2020.5.30石家庄质量检测二文科数学试题及答案

2020届石家庄毕业班综合训练（一）
数学文科答案
一．选择题
1.C
2.B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8.C 9
．B 10．B 【解析】∵29182+=，
∴1(9)(9)10f f ==，
∵2101101+=，
∴()()()()2199102f f f f ===，
∵2215+=，∴()()()()329925f f f f ===，
∵25126+=，∴()()()()439958f f f f ===，
∵28165+=，∴()()()()5499811f f f f ===，
∵2111122+=，∴()()()()6599115f f f f ===，
∴数列(){}9n f 从第3项开始是以3为周期的循环数列，
∵2367222020+⨯+=，
∴()()89942020==f f ，故答案为8．
连结OM ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧16=+34=⋅22MQ PM MQ PM ，
11.D 【解析】如图，不妨设21l l ,两条直线的斜率大于零时，
解得32=2=MQ PM ,,
或（舍）2
,32==MQ PM . 32=2=MQ PM ,，
在PMQ Δ中,因为2===PO PM OM ，所以︒60=∠=∠POM BPO ,故此时3
3-=150=3
3=30=︒︒tan ,tan OM AB k k . 设()()2211y x B y x A ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
1
=+1
=+222
22222
1
22
1b y a x b
y a x ，
两式相减得()()()()
0=+-++-2212122121b y y y y a x x x x ，
即22
212
1212
1-=++⋅--a b x x y y x x y y ，即22
-
=31-=⋅a b k k OM AB ，
因此离心率32=-1==22
222a b a c e ，所以36
=e ，故选D.
12.D 【解析】如图，连接BD 交AC 于点E ，
由213S S =，得ED BE 3=， 3-=
设n n n n a a y a a x 2,34
11-=-=+-，AE AC λ=，
()(y x y x +++=+==λy +
()[]()y x y x +-=+-3λ
又AE u u u r 与ED u u u r
不共线，
所以303-+=⇒=y x y x ,即112343n n n n a a a a +--=-， ()111111112323444,243n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a a a a +++-+-----=⇒-=-⇒-=-⇔=≥--，
所以{}1n n a a +-是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以1124n n n a a -+-=⋅，
由1124n n n a a -+-=⋅
2
124n n n a a ---=⋅
．．． 0
2124a a -=⋅，累加得12413n n a -⋅+=， ()210111212142324443333149n n n n n S n n +--+-=+++⋅⋅⋅+=+⋅=-，
6912S =. ∴选D.
二．填空题
13. 40 14. 3
15.2
16.【解析】;23⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛39839-,. 设()()2211y x F y x E ,,,，()3:+=x k y l ，
由()
3+=3-3x k x x ，
得()()
0=-3-3+2k x x x ， 故21x x ,为方程0=-3-2k x x 的两个根， 所以2
3=2+=21x x s ， 故点M 在直线23=
x 上，()3-3='2x x f ， 过P 作()x f 的切线，设切点坐标为A ()()3-≠000x y x ,，
则有()()3
+='000x x f x f ，即0=3-3+2020x x ，解得23=0x ， 此时切线斜率43-=0k ，切线方程为()
3+43-=1x y . 又()6=3-'f ，则P 点处的切线方程()3+6=2x y .
切线21y y ,与23=x 的交点纵坐标分别为398
39-,， 故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛39839-∈,t . 三、解答题
说明：解答题提供了一种或几种答案，阅卷过程中出现的其他答案可参照本答案给分标准，教研组讨论决定。

17.（Ⅰ）解法1：根据正弦定理，由b a B c 23cos 3+=得
()()B C B B C sin 2sin 3cos sin 3++-=π，
………………………2分
整理得0sin 2cos sin 3=+B C B .
因为0sin ≠B ，所以32cos -=C . …………………………………4分 解法2：由b a B c 23cos 3+=得ab a B ac 23cos 32+=，
由余弦定理得：()ab a b
c a 4632222+=-+…………………………2分 整理得()ab b c a 43222=-+-
02cos 3=+ab C ab .所以3
2cos -=C . ………………………………4分 （Ⅱ）解法1：
在△ABC 中，由余弦定理得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⨯⨯⨯-+=32329212b b ， 整理得：01242=-+b b ，
解得2=b 或6-=b （舍），即2=AC ………………………6分
在△ABC 中，由（1）结论可知：
3
5sin =∠ACB …………………………………………………7分 由正弦定理得3
521sin 3=A ，所以215sin =A ，
……………8分 由（Ⅰ）结论可得出A 为锐角 所以 214cos =
A ，……………………………………………9分 45tan =A ，
……………………………………………………10分 在△ACD 中，A AC CD tan ==
25. …………………………12分
解法2：
在△ABC 中，由余弦定理得：C b b cos 329212⨯⨯⨯-+=，
将（Ⅰ）中所求代入整理得：01242=-+b b ，
解得2=b 或6-=b （舍），即2=AC ………………………6分
在△ABC 中，由余弦定理可知： 21421229421cos =⋅⋅-+=A
………………………………………8分
所以215
sin =A ， ……………………………………………9分
45
tan =A ，
……………………………………………………10分
在△ACD 中，A AC CD tan ==25
. ………………………12分
18.解：（Ⅰ）证明：如图1，取线段DF 的中点H ，连接HG ， G
是线段CF 的中点，
则HG ∥CD 且HG =21
CD . …………2分
在菱形ABCD 中E 为线段AB 中点，
则BE ∥CD 且BE =21
CD .
