高考数学精讲精练精析专题6_2等差数列与等比数列试题文含解析

专题 等差数列与等比数列试题 文
【三年高考】
1. 【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }
中，34574,6a a a a +=+=.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]=0,[]=2.
2．【2016高考北京文数】已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =.
（1）求}{n a 的通项公式；
（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和. 【解析】（I ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b =
==，所以211b b q ==，4327b b q ==．设等差数列{}
n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，
3，⋅⋅⋅）．
（II ）由（I ）知，21n a n =-，1
3n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和
()1
1321133
n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312
n n -=+．
3．【2016高考山东文数】已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II）令
1
(1)
(2)
n
n
n n
n
a
c
b
+
+
=
+
.求数列{}n c的前n项和n T.
4．【2015高考新课标1，文7】已知{}
n
a是公差为1的等差数列，
n
S为{}
n
a的前n项和，若
84
4
S S
=，则10
a=（）
（A）
17
2
（B）
19
2
（C）10（D）12
【答案】B
【解析】∵公差1
d=，
84
4
S S
=，∴
11
11
8874(443)
22
a a
+⨯⨯=+⨯⨯，解得
1
a=
1
2
，∴
101
119
99
22
a a d
=+=+=，故选B.
5.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数组成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5
【解析】若这组数有21
n+个，则
1
1010
n
a
+
=，
21
2015
n
a
+
=，又
1211
2
n n
a a a
++
+=，所以
1
5
a=；若这组
数有2n个，则1101022020
n n
a a
+
+=⨯=，
2
2015
n
a=，又
121
n n n
a a a a
+
+=+，所以
1
5
a=；故答案为5
6.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a中，24
a=，
47
15
a a
+=．
（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；
（Ⅱ）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
7.【2015高考天津，文18】已知n a 是各项均为正数的等比数列,n b 是等差数列,且
112331,2a b b b a ,52
37a b .
（I ）求n a 和n b 的通项公式; （II ）设*,n
n n c a b n N ,求数列n c 的前n 项和.
()2323n n S n =-+
8.【2015高考广东，文19】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *
∈N ．已知11a =，232a =
，35
4
a =，且当2n ≥
时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．
【解析】（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得：47
8
a =
（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即
2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644
a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为
()212111111111
4242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以
21112a a -=为首项，公比为1
2的等比数列
（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1
11122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
即1141122n n n n
a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n
n
a n n =+-⨯=-⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()()1
11422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是
()1
1212n n a n -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭
9.【2014高考江西卷文第13题】在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.
【答案】7
(1,)8
--
【解析】由题意得：
89
0,0
a a
><，所以770,780
d d
+>+<，即
7
1.
8
d
-<<-
10.【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列{}
n
a的公差为d，若数列1
{2}n a a为递减数列，则（）A．0
d< B．0
d> C．
1
a d< D．
1
a d>
【答案】C
11．【2014高考福建卷文第17题】在等比数列{}n a中，25
3,81
a a
==.
（1）求
n
a；
（2）设
3
log
n n
b a
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
S.
【解析】 (1)设{}
n
a的公比为q，依题意得1
4
1
3
81
a q
a q
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得1
1
3
a
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，因此，1
3n
n
a-
=.
（2）因为
3
log1
n n
b a n
==-，所以数列{}
n
b的前n项和
2
1
()
22
n
n
n b b n n
S
+-
==.
12. 【2014高考重庆文第16题】已知{}n a是首项为1，公差为2的等差数列，n S表示{}n a的前n项和.
（I）求
n
a及
n
S；
（II）设{}n b是首项为2的等比数列，公比q知足()0
1
4
4
2=
+
+
-S
q
a
q，求{}n b的通项公式及其前n项和n
T.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对等差数列和等比数列的考查，主要以等差数列和等比数列为素材，围绕着等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式的运用设计试题，而等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的大体运算、大体技术和大体思想方式，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．
【2017年高考温习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 ,对于等差与等比数列的综合考查也几回出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．在解答题中，有的考查等差数列、等比数列通项公式和求和知识，属于中档题，有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．等差数列和等比数列的判定，可能会在解答题中的第一问，或渗透在解题进程中.等差数列、等比数列的通项公式，以小题形式或在解答题中考查，是解决等差数列和等比数列的瓶颈，要熟练掌握.等差数列和等比数列性质的运用，主要以选择或填空的形式考查，难度较低．对等差数列、等比数列前n项和的考查，直接考查或通过转化为等差数列、等比数列后的考查．在2017年对数列的温习，除增强“三基”训练，同时要紧密注意与函数、不等式、解析几何结合的解答题．
故预测2017年高考可能以等差数列与等比数列的大体性质为主要考查点，重点考查学生大体运算能力和转化与化归能力，试题难度中等.
