2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 Word版含答案

§2抛物线
2.1抛物线及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.抛物线y2=4x的焦点坐标为()
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,2)
D.(2,0)
解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.
答案:B
2.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()
A.y2=8x
B.y2=12x
C.y2=16x
D.y2=20x
解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.
答案:A
3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是()
A. B. C.1 D.
解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,
∴点M到x轴的距离等于1-.
答案:D
4.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标是()
A.B.(2,2) C.(1,) D.(0,0)
解析:如图,作PH⊥y轴,交抛物线准线于H,则|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|,∴当H,P,A三点共线时,|PA|+|PF|最小,此时,点P的纵坐标为2,故选B.
答案:B
5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则()
A.x1,x2,x3成等差数列
B.x1,x3,x2成等差数列
C.y1,y2,y3成等差数列
D.y1,y3,y2成等差数列
解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,
∴2,
即2x2=x1+x3.故选A.
答案:A
6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()
A.y2=±4x
B.y2=±8x
C.y2=4x
D.y2=8x
解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2, 令x=0得y=-,故点A的坐标为.
由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.
答案:B
7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.
解析:设点A的坐标为(x,y).
因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,
所以x=1.所以A(1,±2).
又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.
答案:2
8.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.
解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.
答案:x=-
9.导学号90074066若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.
解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,
∴=|x+2|-1=x+1.
两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,
∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.
(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,
∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.
故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
答案:y2=4x
10.求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;
(2)焦点是(-2,0);
(3)准线是y=-;
(4)焦点到准线的距离是2;
(5)焦点到直线x=-5的距离是8.
解(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:
焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,
∴方程为y2=16x;
焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,
∴方程为x2=12y.
故所求方程为y2=16x或x2=12y.
(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,
∴方程为y2=-8x.
(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.
(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.
∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.
(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,
∴x0=3或x0=-13,
∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,
∴p=6或-26.
∴方程为y2=12x或y2=-52x.
B组
1.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为()
A.B.+1 C.-1 D.1
解析:
如图所示,设已知圆圆心为C,则|PQ|min=|PC|min-1.
设P(x,y),则有|PC|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x=x2-5x+9=,
∴|PC|min=,即|PQ|min=-1.
答案:C
2.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹方程是.
解析:由y=,得y2=x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax(y≥0).
答案:y2=4ax(y≥0)
3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在抛物线上求一点P,使得|PM|+|PF|的值最小,并求出最小值.
解抛物线的方程可化为x2=8y,其焦点为F(0,2),准线为y=-2,将x=-2代入抛物线方程,得y=,因为点M的纵坐标4>,所以点M在抛物线的上侧,如图所示,
设点P到准线的距离为d,则由抛物线的定义,得|PF|=d,所以|PM|+|PF|=|PM|+d,通过观察易得,当点P和点
M的横坐标相同时,|PM|+d最小,此时点P的坐标为,最小值为4-(-2)=6.
4.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为m,问:水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点
A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4≤x≤4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由
22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).
故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
5.导学号90074067如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a≥1),求弦AB 的中点M与x轴的最近距离.
解设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).
由抛物线的定义,得
|AF|=|AA'|=y1+=y1+,
|BF|=|BB'|=y3+=y3+,
∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.
又M是线段AB的中点,
∴y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.。