高考数学江苏版 §6_1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示

4.(2014课标Ⅰ改编,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 EB + FC = .
答案 AD
解析

AD .

设 AB

=a, AC

=b,则 EB
=- 1 b+a, FC
2
=- 1 a+b,从而 EB
2

+ FC
=


1 2
b

a

2

+q| AB

|| AC
|cos∠BAC,
故3=4p+ 9 q①,
2
同理 AO · AC

=p AB
·A C
+q AC 2
,所以 9 = 9 p+9q②,
22
①②联立可求得p= 3 ,q= 2 ,从而 p = 3 .
77
q2
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
3.(2018江苏盐城高三期中,7)若向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),且c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=
1
|

AC
|
从而cos∠DAO= 2 =
3

,
| AO | 2 | AO |
由余弦定理得cos∠BAC= 4 9 4 = 3 ,
223 4
由 AO

=p AB

+q AC
得 AO

· AB
2
=p AB

+q AB

·A C
,
所以| AO

|| AB
|cos∠BAO=p AB
2
.
答案 2
解析
由a·b=- 1 得<a,b>=120°,如图,设O A

=a,O B

=b,O C

=c,则∠AOB=120°, CA

=a-c, CB
=b-c,∵<a-c,b
2
-c>=60°,∴∠ACB=60°,∴O、A、C、B四点共圆.|c|的最大值应为圆的直径2R,在△AOB
中,OA=OB=1,∠AOB=120°,所以AB= 3 ,由正弦定理得2R= AB =2.
圆心且与BD相切的圆上,∴可设P

2 cos θ, 5
2 5
sin
θ

.
则 AB

=(0,-1), AD

=(-2,0), AP
=

2 cosθ 2, 5
2 5
sin
θ
1
.
又 AP

=λ AB

+μ AD,
∴λ=- 2 sin θ+1,μ=- 1 cos θ+1,
2m n m 2n

9, 8,
解得
m 2, n 5,
从而m-n=-3.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 向量的线性运算与几何意义
1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确
的是
.

① EB
= 3 AB
.
答案 1
2
解析

DE

= DB

+ BE
= 1 AB
+ 2 BC
= 1 AB
+ 2 ( AC

- AB
)=- 1 AB
+ 2 AC
,
2
3
2
3
6
3

∵ DE

=λ1 AB

+λ2 AC,
∴λ1=- 16 ,λ2= 23 ,故λ1+λ2= 12.
4.(2010全国Ⅱ改编,10,5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB.若 CB =a, CA=b,|a|=1,|b|=2,
2.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是
.
①a⊥b;②|a|=|b|;③a∥b;④|a|>|b|.
答案 ①
解析 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以a⊥b. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.
=- 1 AD

+ AB

,又∵D为BC的中点,∴ AD
= 1 ( AB
+
2
2
2

AC

),因此 EB
=- 1 ( AB

+ AC

)+ AB
= 3 AB
- 1 AC
.
4
44
题型归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
3

.因为 AD
= 15 AB

+λ AC
,所以 m3 = 15 ,λ=1+ m3 =
6 .
5
2.(2018江苏泰州中学高三期初考试,11)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3,设O是△ABC的内心,若

AO

=p AB

+q AC
,则
p
的值为
.
q
答案 3
2
解析 如图,O为△ABC的内心,设D为AC中点,则O在线段BD上.
+


1 2
a

b

= 1 (a+b)=
2
考点二 平面向量基本定理及坐标运算


1.(2015课标Ⅰ改编,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量 AC =(-4,-3),则向量 BC =
.
答案 (-7,-4)
解析 根据题意得 AB =(3,1),∴ BC = AC - AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
sin AOB
评析 本题主要考查向量的基本运算和数形结合的思想方法.得到O、A、C、B四点共圆是 解题关键,属难题.
3.(2013江苏,10,5分,0.748)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= 1 AB,BE= 2 BC.若 DE
2
3
=λ1AB

+λ2 AC
(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
(2015江苏,6,5分,0.926)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .
答案 -3
解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),
由已知可得
- 1 AC
44
② EB = 1 AB - 3 AC
44
③ EB = 3 AB + 1 AC
4
4
④ EB = 1 AB + 3 AC
4
4
答案 ①
解析 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.

