(江西专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(二十三)坐标系与参数方程(解析版)

专题限时集训 ( 二十三 ) [ 第 23 讲 坐标系与参数方程 ]
( 时间： 30 分钟 )
1．若曲线的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ＋4cos θ ，以极点为原点，极轴为 直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ________．
x 轴正半轴建立
x＝ 1＋ 2cos θ ，
2．圆 C：
( θ 为参数 ) 的极坐标方程为 ________．
为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C2 是圆心在极轴上，经过点
D
2，
π 3
的圆，
π
11
且曲线 C1 经过曲线 C2 的圆心．若点
A( ρ 1， θ) ， B ρ 2， θ ＋ 2
在曲线 C1 上，则 2＋ 2的值 ρ1 ρ2
为 ________．
-2-
专题限时集训 ( 二十三 ) 【基础演练】 1．x2＋ y2－ 4x－ 2y＝ 0 [ 解析 ] 由 ρ ＝ 2sin θ ＋ 4cos θ 得 ρ2＝ 2ρ sin θ ＋ 4ρ cos θ ，即 x2＋ y2＝ 2y＋ 4x.
y＝ 1＋ 2sin θ
3．在极坐标系中，圆 ρ ＝ 2 的圆心到直线 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 2 的距离为 ________．
π 4．在极坐标系中，曲线 ρ ＝ 2cosθ 与曲线 θ ＝ 6 的交点的极坐标为 ________．
x＝ 2＋ 2t ，
5．已知圆 ρ＝ 3cos θ，则圆截直线
＝ 5－ 1＝ 2.
8. π 8
[ 解析 ] 曲线 C3 的普通方程为
x2＋ y2＝1( x， y≥0) ，其与 C1，C2 所围成的图形在第
一象限，为八分之一圆面，面积为
π 8.
39
9．ρ ＝
[ 解析 ] 依题意得经过变换后的曲线方程为
13
立方程组
x
2
＋
3
y2＝
a，
4
消去
y，得
13x2－ 24x＋ 12－4a＝ 0.
C1： (
x－ 4)
2
＋
y
2
＝
1
，曲线
C2： ( x－1) 2
＋ ( y＋1) 2＝ 2，曲线 C1， C2 均为圆，圆心分别为 (4 ， 0) ， (1 ，－ 1) ，点 A， B 分别在曲线 C1，
C2 上，则 | AB| ≥ 32＋ 12－ 1－ 2＝ 10－ 2 －1.
5 15 12. 2， 2
y＝－ 1＋ 2sin θ
5 ，则 a 的值为
________．
11．在直角坐标系 xOy中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，
x＝ 4＋cos θ ，
π
B 分别在曲线 C1： y＝ sin θ
( θ 为参数 ) 和曲线 C2： ρ ＝ 2 2cos θ ＋ 4 上，则 | AB| 的
( t 为参数 ) 所得的弦长为 ________．
y＝ 1＋ 4t
6．在极坐标系 ( ρ，θ )(0 ≤ θ <2π ) 中，曲线 ρ＝ 2sin θ与 ρ cos θ＝－ 1 的交点的极坐 标为 ________．
7．在极坐标系中，曲线
C 的方程为
ρ ＝ 2sin θ，过点
P2
2，
π 4
作曲线的切线，则切
即经过直角坐标系下的点 D(1 ， 3) ，所以得曲线 C2 的方程为 ( x－2) 2＋ y2＝ 4.
π 因为点 A( ρ 1， θ ) ， B ρ 2， θ ＋ 2 在曲线 C1 上，即点
π B ρ 2cos θ ＋ 2 ， ρ 2sin
π θ＋ 2
在椭圆
x
2
＋
y
2＝
1
上，
4
所以
ρ
21cos
2
θ
x－ y＝1，
x2 ＋
3y2＝
a，与直线
x－ y＝ 1 联
4
-3-
∵曲线与直线只有一个交点，故
Δ ＝ ( － 24) 2－4×13×(12 － 4a) ＝ 0，可得
3 a＝13，所以
圆 M方程为 x2＋ y2＝ 3 ，所以 ρ＝
39 .
13
13
a－ 2 10． 0 或 2 [ 解析 ] 把 ρ ＝ cos θ ＋ 2sin θ 化为直角坐标系中方程为 x＋ 2y＋ 2－ a＝ 0，
x＝ 1＋ 2cos θ，
2．ρ＝ 2(cos θ ＋ sin θ) [ 解析 ] 圆 C：
( θ 为参数 ) 的普通方程为 ( x
y＝ 1＋ 2sin θ
－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 2，将
x＝ρ cos θ ， 代入整理得
ρ ＝ 2(cos θ ＋sin θ ) ．
y＝ρ sin θ
3. 2 [ 解析 ] 两个曲线的直角坐标方程分别为
1 ，正好
3
与直线 x－ y－ 1＝ 0 相切．若以原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆 M的极
坐标方程为 ________．
-1-
10．直线
l
：
ρ
＝
cos
a－ 2 θ ＋ 2sin
θ(
极轴与
x 轴的正半轴重合，且单位长度相同
)，
x＝ 1＋ 2cos θ ，
65
圆 C：
( θ 为参数 ) ．若直线 l 被圆 C截得的弦长为
－ 2，由直线与圆相切，可得 r ＝ 2.