【2017年高考考点定位】
高考对等差数列和等比数列的考查有四种主要形式：一是考察等差数列和等比数列的判定，主要以概念为主；二是考察通项公式，直接求或转化为等差数列和等比数列后再求；三是对等差数列和等比数列的性质的考查；第四是求和．
【考点1】等差数列和等比数列的判定 【备考知识梳理】 1．等差数列的判定：
①1n n a a d --=（d 为常数）；②112n n n a a a +-=+；③n a pn q =+（,p q 为常数）；④2
n S an bn =+（,a b
为常数）．其顶用来证明方式的有①②． 2.等比数列的判定：①1
n n a q a -=（0,0n a q ≠≠）；②2
11n n n a a a +-=（0n a ≠）；③(a 0,b 0)n n a ab =≠≠；
④,(a 0,b 0,b 1),na,(a 0)n n a b a S ⎧⋅-≠≠≠=⎨≠⎩
其顶用来证明方式的有①②．
【规律方式技能】
判断等差数列和等差数列的判断方式：
判断等差数列和等比数列，可以先计算特殊的几项，观察其特征，归纳出等差数列或等比数列的结论，证明应该首先考虑其通项公式，利用概念或等差中项、等比中项来证明，利用通项公式和前n 项和只是作为判断方式，而不是证明方式，把对数列特征的判定渗透在解题进程中，可以帮忙拓展思维和理思路． 【考点针对训练】
1. 【2016年安徽淮北高三考前质量检测】如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，
()n E n N +∈为边AC 的一列点，知足11
(32)4
n n n n n E A a E B a E D +=
-+，
其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，则{}n a 的通项公式为（ ）
A ．1322n -•-
B ．21n
- C ．32n - D ．1231n -•-
【答案】D
2. 【2016届石家庄市高三二模】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,1++-==n n n S S a a ，则使2
2101n
n
S nS +取得最大值时n 的值为（ ）
A.2
B.5
C.4
D.3 【答案】D
【解析】因为n n n S S a -=++11，所以有11
1111=-⇒
-=-+++n n n n n n S S S S S S ，即⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为首项等于1公差为1的等差数列所以n S n S n n 11=⇒=，则2
2222
2211
()1111011010110()110()n
n n nS n n n n S n n n n
====+++++ 1
10n n
=
+，因为,10210≥+n n 当且仅当10=n 时取等号，因为n 为自然数，所以按照函数的单调性可从与10=n 相邻的两个整数中求最大值，193101,31,322=+==n n n S nS S n ，13
2
101,41,42
2
=+==n n n S nS S n ，所以最大值为
19
3
，此时3=n ，故本题正确选项为D. 【考点2】等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和 【备考知识梳理】
1．等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-，()n m a a n m d =+-
2．等比数列的通项公式：11n n a a q -=，n m
n m a a q -=
3．等差数列前n 项和公式：S n =d n n na 2
)
1(1-+
S n =
2)(1n a a n + 4.等比数列前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；
当q≠1时，S n =q q a n --1)1(1 S n =q
q
a a n --11
5.当公差0d >时，等差数列递增；当0d <时，等差数列递减；当0d =时，等差数列为常数列
6. 对于等比数列：a n =a 1q
n －1
.可用指数函数的性质来理解.
当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.
当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 【规律方式技能】
1． 等差数列和等比数列通项公式有两个，一个表示的是项n a 与首项1a 关系1(1)n a a n d =+-和
11n n a a q -=；另一个表示的是数列任意两项的关系()n m a a n m d =+-和n m n m a a q -=，有时候选择后组，
可以很快求出答案．
2． 知足n a pn q =+或2n S an bn =+的数列为等差数列；知足(a 0,b 0)n
n a ab =≠≠或
,(a 0,b 0,b 1),na,(a 0)
n n a b a S ⎧⋅-≠≠≠=⎨≠⎩的数列为等比数列．
3． 等差（或等比）数列的通项公式、前n 项和公式中有五个元素1a d 、（或q ）、n 、n a 、n S ，“知三求二”是等差（等比）的大体题型，通过解方程的方式达到解题的目的． 【考点针对训练】
1. 【2016年河南郑州高三第二次联考】设数列{}n a 知足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（ ） A ．514
B ．524
C ．534
D ．5
4
4 【答案】D.