∵E是AD的中点,∴ EA
=- 1 AD

,∴ EB

= EA

+ AB


5 cos α, 2
5 2
sin
α
=λ(

5,0)+μ(0,
3),
所以λ= 1 cos
2
α,μ= 15 6
sin
α,故
5
λ+
3μ= 5cos 2
α+ 5sin 2
α= 10 2
sin α
4
,由已知得0<α< 2 ,所
以 <α+ < 3 π,所以 2
3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若 AO
= 1 ( AB

+ AC

),则 AB
与 AC
的夹角为
2
.
答案 90°
解析
由 AO
= 1 ( AB

+ AC
)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为
2

直角,所以∠BAC=90°,所以 AB
4 44
2
<sin α
4

≤1,所以 5
λ+ 3
μ的最大值为 10 2
.
5.(2018江苏无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点, AP =λ AB+μ

AC

,且 AP

· AB

=0, AP

·A C
=3.

λ AB
+μ AD(λ,μ∈R),则
5λ+
3μ的最大值为
.
答案 10 2
解析 以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图,
则A(0,0),B( 5
,0),D(0, 3
),设∠PAB=α,则P


5 cos α, 2
5 2
sin
α

,
因为 AP

=λ AB
+μ AD,所以
与 AC
的夹角为90°.
思路分析
根据 AO
= 1 ( AB

+ AC
)知O为BC的中点,进而得BC为圆O的直径,然后利用直径所对
2
圆周角为直角即可得到结果.
解后反思 在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四边形法则的运用,熟记
“ AB

+ AC

=2 AD
⇔D为BC的中点”是解决此类问题的关键.
三年模拟
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
考点一 向量的线性运算与几何意义
1.(2016江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研,12)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线, BG=2

GO
,设 CD
∥ AG
,若 AD
= 1 AB

+λ AC
(λ∈R),则λ的值为
.
5
答案 6
5
5
∴λ+μ=2- 2 sin θ- 1 cos θ=2-sin(θ+φ),
5
5
其中tan φ= 1 ,∴(λ+μ)max=3.
2
方法指导 研究平面向量问题有两种基本策略:一是找基底,通过向量的加、减法法则将所求
向量用基底的形式表示出来;二是坐标法,将所要研究的向量用坐标的形式表示出来.一般地,
若问题中有点在某条曲线上,则宜采用坐标法来加以研究.
5
解析
因为 BG

=2 GO
,所以 AG
= 1 AB
+ 2 AO
= 1 AB
+ 1 AC
.因为 CD
∥ AG
,所以设 CD

=m AG
,从而
3
3
3
3

AD

= AC

+ CD

= AC
+ m AB
3
+ m AC
3
=
1

m 3


AC
+ m AB
则 CD =
.(用a,b表示).
答案 2 a+ 1 b
33
解析 由已知得| AD |=2| DB|,

即有 AD
= 2 AB
= 2 ( CB

- CA
)= 2 (a-b).
3
3
3
从而 CD

= CA

+ AD
=b+ 2 (a-b)= 2 a+ 1 b.
3
33
思路分析 由角平分线的有关知识得到| AD|=2| DB|,进而求得 CD .
解法二:因为a+b=c,所以(a+b)2=c2,即a2+b2+2a·b=c2,从而a2+b2+2|a|·|b|cos<a,b>=c2,因为|a|=|b|=|c|,
从而cos<a,b>=- 1 ,故<a,b>=120°.
2
2.(2011课标全国,12,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=- 1 ,<a-c,b-c>=60°,则|c|的最大值等于
评析 对向量的坐标运算问题,先将未知向量用已知向量表示出来,再代入已知向量的坐标,即 可求出未知向量的坐标.
2.(2015课标Ⅰ改编,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点, BC =3 CD ,则用 AB , AB 表示 AD为 .
答案 - 1 AB + 4 AC
3
3
解析 如图所示,
3.(2017课标全国Ⅲ理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD



相切的圆上.若 AP =λ AB+μ AD,则λ+μ的最大值为
.
答案 3
解析 本题考查向量的运算.
分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为
因为 BC

=3 CD
,所以 AD

= AB

+ BD

= AB

+ BC

+ CD

= AB
+ 4 BC

= AB
+ 4 ( AC

- AB
)=- 1 AB
+ 4 AC
.
3
3
3
3
方法指导 利用向量加法和减法的三角形法则将 AD进行转化,最终将 AD用 AB与 AC表示出 来.
C组 教师专用题组
1.(2009全国Ⅰ文改编,8,5分)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b>=
.
答案 120°
解析 解法一:作 AB =a, AD =b,以AB,AD为平行四边形的相邻的两条边作平行四边形ABCD,则

AC
=c,因为|a|=|b|=|c|,所以平行四边形ABCD是∠BAD=120°的菱形,从而<a,b>=120°.
.
答案 8
3
解析
由题意得(7,8)=x(2,3)+y(3,3)=(2x+3y,3x+3y),从而 32xx