则HG ∥BE 且HG =BE ，
故四边形BEHG 为平行四边形，
所以BG ∥EH . ………………………………………………………4分
又因为BG ⊄平面DEF ，EH ⊂平面DEF ，
所以BG ∥平面DEF . ………………………………………………5分
解法2：如图2，取线段CD 中点M ，连接MG ，BM ，
在△CDF 中，MG ∥DF ，
因为DF ⊂平面DEF ，MG ⊄平面DEF ，
所以MG ∥平面DEF . ………………2分
在菱形ABCD 中，BM ∥DE ，
因为DE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ，
所以BM ∥平面DEF . ……………………………………………4分
又因为MG ∩BM =M ，且MG ，BM ⊂平面BMG ，
所以平面BMG ∥平面DEF .
因为BG ⊂平面BMG ，
所以BG ∥平面DEF . ……………………………………………5分
（Ⅱ）如图3，在等边△DEF 中取DE 边中点O ，连接FO ，
则FO ⊥DE ，
因为平面DEF ⊥平面ABCD 且平面DEF ∩平面ABCD =DE
所以FO ⊥平面ABCD .
在菱形ABCD 中，∠BCD =60°=∠BAD ，E 是线段 AB 的中点，
所以⊥DE AB . ……………………………………………………7分
连接OC ，2219Rt CDO OC CD DO =+=在△中，，…………8分227Rt CDE CE CD DE =+=在△中，，
………………………9分
227Rt COF CF FO OC =+=在△中，. ………………………10分
设点D 到平面CEF 的距离为h ，
D CEF F CD
E V V --=三棱锥三棱锥则，11
33CEF CDE S h S FO ⋅=⋅△△即，
11113232
EF h CD DE FO ⨯=⨯⋅⋅，
11113232
322
h ⨯=⨯⨯， 65h =解得， 所以65D CEF 点到平面的距离为
.…………………………………12分
19.解：（Ⅰ）123456747
x ++++++==， …………………… 1分 537.22333.5747ˆ140112
-⨯⨯=-b ，…………………………3分
2333.52148.8184.7 6.602828
-==≈…………………………4分 537.2184.7352.5ˆ450.367287
a =-⨯=≈ 所以以x 为解释变量y 为预报变量回归方程为ˆ 6.6050.36y
x =+．………… 6分 （Ⅱ）到2035年底对应的年份代号为23，由（Ⅰ）的回归方程ˆ 6.6050.36y
x =+得我国国内生产总值为6.602350.36=202.16⨯+万亿元人民币，………… 8分 又202.1614.0414.4
≈，所以到2035年底我国人均国民生产总值约为14.04万元人民币， ……………… 10分 由直方图，假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值为：
7.50.312.50.35+17.50.2+22.50.1+27.50.0513.75⨯+⨯⨯⨯⨯=，
又13.7514.04<，
所以以（Ⅰ）的结论为依据，可预测我国在2035年底人均国民生产总值可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值． …… 12分
20.解：（Ⅰ）设()()1122,,,A x y B x y ，
方式一：由题2211222,2y px y px ==， ………………………1分；
由122y y +=，则直线AB 的斜率1
21212
2y y p k p x x y y -===-+； ………………………3分 由题可知2p =； ………………………4分
所以抛物线C 的方程为24y x =. ………………………5分 方式二：设1:2l x y b =+，由2122x y b y px
⎧=+⎪⎨⎪=⎩得220y py pb --=， ………………………2分 于是12y y p += …………………3分
由题122y y +=，所以2p =， ………………………4分
所以抛物线C 的方程为24y x =. ………………………5分
（Ⅱ）方式一：设:2l y x b =+，由224y x b y x
=+⎧⎨=⎩得()224440x b x b +-+=， 于是122123216014b x x b b x x ⎧⎪∆=-+>⎪+=-⎨⎪⎪=⎩ ………………………7分
由（Ⅰ）知()1,0F ，则()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-u u u r u u u r ，由0FA FB =u u u r u u u r g ，
得()()1212110x x y y --+=，因为,A B 在x
轴两侧，不妨令将12y y ==-
整理得(
)121210x x x x -++-= ……………………… 8分
由,A B 在x 轴两侧可知0b <，将韦达定理代入上式化简得2
304
b b +=， 解得12b =-或者0b =（舍去），且12b =-满足0∆> ………………………9分
()()()121212*********
ABF S AF BF x x x x x x ∆==++=+++ ……… 10分 由12b =-得121213,36x x x x +==，从而25ABF S ∆=
所以△ABF 的面积为25；
………………………12分
方式二：设1:2l x y b =+，由2124x y b y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2240y y b --=，于是1212416024b y y y y b ∆=+>⎧⎪+=⎨⎪=-⎩………………7分 由（Ⅰ）知()1,0F ，则()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-u u u r u u u r ，由0FA FB =u u u r u u u r g ，
得()()1212110x x y y --+=，将21122
244
y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入整理得 222212*********
y y y y y y +-++= ………………………8分 将韦达定理代入上式化简得260b b -=，由,A B 在x 轴两侧可知0b >，
解得6b =满足0∆>， ………………………9分
()()()121212*********
ABF S AF BF x x x x x x ∆=
=++=+++ ……………10分 由6b =得()221212*********,36216
