第九章平面运动

解：=0时
A
vA OA r
连杆AB的速度瞬心在点B

O

B
vB 0
AB
vA 3 AB 3
O
ω
vA
ωAB B
32
A
运动学篇
刚体平 面运动 确定点A 平面图形 确定平面图 确定AM 只需 形的位置 的运动 的位置
M A

o
x
t 1 f A x t 2 f A y t 3 f θ
y
点A：运动分析的基准点 （基点）
平面图形的 运动方程
7
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vA
A

O
v B AB
vB

v A AB
B
vB cos v A
30
o
？怎样求解平面运动的角速度 ！用投影法无法求解平面运动 的角速度
vA r vB o cos cos 30
17
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第九章 平面运动
速度的求解
两种方法的比较
练习：
？车身在什么情况下做平面运动？
？车轮在什么情况下做平面运动？
3
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第九章 平面运动
基本概念
平面运动是工程机构常见的一种运动形式， 例如行星齿轮机构中的动齿轮，曲柄连杆机构 中的连杆等，都在做平面运动。
4
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v BA方向始终垂直于AB连线
上式向AB连线投影，可得：
y
v B AB
v A AB

A
vBA vB
B
β

同一瞬时，平面图 形上任两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
vA vA
o
x
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第九章 平面运动
速度的求解
已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的 例题： 速度和 AB杆的角速度。 OA r , 600 , AB OA 解：速度投影法
v A vB
曲柄——滑块机构
！基点选取 得不同，平动 的速度及加速 度不同
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第九章 平面运动
平面运动的分解
3、转动部分与基点的选取

1 2 1 2
！在任一瞬 时，平面图形 绕图形内任意 一点转动的角 速度和角加速 度都分别相等。
第九章 平面运动
基本概念
二、如何研究刚体的平面运动？
A
E
z
A
L
M
oyo M
x
B
B
y
刚体H相对于固 定平面xoy做平面运动。 AB为刚体内垂直于固 定平面的直线。 平面L平行于平面 xoy，与AB交于点M。 在刚体E的运动过 程中，AB始终平动。 因此，点M的运 动可以代表直线AB的 运动。 这样，平面L的运 动可以表示刚体E的运 动。
C？
M
B
vB
vM vA vMA v A
该瞬时AB上各点的速度相等。 可见，该瞬时图形上各点的速度分布如同图形 作平动时的一样。 故图形在该瞬时的运动称为瞬时 平动。
30
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第九章 平面运动
速度的求解
②
两垂线平行，且速度方向不垂直于两点的 速度瞬心P 在无穷远处， 0 。 连线时，
解：研究AB杆
基点法：取A为基点
大小： ？
vA
A

O
AB
vB
vA

vA r vB cos r 0 (a) vBA BABA v sin 0 v (b)
B BA
√ ？ 动，滑块B作平动，连 方向： √ √ √ 杆AB作平面运动。 分别向轴1、2投影得：
vB OA作定轴转 曲柄 v A v BA
B
vB r
AB
cos
3 3 3
15
vBA 1 vBA AB
tan
2
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第九章 平面运动
速度的求解
二、速度投影法
由基点法我们知道：
v B v A vBA
vB cos α vA cos β
AB
C
vA
A

O

B
结论：

vB
（1）速度瞬心可以位于平面图形之上，也可以 位于平面图形边界之外（延长部分上）。
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第九章 平面运动
速度的求解
（2）当 =90º 时，滑块B 的速度及连杆AB的角速度 vA A 为多少？ 研究连杆AB： 该瞬时，连杆AB的速度瞬心 vM O C在无穷远处， AB 0 。 选A为基点，则
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第九章 平面运动
平面运动的分解
1、平面运动的分解与基点的选取
！基点的选取是任意的，通常取运 动情况已知的点作为基点。
9
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第九章 平面运动
平面运动的分解
2、平动部分与基点的选取
一般地，平面图 形上各点的速度 并不相同，例如：
反向齿轮 同向齿轮
A
P B
vA
A Cω vB B
vA
A
vA
vB
B
vB
P
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第九章 平面运动
速度的求解
曲柄 例题1： OA以匀角速度 转动。AB 3r，OA r 求: 当 =60º 时，滑块B 的速度及连杆AB的角速度。 解：研究连杆AB： vA 过A、B两点分别作速 A 度 v A 、v B 的垂线，两垂线之 交点即为连杆AB的速度瞬心C。
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vA vP vAP vAP
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第九章 平面运动
速度的求解
2、速度瞬心的存在
假设P为平面图形的速度瞬心， 则由基点法可知： v v v
P A
P

v A
A
vPA
0 vA
PA
v PA 垂直于PA连线
则点P一定在基点A速度矢的垂 线上， vPA PA ω 所以速度 瞬心存在且只有一个。即：
v
P P
v
动画
演示了瞬心的唯一性和瞬时性
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第九章 平面运动
速度的求解
2. 若已知图形内任两点的速度方向， 提 示 则速度瞬心在两点速度矢量垂线 的交点上。
C
vA
A
B
vA
A
vB

O
vB

B
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第九章 平面运动
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第九章 平面运动
基本概念
§1、 平面运动的基本概念
一、 什么是刚体的平面运动 ? 平面运动(Plane motion)： 刚体在运动过程中，其上任意一点 到某一固定平面的距离保持不变。
2
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第九章 平面运动
基本概念
速度的求解
§3 平面图形上各点的速度
一 二
三 四
基点法 速度投影法
速度瞬心法 速度瞬心的位置
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第九章 平面运动
速度的求解
一、基点法
y
由复合运动理论可知：

