第四章 河道流量演算与洪水预报_4

Q 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Q 0 N Q 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Q 1 N
Q M 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Q M N

I(0:M)
马 法 长 河 段 演 算 算 例
先按断面计算（空间）： FOR I=1 TO M FOR J=1 TO N Q(I,J)=C0*Q(I,J-1)+C1*Q(I-1,J-1)+C2*Q(I-1,J) NEXT J NEXT I 先按时间计算（时间）：
W = Kl Q
X =教授认为：河槽蓄量分为柱蓄与楔蓄两部分。
v 平行于河底的直线下面的槽蓄量称为柱蓄； v 在此直线与水面线之间的槽蓄量称为楔蓄； v 在波前阶段，楔蓄量为正；在波后阶段，楔蓄量为负。
v 若河段为棱柱形，则
χ 的 物 理 意 义
dW = Kx(
∂I ∂I ∂Q ∂O dZ 上 + dS ) + K (1 − x)( dZ 下 + dS ) ∂S ∂Z 上 ∂S ∂Z 下
的均值
χ 的 物 理 意 义
∂I ∂O 取 ， ∂Z 上 ∂Z 下
取
∂I ∂O ， ∂S ∂S
∂Q ∂Z
∂Q ∂S
的均值
∂Q ∂Q ∴ dW = K [ xdZ 上 + (1 − x ) dZ 下 ] + K dS ∂Z ∂S
问
v 由水量平衡方程和槽蓄方程知，马斯京根法有两个基本 假定：（1）在Δt时段内，入流量I，出流量O呈线性变 化；（2）在任何计算时刻，入流量I，出流量 O在河段 内沿程变化是线性的。
题
讨
1 1 ( I 1 + I 2 ) ∆ t − ( O1 + O 2 ) ∆ t = W 2 − W 1 2 2 W = f ( I , O ) = K [ xI + (1 − x ) O ]
第四章 河道流量演算与洪水预报
River Flow Routing and Flood Forecasting
4.3 马斯京根法
v 基于的槽蓄方程
W = K [ xI + (1 − x ) O ] = K Q Q ' = xI + (1 − x ) O
马 斯 京 根 法
'
v 系数 x表示上、下断面流量在槽蓄量中的相对权重。如果河 槽调蓄作用大，则x小，反之x大。例如，对水库而言，入流 量不起作用，x≈0；若入流与出流的影响相同，则 x=0.5； v 联解水量平衡方程和槽蓄方程，即：
x + y =1, y =1− x, Q0 = Q = Ix + (1− x)O
'
v 马法的核心就是 上述 的线性 转换关 系。若 此关系成立，就建立了稳定流槽蓄关系。
问题： 槽蓄曲线 马斯京根法引入 了流量比重系数X 特征河长法引入 了特征河长 实现槽蓄关系单值化
W = K [ xI + (1 − x)O ] = KQ ' Q ' = xI + (1 − x)O
l = l ( Q ),
'
C 0 = C 0 (Q )
'
可以根据实测水文资料求得，这样前面的公式就可以求解了。 但因为是隐式方程，要用差分求解，具体求解步骤不再介绍， 请大家参考有关文献。
4.5 有支流、分流河段的流量演算 (1)基本原理
有 支 流河段的流量 演 算 方法与 无 支 流河段的流量 演 算 方法的 原 理 一致。
1 l x= − 2 2L
上游河道的河底比降大于下游河道,
l
值自上游向下游逐渐增大
参
v 试算法确定K、X v 分析法确定K、X
数
推
求
方法涉及K 与 x 两个参数， 采用经验法（水文学方 法）推求。假定不同的 x 值，以 O’～W 曲线关系单一作 为选择 x 值的标准。确定好O’～W 曲线关系后，求其坡 度即为 K 值。
(I − O )dt = dW d W = K (Q ' ) d Q
' ' ' = K (Q ' ) d x ( Q ) I + (1 − x ( Q ))O L ' K (Q ) = C 0 (Q ' )
' 1 l ( Q ) ' x (Q ) = − 2 2L
对具体河段：
马 斯 京 根 法 非 线 性 解
d W = K ⋅ d Q = K xd I + K (1 − x ) d O