y y x x y y x x +=++===，从而25ABF S ∆=； 所以△ABF 的面积为25； ………………………12分
注：由（1）知()1,0F ，则()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-u u u r u u u r ，由0FA FB =u u u r u u u r g ，
得()()1212110x x y y --+=，将11
221212
x y b x y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入整理得 ()2121251210422b y y y y b b ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭
………………………8分
21.解：（Ⅰ）由题意知()a x x x f --='ln ，由()x f 为增函数可知()0≥'x f 恒成立.…………………2分
设()()x
x x x g a x x x g 1-=1-1='--=,ln ，令()0='x g 得1=x ，当()10∈,x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减，即()x f '单调递减； 当()+∞1∈,x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，即()x f '单调递增.
…………………………………………………4分
故()()a f x f -1=1'='min ，因此1≤a ；
经检验，当1≤a 时，满足题意.
……………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（1）知当1>a 时，()0<-1=1'a f .因为()e e 0a a f --'=>，0e 1a -<<，且()x f '在()10,上单调递减，所以存在()1e ,1a x -∈使得()0='1x f ；………………………………………………………………7分
()e e 2a a f a '=-，令()()e 2,e 2x x h x x h x '=-=-，当1>x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，故()()1e 20h a h >=->，又e 1a >，()x f '在()+∞1,上单调递增，故存在()21,e a x ∈使得()0='2x f .因此有()x f 在()10x ,上单调递增，在()21x x ,上单调递减，在()+∞2,x 上单调递增…………………………………………………………9分
故()021,e a x x =∈，()()000200-1+-21=x a x x x x f ln ，将00-=x x a ln 代入消去a 得()0200+21-=x x x f ，函数()x x x F +2
1-=2的对称轴为1=x ，故()x F 在()+∞1,上单调递减…………………………………………11分
因此()()20e e e 2a a a
F x F >=-，即()20e e 2
a
a f x >-成立.………………………………………………………12分
选考题： 22.解：（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos ,().22sin x y θθθ=⎧⎨=-+⎩为参数
可得曲线2C 的普通方程为()2
22 4.2x y ++=L L L L L L L L L L L L L L 分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式，得4sin .4ρθ=-L L L L L L L L L L 分
所以2C 的极坐标方程为4sin .5ρθ=-L L L L L L L L L L L L L L L L L 分
（Ⅱ）设A 点的极坐标为()1,,ραB 点的极坐标为2,,3πρα⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 则122sin ,4sin ,63πραρα⎛
⎫==-- ⎪⎝⎭K K K K K K K K K K K K K K K K K 分
于是△AOB 的面积
(
)1211sin 2sin 4sin 2323sin 2836=962S S ππρρααππαααπ
α⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎛⎫⎛⎫=-⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分当时，取得最大值分
所以△AOB
面积的最大值为
102L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分 23.解：
（Ⅰ）解法1：因为()()()2123212343f x x x x x =--+≤--+=L L L L 分
当且仅当()()21230,2123
x x x x -+≥⎧⎪⎨-+⎪⎩>即32x ≤-时，等号成立. 所以函数()f x 的最大值M 等于4.5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分
解法2：
()14,,
23142,,32234,.2x f x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪≤-⎩
<⎪<L L L L L L L L L L L L L 分 当32
x ≤-时， ()f x 的最大值M 等于4.5分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
（Ⅱ）已知=4M ，且a b c >>， 要证114a b b c a c +≥---，
只需证()11 4.7a c a b b c ⎛⎫-+≥ ⎪--⎝⎭
L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分 因为a b c >>，所以0,0,0a b b c a c >>-->-，
所以()(
)1111=2+
+29a c a b b c a b b c a b b c a b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫-+=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
--≥+--L L L L L L L L L L L L L ，分 故
114.10a b b c a c +≥---L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分。