【解析】∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴2020244
20151996455
a a =+⋅=⇒=
=，故选D ． 2. 【2016届淮南市高三.二模】 已知数列{}n a 知足：120n n a a ++=，且22a =，则{}n a 前10项和等于（ ）
A ．10123-
B ．10123
-- C ．1021- D ．1012-
【答案】B
【考点3】等差数列和等比数列的性质 【备考知识梳理】
1等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+
2等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•
3等差数列{a n }的任意持续m 项的和组成的数列23243 m m m m m m m S S S S S S S ---、、、、……仍为等差数列
4等比数列{a n }的任意持续m 项的和组成的数列23243 m m m m m m m S S S S S S S ---、、、……仍为等比数列
（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）
5两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列
6两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n •b n }、⎭⎬⎫⎩⎨
⎧n n b a 、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列 7.等差数列{a n }的任意等距离的项组成的数列仍为等差数列
8等比数列{a n }的任意等距离的项组成的数列仍为等比数列
9．等差中项公式：A=
2
b
a + （有唯一的值） 10. 等比中项公式：G=a
b ± （ab>0，有两个值） 【规律方式技能】
1.等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题取得整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的．
2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．
3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中超级重要，但用“大体量法”并树立“目标意识”，
“需要什么，
就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果． 【考点针对训练】
1. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列{}n a 中，若25234535,44
a a a a a a =-
+++=，则2345
1111
a a a a +++=（ ） A ．1 B ．34- C ．53- D ．43
- 【答案】C
2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列{}n a 中，8,20453==+a a a ，则26a a +=（ ） A ．18 B ．24 C ．32 D ．34 【答案】D
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为8,20453==+a a a ，所以
244120,25202a a q q q q q +=⇒-+=⇒=或2；若1
2q =，则24264234a a a a q q +=+=；若2q =，则24
264234a a a a q q
+=
+=，故选D ． 【应试技能点拨】
1．等差、等比数列的判定与证明方式：
(1)概念法：1n n a a d +-=(d 为常数)⇔ {}n a 是等差数列；1
n n
a q a += (q 为非零常数)⇔ {}n a 是等比数列；
(2)利用中项法：122n n n a a a ++=+ (n N *
∈)⇔{}n a 是等差数列；122n n n a a a ++= (n N *
∈)⇔{}n a 是等比数列(注意等比数列的0n a ≠，0q ≠)；
(3)通项公式法：n a pn q =+(,p q 为常数)⇔ {}n a 是等差数列；n
n a cq =(,c q 为非零常数)⇔ {}n a 是等
比数列；
(4)前n 项和公式法：2n S An Bn =+ (,A B 为常数)⇔ {}n a 是等差数列；n
n S mq m =-(m 为常数，
0q ≠)⇔ {}n a 是等比数列；
(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可．
2．等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包括1,a d (或q )，,n n a 与n S 这五个量，若是已知其中的三个，就可以够求其余的两个．其中1,a d (或q )是两个大体量，所以等差数列与等比数列的大体运算问题一般先设出这两个大体量，然后按照通项公式、求和公式构建这二者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的表现．
[易错提示] 等差(比)数列的大体运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是轻忽题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，致使增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的大体性质转化已知条件，致使列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量． 3.等差数列前n 项和的最值问题
对于等差数列前n 项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：10a >，0d <时，n S 有最大值；
10a <，0d >时，n S 有最小值.常常利用下面两个方式去解决：
(1)若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；
(2)若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下肯定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩.
4.利用等比数列求和公式注意的问题
在利用等比数列前n 项和公式求和时，若是公比q 未知，且需要利用求和公式列方程时，必然要对公比q 分
11q q =≠和两种情况进行讨论.
二年模拟
1. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=
，且245
4
a a +=，则n
n
S a =（ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n - 【答案】D
2. 【2016年九江市三模】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若210071009=-S S ，则=2016S （ ） A ．1008 B ．1009 C ．2016 D ．2017 【答案】C
【解析】由210071009=-S S ,得210091008=+a a ，∴
20162
)
(20162)(201610091008201612016=+⋅=+⋅=
a a a a S ．
3. 【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】设{}n a 为等差数列，公差d =-2，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则=1a ( )
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
【答案】B
【解析】由1110S S =得110a =,即1100a d +=.由于2d =-,所以120a =.故B 正确.
