惠州市届高三第二次调研数学理试题

惠州市届高三第二次调研
数学理试题
The pony was revised in January 2021
惠州市2012届高三第二次调研考试
理科数学参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A D D D B
1．【解析】由{}0P Q =,得2log 0a =，∴1a =，从而=0b ，{}3,0,1P Q =.选C.
2．【解析】由(4)4a i i ai b i +=-+=+154a a b b =⎧⇒⇒-=⎨=-⎩，选B ．
3．【解析】由||2x <得到22x -<<，由260x x --<得到2x -<＜3，选A.
4．【解析】22
246757
4,4a a a a a ==，572a a =，所以22311, 1.2q a a q ===选A ． 5．【解析】由条件知，4x =，5y =，设回归直线方程为ˆ 1.23y x a =+，则
1.230.08a y x =-=.选D.
6．【解析】5(1)ax -的展开式中含3x 的项为232335()(1)10C ax a x -=，由题意得31080a =，
所以2a =.选D.
7.【解析】因为三棱锥A —
1A BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面中心，A 正确；平面1A BD ∥平面11CB D ，而AH 垂直平面1A BD ，所以
AH 垂直平面11CB D ，C 正确；根据对称性知B 正确.选D.
8．【解析】函数的对称轴为1x =-,设1202x x x +=，由03a <<得到11122a --<<，又12x x <，用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．30︒
10．4:2:π 11．1320 12．(22,22)-+ 13．47
14．01a <≤ 15．5
5[来源:学*科*网Z*X*X*K]
9.【解析】根据正弦定理, ,sin sin a b A B = [来源:学&科&网Z&X&X&K]
2
1sin 12sin .22a B A b ⨯∴===,30.a b A ︒<∴=
10.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所 以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a 则，
长方体体积为3
a ，三棱柱体积为312a ，四分之一圆柱的体积为314a π，所以它们的体积之比为4:2:π．
11．【解析】该程序框图的作用是计算121110⨯⨯的值。

12.【解析】圆心到直线的距离2122222m d m -=<⇒-<<+. 13.【解析】抛物线焦点F （4，0）得4c = 又2916,a +=得7a =，故44777e =
=. 14．【解析】曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)
为抛物线段
2(11)y x x =-≤≤， 借助图形直观易得01a <≤。

15.【解析】由条件不难得ABC ∆为等腰直角三角形，
设圆的半径为1，则1OB =，2BC =，OC =5，
15sin 55
BCO ∠==。

三、解答题 16．（本小题满分12分）
解：（1）
()443sin 2sin cos 3sin 2cos22sin 26x x x x x x π⎛⎫+--- ⎪⎝⎭y=== ………… 4分 所以 min ,2T y π==- ………… 6分
（2）226263x x π
π
π
π
π
ππππ≤-≤+∈≤≤+∈令2k -2k ,k Z ，则k -k ,k Z ………… 8分
令0,1k =，得到
[,]63x ππ∈-或54[,]63x ππ∈， ………… 10分 与[0,]x π∈取交集, 得到[0,]3x π∈或5[,]6x ππ∈,
所以，当[0,]x π∈时，函数的
536πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦递增区间是0，和， . ………… 12分 17．（本小题满分12分）
解：（1）从条表图上可知，共生产产品 50+100+150+200=500（件），样品比为50150010=
所以A 、B 、C 、D 四种型号的产品分别取
111110010,20020,505,1501510101010⨯=⨯=⨯=⨯=
即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件。