'
χ 的 物 理 意 义
Q = f (Z , S )
∂I ∂I ∂O ∂O dI = dZ上 + dS， dO = dZ下 + dS ∂Z上 ∂S ∂Z下 ∂S
∂I ∂I ∂Q ∂O ∴ dW = Kx( dZ 上 + dS ) + K (1 − x)( dZ 下 + dS ) ∂Z 上 ∂S ∂Z 下 ∂S
dZ 上－ dZ 下 = L ⋅ dS
χ 的 物 理 意 义
l ∴ x = x1 − 2L
v 由上可见，x由两部分组成，x1 代表水面曲线形状，反映楔蓄 的影响；而 L/ι ，即按特征河长划分的河段数，反映河槽的 调蓄作用。
l x = x1 − 2L
天然洪水的X1一般接近于1/2
Q0 ∂Z l= S 0 ∂Q 0
马 斯 京 根 法
v 合并同类项并经整理后得：
O2 = C0 I 2 + C1 I1 + C2O1 0.5∆t −KX 0.5∆t +KX C C 0= 1= 0.5∆t +K−Kx 0.5∆t +K−Kx −0.5∆t +K−KX C2 = C0 +C 1 +C 2 =1.0 0.5∆t +K−Kx
试 算 法
详见书中例子P104
分 析 法
v 马斯京根法的参数K、x 及其槽蓄方程Q′～W 关系的物理 意义既已明确，就为推求参数提供了水力学的方法。 v 下面举一例介绍具体计算方法。已知湖南省沅水流域沅 陵～王家河河段长L＝112km，两站实测水位流量资料。
分 析 法 推 求 马 法 参 数 算 例
论
参 数 的 物 理 意 义
v 关于Q′：马斯京根法假定K和x都是常数，这就要 求槽蓄曲线W=f（ Q′）为单一线，这只有在此槽 蓄量下的Q′值等于该蓄量所对应的恒定流流量时 才能满足这一要求，亦即Q′= Q0，这是Q’的物理 意义。 v 关 于 K ： K ＝ dW/dQ′= dW/dQ0 ， K 为稳 定流时的河 段传播时间。这是K的物理意义。
Bi = n!(m − 1)! i!(i − 1)!(n − i )!(m − i )!
利 用 汇 流 曲 线 演 算
见教材P108页例题
v 分段直接法增加了计算工作量，但有计算机就很简单，各个断 面在各个计算时刻的流量组成一个数组。
河段数J(0:N)
分 段 直 接 法
时 段 数
Q 00 Q 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Q M 0
χ 的 物 理 意 义
∂Q ∂Q [ xdZ 上 + (1 − x ) dZ 下 ] + K K dS ∂Z ∂S =BL x1 dZ 上 + (1 − x1 ) dZ 下 ∂Q B∂Q ∂Q L = , = C, C ≈ ∂Z ∂A ∂A K ∂Q B∂Q L ∂Q ∴ = = BC ≈ B , K ≈ BL ∂Z ∂A K ∂Z
1 1 ( I 1 + I 2 ) ∆ t − ( O1 + O 2 ) ∆ t = W 2 − W 1 2 2 W = f ( I , O ) = K [ xI + (1 − x ) O ]
1 1 (I1 + I2 )∆t − (O 1 +O 2 )∆t 2 2 = K[ xI2 + (1− x)O2 ] −[ xI1 + (1− x)O 1]
For I = 1 To N For J = 1 To M Q(I, J) = C0 * Q(I - 1, J) + C1 * Q(I - 1, J - 1) + C2 * Q(I, J - 1) Next J Next I
马 斯 京 根 法 非 线 性 解
马斯京根法是基于假设河道汇流系统为线性系统的河道洪水演 算的线性有限差解，其理论、方法和经验都比较完备，使用简 便，效果好。但是，实际河道汇流系统是非线性的，反映洪水 波平移和坦化作用的马斯京根法中的两个参数K、χ不是常数， 随流量Q0变化而变化，这是线性系统所不能解决的问题，所以有 的学者提出了马斯京根法的非线性解。其基本方程为：
这样就能满足两个线性假当预报河段的当预报河段的k已知时先选定已知时先选定当预报河段当预报河段k未知河道未知河道l已知时可根据河道断面水力特已知时可根据河道断面水力特性确定波速性确定波速c目前的情况有河道平均汇流时间目前的情况有河道平均汇流时间k有实测数据采集时段有实测数据采集时段作为待定参数分段连续演算是把演算河段分成若干单元河段用上个单元河段的计算出流作为下个单元河段的入流连续计算各单元河段的参数相同