A
yvBA '
B
vB
x'
va ve v r 其中： ve v A
vA
vr AB ω vBA
此时图形作瞬时平动。
A
B
vA vB
A B
vA
A
vA
vB
c
vB
B
S
(a) 与b、c两种情况比较
S
c
(b)
S
(c)
问题：若两点的速度大小相等，则速度瞬心在哪里？
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第九章 平面运动
速度的求解
， 例2： 已知OA=r，AB= 3 r , 曲柄OA以匀角速 ω转动,求当0时连杆AB的角速度和点B的速度。
第九章 平面运动
平面运动的分解
二、 刚体平面运动的分解
在基点o上建立平动参考系：oxy
动系固结于基 点而不是平面 动画 图形
y
y
M A
牵连运动：随基点的平动 相对运动：绕基点的转动

x
o
x
平面图形的运动 可以分解为： 1、随基点的平动 2、绕基点的转动
8
？平面运动的分解与基点的选取是否有关？
vA
唯一性：某瞬时，图形只有一个瞬心 瞬时性：不同瞬时，瞬心位置不同
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第九章 平面运动
速度的求解
2、速度瞬心的存在
一般情况下，在任一 瞬时，平面图形唯一存在 P 速度为零的点：速度瞬心。 v 速度瞬心在速度矢量 A 的垂线上。 B vB A 图形上任意一点B的 速度大小：vB BC vA 方向垂直于BP连线，指向 与 转向相一致。

问题：当图形的角速度未知时，该如何求？
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第九章 平面运动
速度的求解
问题： 过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分 布有何特点？ —与图形绕定轴转动时的速度分布类似。
S
P

就速度分布而言，平面图形的运动可视为 绕该瞬时速度瞬心的转动。
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带入式a 可得：
vA
o
x
v B v A vBA
平面图形上任一点 的速度等于基点的速度 与该点相对于基点的速 度之矢量和。
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动点：B ，基点：A ， Ax´y´ 为动系。
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第九章 平面运动
速度的求解
例题: 已知OA杆的角速度 ，求图示瞬时滑块B的 速度和 AB杆的角速度。 OA r , 600 , AB OA
第九章 平面运动
速度的求解
四、确定速度瞬心位置的方法 1. 平面图形上速度为零的点为速度 瞬心。
2. 速度瞬心总在速度矢量的垂线上。
3. 每一瞬时，图形上各点速度分布 与图形绕定轴转动情况相同。
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第九章 平面运动
速度的求解
1.
当平面图形沿固定面做无滑动的滚动 提示 图形与固定面的接触点P为图形的速度瞬心。
优点：能求速度，也能求 。 缺点: 计算比较繁琐。 • 速度投影法
• 基点法 vB vA vBA
(vBA BA )
vB vBA
B ABiblioteka vA vAvB AB vA AB
优点：计算简便，快捷。 缺点: 无法求出角速度 。
S
A为基点

若选取速度为零的点作为基点，则既可简化计 算过程，同时也能求出图形的角速度。
第九章 平 面 运 动
第一节 平面运动 的基本概念 第二节 平面运动的分解 第三节 平面图形上各点的速度 第四节 平面图形上各点的加速度
基本要求： 1. 刚体平面运动的概念及其描述、平面运动的研究方法 2. 平面运动刚体上点的速度分析的基点法、投影法与瞬心法 3. 平面运动刚体上点的加速度分析的基点法及其应用
速度的求解
问题： 若刚体上A、 B 两点的速度指向异侧， 则点P 还是图形的速度瞬心吗？这种情况可能 有吗？为什么？
A
vA
S

P
B
vB
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第九章 平面运动
速度的求解
3、根据速度分布情况判断 提 示 ① 当图形上两点的速度相互平行，且速度方向 垂直于两点的连线时， 速度瞬心必在两点连 线与速度矢连线的交点上。
AB
C
B
vA rω AC ωAB
AB
O
vB
vA vA r AC AB tg 3r 3 3
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第九章 平面运动
速度的求解
vB BC AB
AB AB cos
2 3 r () 3 ——滑块 B 的速度
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第九章 平面运动
基本概念
研究过程
二、如何研究刚体的平面运动？
z
M
o
x
S
研究刚体 的平面运动转 化为研究平面 图形S的运动。
y
简化实例
6
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第九章 平面运动
平面运动的分解
§2、平面运动的分解
一、 平面图形的运动方程
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第九章 平面运动
平面运动的分解
结论：
平面运动可分解成为随着基点 的平动和绕着基点的转动。
基点选择得不同，平动的速度、 加速度不同。但平面图形绕基点转 动的角速度和角加速度与基点的选 择无关。
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第九章 平面运动
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第九章 平面运动
速度的求解
三、速度瞬心法 1、速度瞬心法
• 速度瞬心：某瞬时平面图形上 速度为零的点。 假设：C为平面图形上的速度瞬 心，选取C为基点，则按照基点 法，图形上另一点A的速度为: 该点随图形绕瞬心转动的速度
S
A
vA
C

问题：平面图形上是 大小： v AP ω 否都有速度瞬心，若 A 方向： AP，指向与 转向相一致。有，有几个？