(4)
分 （2）353152(0)91C P C ξ=== ， 1210531520(1)91C C P C ξ⋅=== 2110531545(2)91C C P C ξ⋅=== ， 31031524(3)91C P C ξ=== ……… 8 分
所以ξ的分布列为
P
291 2091 4591 2491
……… 10 分
204524232919191E ξ=
+⨯+⨯= ………12 分
18．（本小题满分14分）
（1） 解法1
证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，
∴EF AE ⊥，
又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，
∴AE ⊥平面BCFE . …………2分
过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .
∵EG ⊂平面BCFE ，
∴DH EG ⊥. …………4分
∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，
∴2EH AD ==，
B
C F
E
D
M
H
G
A
∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，
∴四边形BGHE 为正方形，
∴BH EG ⊥， ……………6分
又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,
∴EG ⊥平面BHD . ………………………7分
∵BD ⊂平面BHD ,
∴BD EG ⊥. ………………………8分
（2）∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD
∴平面AEFD ⊥平面BCFE
由（1）可知GH EF ⊥
∴GH ⊥平面AEFD
∵DE ⊂平面AEFD
∴GH DE ⊥ ……………………9分
取DE 的中点M ，连结MH ，MG [来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学§科§网Z §X §X §K]
∵四边形AEHD 是正方形，
∴M H DE ⊥
∵,MH GH H ⋂=MH ⊂平面GHM ，GH ⊂平面GHM ∴DE ⊥平面GHM
∴DE ⊥MG
∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角， ………………………12分
由计算得2,2,6GH MH MG ===
∴
23cos 36
GMH ∠=
=
………………………13分 ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为3
.………………………14分
解法2
∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，
∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，
又AE EB ⊥,
∴,,EB EF EA 两两垂
直. ……………………2分
以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z
轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
x
z
y
A
D
F E
B G C
由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），
C （2，4，0），F （0，3，0），
D （0，2，2），
G （2，2，0）. …………………………4分
∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………6分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………7分 ∴BD EG ⊥. …………………………8分
（2）由已知得(2,0,0)EB =是平面DEF 的法向量. ………………………9分 设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =，
∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==，
∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =-. ……………12分
设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，
则
||3
cos |cos ,|||||23n EB n EB n EB θ=<>=
==
…………………………13分
∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为3
3. …………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）对任意*
N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为113
2b -=，公比为1
2…………2分
所以
1113()22n n b --
=⨯，
1113()22n n b -=⨯+…………4分 （2）因为
1113()22n n b -=⨯+
所以211
3(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --
=+++++=+=-+-…………7分
因为不等式1227
(122)n k
n n T ≥-+-，
化简得
27
2n n k -≥
对任意*N n ∈恒成立 ……………8分
设
272n n n c -=
，则1112(1)72792222n n
n n n n n n
c c ++++----=-= 当5n ≥,
1n n c c +≤,{}
n c 为单调递减数列，
当15n ≤<,
1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列 …………11分
45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值3
32…………13分
所以, 要使272n n k -≥
对任意*N n ∈恒成立，3
32k ≥
…………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题意得，12(1,0),(1,0),F F -圆1F 的半径为22，且2||||MF MP = ……… 1分
从而121112||||||||||22||MF MF MF MP PF F F +=+==> ………… 3分 ∴ 点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆, ………… 5分
其中长轴222a =,得到2a =,焦距22c =， 则短半轴1b =
椭圆方程为:2
21
2x y += ………… 6分
（2）设直线l 的方程为y kx n =+,由2212y kx n
x
y =+⎧⎪⎨+=⎪
⎩
可得
222
(21)4220k x knx n +++-= 则
2222168(1)(21)0k n n k ∆=--+>,即22210k n -+> ① ………… 8分[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]
设1122(,),(,)P x y Q x y ,则
2121222
422
,2121kn n x x x x k k --+==++
由0OP OQ ⋅=可得12120x x y y +=,即1212()()0x x kx n kx n +++= …………10分
整理可得22
1212(1)()0k x x kn x x n ++++= …………12分
即22222
(1)(22)4()02121k n kn
kn n k k +--+⋅+=++
化简可得22
322n k =+,代入①整理可得
21
2n >
,
故直线l 在y 轴上截距的取值范围是
22(,)(,)-∞-
⋃+∞． …………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由题意可设()(),0g x kx x m k =-≠，
又函数图象经过点(1,1)P m m ++，则1(1)(1)m k m m m +=++-，得1k =.……… 2分
（2）由（1）可得
2
()()y g x x x m x mx ==-=-。

所以
()()()f x x n g x =-32
()()()x x m x n x m n x mnx =--=-++， /2()32()f x x m n x mn =-++， ………… 4分
函数()f x 在x a =和x b =处取到极值，
故
//
()0,()0f a f b ==， ………… 5分 0m n >>，
∴/22
()32()()0f m m m n m mn m mn m m n =-++=-=-> ………… 7分
/22()32()()0f n n m n n mn n mn n n m =-++=-=-<
又b a <，故b n a m <<<。

…… 8分
（3）设切点00(,)Q x y ，则切线的斜率
/2
000()32()k f x x m n x mn ==-++ 又
32
0000()y x m n x mnx =-++，所以切线的方程是 322000000()[32()]()y x m n x mnx x m n x mn x x -++-=-++- …… 9分
又切线过原点，故
3232
000000()32()x m n x mnx x m n x mnx -++-=-++- 所以32
002()0x m n x -+=，解得00x =，或
02m n
x +=。

………… 10分
两条切线的斜率为/
1(0)k f mn ==，
/2(
)2m n
k f +=，
由m n +≤，得2
()8m n +≤，∴21
()2
4m n -+≥-，
∴2/
223()1()2()()2
2424m n m n m n k f m n mn m n mn mn +++==-+⨯+=-++≥-，
………………………… 12分
所以22
12(2)()2(1)11k k mn mn mn mn mn ≥-=-=--≥-，
又两条切线垂直，故121k k =-，所以上式等号成立，有m n +=，且1mn =。

所以
3232
()()f x x m n x mnx x x =-++=-+。

………… 14 分。