4. 【2016河南省八市重点高中质检】5个数依次组成等比数列，且公比为-2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ） A ．2120-
B ．-2
C ．2110-
D ．215
- 【答案】C
【解析】由题意可设这5个数别离为24816a a a a a --，，，，，
故奇数项和与偶数项和的比值为416210
281
a a a a a =-++--.故选C
5. 【2016河北省石家庄市高三二模】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差
15,21=-=+n n S S d ，则n 的值为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8 【答案】C
6. 【2016年安庆市高三二模】数列{}n a 知足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1
2
D ．2 【答案】D
【解析】由11n n a a λ+=-,得12
12()n n n a a a λλλ
+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列,所以
2
1λ
=,
得2λ=.故选D.
7. 【2016年河南六校高三联考】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n
S 都是等差数列，且
公差相等，则6a =（ ） A ．
114 B ．32 C ．7
2
D ．1 【答案】A.
【解析】由题意得，211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=
+
=+-又∵{}n S 是等差数列，且公差相同，∴111221
042
d d d d a a ⎧⎧
==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，∴6115115424a a d =+=+=，∴故选A ．
8. 【河南商丘市高2016年高三三模】在等差数列{}n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若
7321a a a a a k +⋅⋅⋅+++=，则=k （ ）
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25 【答案】A
【解析】()()111k a a k d k d =+-=-,123741772121a a a a a a d d +++⋅⋅⋅+==+=,所以
121,22k k -==．
9．【2016年江西九江市高三三模】已知数列{}n a 知足*
+∈+==N n a a a n n ,32,111.
（Ⅰ）求证：数列{}3+n a是等比数列；
（Ⅱ）求数列
{}
n
na的前n项和
n
S.
10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知等差数列{}n a的前n项和为n S，公差为2，且1a，
2
S，
4
S成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；
（Ⅱ）设
1
2
n
n n
b
a a
+
=
⋅
（n*
∈N），求数列{}n b的前n项和n T．
11. 【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列}
{
n
a中，
49
36
a a=，则前
12项和
12
S的最小值为（）
（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D
【解析】因为112124912()
6()722
a a S a a +=
=+≥=，当且仅当496a a ==时取等号，所以12S 的
最小值为72，选D.
12.【2015届北京市西城区高三二模】数列{}n a 为等差数列，知足242010a a a ++⋅⋅⋅+=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）
A ．21
2 B ．21 C ．42 D ．84
【答案】B ．
【解析】∵等差数列{}n a ，∴2204181012a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+，∴2202a a +=， ∴22012121()21
()212122
a a a a S +⋅+⋅=
==，故选B ．
13.【2015届福建省泉州五中高三模拟】已知数列{}n a 为递增等比数列，其前n 项和为n S ．若11a =，
11225(2)n n n a a a n +-+=≥，则5S =
A ．
3116 B ．3132
C ．31
D ．15 【答案】C
【解析】由于数列{}n a 是递增的等比数列，q a a n n ⋅=-1，2
11q a a n n ⋅=-+，代入得
q a a q a n n n ⋅=+⋅---1121522，整理得02522=+-q q ，数列{}n a 是递增的等比数列2=∴q ，
()
2
1215
15--=∴a S 31=，故答案为C ．
14.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且知足201420150,0S S ><，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥，则k 的值为( ) 【答案】C
15.【2015届山东省实验中学高三6月份模拟】数列{}n a 的前n 项和记为 11,2,n n n S a a S n +==+，等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且39T =，又 112233,,a b a b a b +++成等比数列． （Ⅰ）求 {}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：当n ≥2时，
222
1211145n
b b b ++⋅⋅⋅+< 【解析】（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，
所以121+=+n n a a ，所以)1(211+=++n n a a )2(≥n ，又,32=a 所以n
n n a a 2)1(2122=+=+-，从而
12-=n n a )2(≥n ，而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2
,121,
2n n a n n ，因为}{n b 为等差数列，且前
三项的和93=T ，所以32=b ，可设d
b d b +=-=3,331，
由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以
36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍），所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n （Ⅱ）因为
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k 11141)22(211)12(1)12(11222，所以，当2≥n 时 2222
2221)12(13111111-++=+++n b b b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 111
3121211411 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+
=n 1141145
411=+< .
拓展试题和解析
1.已知在等差数列n a 中，前n 项的和为n S ，2
3
2
a ，且844S S ，则6a （ ）
A．
13
2
B．4 C．5D．
11
2
【答案】D
【入选理由】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、和运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.
2.在等比数列}
{
n
a中，82
1
=
+
n
a
a，81
2
3
=
⋅
-
n
a
a，且数列}
{
n
a的前n项和121
=
n
S，则此数列的项数n 等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【入选理由】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、和运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.
