(a -1) = -4a + 8，
所以当a Y2且a
2时，b 2 -4ac >0，方程有两个不相等的实数根；当a = 2时, b 2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；当 ^2时，b 2-4acY0，方程没有实 数根.
三、利用公式法解一元二次方程
I
公式法是用求根公式x=—b ±"b —4a c(b 2 _4ac 艺0 )求一元二次方程的根
2a
的方法，公式法是解一元二次方程最常用、 最一般的方法，如何解一个一元二次 方程，只要求出b 2
-4ac 的值，就可以用公式法来解. 因为^0,所以x -审
b , J b 2 -4a
c 2a 即X i
-b + V b 2 -4ac - 2a ，x 2 _ -b - J b 2 -4ac - 2a
“ b 2 — 4ac ”叫做一元二次方程 ax 2
例2判断关于x 的方程(a +2)x 2
-2ax + a-1 =0的根的情况.
a +2，且没有指明是二次方程，所以要分
例3应用公式法解下列方程
（1）2X 2+8X +6=0 ； （2）x 2
-72x + 0.5=0 ；（3）（x-2）（1 -3x ） = 6 . 分析：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，并
写出a 、b 、c 的值；（2）求出b 2_4ac 的值；（3）代入求根公式；（4）写出方 程的解X 1， X 2.在计算b 2 -4ac 的值时，会出现三种情况：①b 2 -4ac A0，方 程有两个不相等的实数根；②b 2-4acY0，方程没有实数根；③b 2
-4ac=0,
方程有两个相等的实数根，在写方程的解时，应写成“ X 1 = X 2「舟”，不能只写
例4李大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一 个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15米立方的无盖 长方形运输箱，且此长方形运输箱底面的长比宽多 2米.现已知购买这种铁皮每 平方米需20元钱，问李大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？
分析：依据题意可列长方体的体积=长咒宽X 高，于是设长方体运输箱底面的
宽为xm ，则长为（x+2）m .
解：设无盖长方体箱子的宽为xm ，则长为（x+2）m ；依据题意列方程，得
成“ x
-2a ”，这种写法就漏掉了方程的一个根.
解:( 1)a=2，b=8，c=6，b 2-4ac = (8)2-4x 2x6 =16 — b ±J b -4ac -8±7i6 2a - 2X2
a =1，
b = 一罷，
c = 0.5， 1 -b ±J b -4ac 丘 42 =-2±1.所以 x ! =-3， x 2 =-1. b 2 -4ac = (-©)2 - 4x 1 X 0.5 = 0， 所以X 1=X 2=¥ （3）去括号， 得X-2—3x 2+6x = 6 .将方程化为一般形式，得
3x 2 -7x+8 =0. a =3， b=—7，c=8，b 2 -4ac = (-7)2-4X 3X 8 = -47Y0，所
以原方程无解.
四、用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用
一元二次方程解应用题的一般步骤：
分析题意，找出等量关系，分析题中的数量及其关系;
用字母表示问题里的未知数；（设） 根据等量关系列出
方程；（列） 解方程，求出未知数的值；（解）
检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案
（1） （2） （3） （4） （5）
(审) (检) 2a
(2) 所以X =
x(x +2) .1=15，整理得X2+2x -15 = 0 ,解得X i=3，X2 =-5(舍去).
X =3 时，铁皮的宽为(X + 2 ) =5(m)，长为(X + 4) =7(m).
购置这张铁皮花的钱5x7x20=700元.
答：李大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱.。