分段连续演算是把演算河段分成若干单元河段，用 上个单元河段的计算出流，作为下个单元河段的入流， 连续计算，各单元河段的参数相同。有两种算法： （1）把马斯京根法转换成一个类似于单位线的汇 流系数，称为分段汇流系数法； （2）直接进行分段演算，称为分段直接法。
v 由赵人俊于1962年推导提出
分 段 汇 流 系 数 法
v 柱蓄量＝ v 楔蓄量＝
BLdZ 下 BLx1 (dZ上 − dZ下 ）
v 总蓄量的变化dW＝
B L d Z 下 ＋ B L x1 ( d Z 上 － d Z 下） ＝ BL x1 d Z 上 + (1 − x1 ) d Z 下
v 若槽蓄方程为单一关系，K为常数，则
W = KQ '
v Δt应等于或接近K
马 斯 京 根 分 段 连 续 演 算
根据上述，为了保证线性条件，应取Δt≈K。在长河段的情况 下，这种条件还是难于保证，因为河段很长，入流和出流无论 在Δt之内和沿河长的变化都不可能是线性的。在这种情况下， 宜将长河段分为N个河段，作分段连续演算。
v取Δt与每段的K值相等，将入流量先演算到断面①，再分别演算 到②、③，依次演算下去，直到下断面。这样就能满足两个线性假 定。
（2）当预报河段K、X未知，河道L已知时，可根据河道断面水力特 性确定波速C值
K l = ∆t
分 段 参 数 的 确 定
Ll = c∆t 1 l ∴ xl = − 2 2 Ll
L n= Ll
∆t
（3）目前的情况，有河道平均汇流时间K，有实测数据采集时段
K l = ∆t K n= Kl xl
作为待定参数
dW dW L K = = = ' dQ dQ 0 C 0
v 关 于 x ： 由两部分组成：一是代表水面曲线的形 状，反映楔蓄的大小；二是反映河段的调蓄能力。
v 最简单的计算Q0的办法是假定Q0与I、O之 间的关系是线性的，即： χ 的 物 理 意 义
Q0 = Ix + Oy
v 对于特定河段，x、y应为常数。 v 当I=O时，水流为稳定流，即I=O=Q0。以此 式代入上式得：
∂Q ∂Q ∂Q 1 ∂Q BL 1 K = K ⋅ ⋅ = K ⋅ ∂S ∂S ∂Z ∂ Q ∂S K ∂ Q ∂Z ∂Z
χ 的 物 理 意 义
∂Q ∂ S x d Z 上 + (1 − x ) d Z 下 + dS ∂Q ∂Z = x 1 d Z 上 + (1 − x 1 ) d Z 下
∂ Q ∂Z l ⋅ = ∂S ∂ Q 2 l ∴ ( x − x1 )( dZ 上－ dZ 下） + dS =0 2
v 要满足两个线性条件应如何办？（I，Q在Δt时间内及流量沿程线
性变化）
计 算 时 段 Δt 的 确 定
v 若取Δt>K，则在在计算时段Δt内会发生跨峰（或跨谷）现 象，流量在计算时段Δt内的变化就不是线性的。
v 若取Δt<K，则在河段内会发生跨峰（或跨谷）现象，流量沿 河长的变化就不是线性的
计 算 时 段 Δt 的 确 定
∆t ∆t ( I i ,1 + I i , 2 ) − (Q1 + Q2 ) = W2 − W1 ∑ 2 2 i =1
n
W
= f (∑ Ii,Q )
i=1
n
槽蓄方程中槽蓄量 包括 了各 支流槽蓄量的总 和， 也包括交 汇区互 相 干扰的水量。由于干、支流的相互干扰，河段洪水波运动的变形，除受干 流洪水本身的特点影响外，还取决于各支流的洪水和河道等特性，情况比 较复杂。
（1）当预报河段的K、X、河长L已知时，先选定
∆t
值，令
分 段 参 数 的 确 定
K l = ∆t K K n= = K l ∆t 1 l x = − 2 2L
L Ll = n 1 l ∴ xl = − 2 2 Ll
l = (1 − 2 x) L = (1 − 2 x)nLl 1 n(1 − 2 x) ∴ xl = − 2 2
马 斯 京 根 法 汇 流 曲 线
v 分段汇流曲线中，m为时段数，n为断面数，在n断面上m时段末 的汇流曲线坐标Pmn可表示为：
P0，n=C0n （m=0） Pm，n=
n −i m −i i B C C ∑ i 0 2 A (m > 0, m − i ≥ 0) i =1 n
A = C1 + C0C2