3. 设公差不为零的等差数列{}n a的前n项和为n S，若423
2()
a a a
=+，则7
4
S
a
=（）
A．
7
4
B．
14
5
C．7 D．14
【答案】C.
【解析】按照等差数列的性质，
423111
2()32(2)
a a a a d a d a d
=+⇒+=+++，化简得
1
a d
=-，∴
1
7
41
76
714
27
32
a d
S d
a a d d
⋅
+
===
+
，故选C.
【入选理由】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，，等差数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、和运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题.
4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，知足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______. 【答案】6
【解析】由题意得，2114343(2)n n n n S S S S n ++-=+=+≥，，两式相减得24(2)n n a a n +=≥， 因此公比q
知足2
4q =，即2q =±.因为3143S S =+，所以当2q =时，11112443a a a a ++=+⇒11a =⇒
37S =，与30S <矛盾，舍去；当2q =-时，111113244339a a a a a S -+=+⇒=-⇒=-0<，知足题
意，因此2=6.a
【入选理由】本题考查等比数列的通项公式及其前n 项和，，等比数列的性质等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、和运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题. 5. 已知数列{n a }中，121==a a ，*22,)2,n n n a n a n a n ++⎧⎪=∈⎨⎪⎩N 是奇数
（是偶数
，则数列{n a }的前20项和为 . 【答案】1123
【解析】由题知数列{n a 2}是首项为1，公比为2的等比数列，数列}{12-n a 是首项为1，公差为2的等差数
列，故数列{n a }的前20项和为
10112)1091012122
-⨯+⨯+⨯-（=1123. 【入选理由】本题主要考查等比数列、等差数列的概念与前n 项和公式及分组求和等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、和运算求解能力．本题是一个常规题，符合高考试题要求，故选此题. 6.已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且知足2()n n S a n n =+∈*
N . （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）若n b =)1(log 2+-n a ，求数列{
2
1
+n n b b }的前n 项和n T .
【入选理由】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、裂项相消法求和等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力，和转化与化归思想．本题考查知识基础，难度适中，故选此题.
7.已知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，且2426462461
1,6a a a a a a a a a ++==.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若(
)1N
n n n b a a n *
+=∈，数列{}n
b 的前n 项和为n
S
，对于整数m ，恒有n S m <成立，求m 的最小值.
【入选理由】本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识，考查学生分析问题、解决
问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 求出公差和首项，再求出数列1n a ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的通项公式，从而得出{}n a 的通项公式；第二问，将第一问的结论代入n b 中， 利用裂项相消法求和，求出n S ，本题考查知识基础，难度适中，故选此题.
8.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，数列{}n b 为公比大于1的等比数列，且34b =，37S =.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
（2）设n n n c (cos n )a 2b =π
+（），求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（1）对于数列{}n a ：当1n =时，112a S ==; 当2n ≥时，
22n n n 1a S S (n n)[(n 1)(n 1)]2n -=-=+--+-=，当1n =时也知足此式. 所以n a 2n =. 对于数列
{}n b ：设其公比为q q ≠（1），由已知条件得：2313134,(1)7,1b b q b q S q ⎧==⎪⎨-==⎪-⎩解得12q 3b 9⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1q 2b 1=⎧⎨=⎩ 又因为数列{}n b 的公比大于1，所以121
q b =⎧⎨=⎩，从而得12n n b -= . （2）由（1）得n n n 1n n n n n n n c (cos n )a b (1)a 2b (1)(2n 2)2(1)(n 1)2-=π=-+=-+=-+（）
当n 为偶数时：
234122324252n 2n+12n n n T -=-⨯+⨯-⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯+⨯（）
23456-12232+4252+6282)++(1)]n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯++⨯（）（）（-[-22
351232+452+672++[n n+12]2n -=-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+⨯⨯（）2（）2（）2（）
3514+6+8++n+22n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯222（） ①
2357124+6+8++n+22n n T +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯222（） ②
① -②得：3n T -=35114+2+2++222)2n n n -+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+⨯222-（
35118+2(+++22)2n n n -+=⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯22)-（23212(14)8+22)214n n n -+-=⨯+⨯--（=31
82323
n n n ++--⨯ , 所以1332289
n n n n T ++⨯+-=
【入选理由】本题主要考查由已知n S 求n a 、等比数列的大体运算与性质和错位相减法求和等，考查大体的运算能力和转化与化归思想、函数与方程思想等.本题求和时需分类讨论，从而求和，有必然的新意，故选此题.。