5 14.
x＝ 2cosφ ，
[ 解析 ] 将方程
( φ 为参数 ) 消去参数得曲线
C1 的直角坐标方程
x
2
＋
y
2
4
y＝ sin φ
4
π ＝ 1，曲线 C1 过曲线 C2 的圆心， 且圆心在极轴上， 所以圆心坐标为 (2 ，0) ，且圆过点 D 2， 3 ，
＋
ρ
2 1
sin
4
2
ρ 22sin
θ ＝ 1， 4
2
θ
＋
ρ
22cos
2
θ
＝
1
，
11 所以 2＋ 2＝
ρ1 ρ2
cos
2
θ
4 ＋ sin
2
θ
＋
sin 2 4
θ
＋
cos
2
θ
5
＝
. 4
A( ρ 1cos θ ， ρ 1sin θ ) ，
-4-
-5-
( t 为参数 ) ，圆 C2 的极坐标方程为 ρ ＝ r ( r >0) ，
y＝ 8t
若斜率为 1 的直线经过抛物线 C1 的焦点，且与圆 C2 相切，则 r ＝ ________．
x＝ 2cosφ ，
14．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
( φ 为参数 ) ，在以 O
y＝ sin φ
(0 ，0) 和
3， . 6
【提升训练】 5．3 [ 解析 ] 圆的普通方程为 x2＋ y2－ 3x＝ 0，直线普通方程为 2x－y－ 3＝ 0，显然圆心
3 2， 0 在直线上，故所截得的弦长为
2r ＝ 3.
6.
3 2， 4π
[ 解析 ] 易知曲线 ρ ＝ 2sin θ 与 ρ cos θ ＝－ 1 的交点即为圆 x2＋ ( y－1) 2
3 ＝ 1 与 x＝－ 1 的交点，可求得直角坐标为 ( －1， 1) ，故其极坐标为 ( 2， 4π ) ．
7．2 [ 解析 ] 曲线 C的方程 ρ ＝2sin θ 可化为 x2＋ ( y－ 1) 2＝ 1，点 P 2 2，π4 的直角坐 标为 P(2 ，2) ．点 P与圆心 (0 ，1) 的距离为 d＝ 22＋（ 2－ 1）2＝ 5 ，所以切线长为 l ＝ d2－ r 2
最小值为 ________．
12．直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
A，B
x＝ 4＋ 2cos θ，
1
分别在曲线 C： y＝ 3＋2sin θ
( θ 为参数 ) 和曲线 ρ ＝ 2上，则 | AB| 的取值范围是 ________．
x＝ 8t 2，
13．已知抛物线 C1 的参数方程为
[ 解析 ] 两曲线对应的普通方程分别为
(
x
－
4)
2＋
(
y
－
3)
2＝
4，
x 2＋
y 2＝
1 4，易
知两圆相离，圆心距为 5，所以最大距离为圆心距与两半径之和，为
15 ；最小距离为圆心距与
2
5
5 15
两半径之差，为 ，则所求范围为 2
2， 2 .
13. 2 [ 解析 ] 化简得抛物线方程为 y2＝8x，圆的方程为 x2＋y2＝ r 2，直线方程为 y＝x
线长为 ________．
x＝ t ，
8．曲线 C1： y＝| x| ， C2：x＝ 0， C3 的参数方程为
( t 为参数 ) ，那么 C1， C2，C3
y＝ 1－ t
围成的图形的面积为 ________． 9．将圆 M： x2＋ y2＝ a( a>0) 的横坐标伸长为原来的
2 倍，纵坐标缩短为原来的
x
2
＋
y
2
＝
4
及
x＋ y－ 2＝ 0，故圆心
(0 ， 0)
到 x＋ y－ 2＝ 0 的距离 d＝ 2.
π
π
π
4．(0 ，0) 和 3， 6 [ 解析 ] 当θ ＝ 6 时， ρ ＝2cos 6 ＝ 3，所以
π 3， 6 是它们的
一个交点，同时两条曲线显然都经过
π
(0 ， 0) 点，所以两条曲线的交点为
x＝ 1＋ 把
2cos θ， 化为普通方程为
x2＋ y2－ 2x＋ 2y＝ 0，圆心为 (1 ，－ 1) ，
y＝－ 1＋ 2sin θ
|1 － a|
∴圆心到直线 l 的距离 d＝
.
5
所以由已知得
3
2 | a－ 1| 2
＋
＝(
2) 2，
5
5
∴a2－2a＝ 0，a＝ 0 或 2.
Байду номын сангаас
11. 10－ 2－ 1 [ 解析 ] 在直角坐标系下，曲线