上海上海外国语大学附属大境初级中学八年级数学上册第一单元《三角形》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，下列结论中正确的是（ ）
A ．12A ∠>∠>∠
B ．12A ∠>∠>∠
C ．21A ∠>∠>∠
D ．21A ∠>∠>∠ 2．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）
A ．145︒
B ．155︒
C ．165︒
D ．175︒ 3．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°
4．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．
A ．
B D ∠=∠
B ．1A D ∠=∠+∠
C ．2
D ∠>∠
D ．C D ∠=∠ 5．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ） A ．2
B ．9
C ．13
D ．15 6．下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A ．2，3，5 B ．4，6，11 C ．5，8，10 D ．4，8，4 7．如图，线段B
E 是ABC 的高的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A ．3，3，4
B ．7，4，2
C ．3，4，8
D ．2，3，5 9．如图，在ABC 中，AD 是角平分线，A
E 是高，已知2BAC B ∠=∠，
2B DAE ∠=∠，那么C ∠的度数为（ ）
A ．72°
B ．75°
C ．70°
D ．60°
10．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11．下列说法正确的个数为（ ）
①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④
B ．①②③
C ．①④⑤
D ．②④⑤ 12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm 二、填空题
13．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．
14．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．
15．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．
16．七边形的外角和为________．
17．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__．
18．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．
19．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．
20．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．
①如图 1，若 AB⊥AE，则∠BFC=75°；
②图 2 中 BD过点C，则有∠DAE+∠DCE=45°；
③图 3中∠DAE+∠DFC等于 135°；
④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD的摆放位置，使得D在边AC上，则
∠BAE=105°．
三、解答题
21．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积
的1
4
．
（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是
△ABC的1
8
．
22．如图，在平面内有三个点、、
A B C
（1）根据下列语句画图：
①连接AB ；
②作直线BC ；
③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；
（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．
23．如图1，已知ACD ∠是ABC 的一个外角，我们容易证明ACD A B ∠=∠+∠，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，DBC ∠与ECB ∠分别为ABC 的两个外角，则
DBC ECB ∠+∠_______180A ∠+︒（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在ABC 纸片中剪去CED ，得到四边形ABDE ，1135∠=︒，则2C ∠-∠=_______．
（3）解决问题：如图4，在ABC 中，BP 、CP 分别平分外角DBC ∠、ECB ∠，P ∠与A ∠有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角EBC ∠、FCB ∠，请利用上面的结论直接写出P ∠与A ∠、D ∠的数量关系．
24．（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．
（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．
25．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．
求：（1）BDC ∠的度数；
（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）
解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（ ）
∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）
（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（ ）
∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）
1809720=︒-︒-︒（等量代换）
63=︒
26．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线．
（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；
（2）设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
【详解】
解：∵∠2是△BCD 的外角，
∴∠2>∠1，
∵∠1是△ABC 的外角，
∴∠1>∠A ，
∴21A ∠>∠>∠．
故选D ．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数
【详解】
解：在DEC ∆中
∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒
∴45E ∠=︒
又∵60ABC ∠=︒
∴120FBE ∠=︒
由三角形的外角性质得
DFB E FBE ∠=∠+∠
45120=︒+︒
165=︒
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质
3．B
解析：B
【分析】
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，
∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】
∵∠1=∠2，∠A=∠C ，∠1=∠A+∠D ，∠2=∠B+∠C ，
∴∠B=∠D ，
∴选项A 、B 正确；
∵∠2=∠A+∠D ，
∴2D ∠>∠，
∴选项C 正确；
没有条件说明C D ∠=∠
故选：D.
【点睛】
本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键. 5．B
解析：B
【分析】
根据三角形三边关系得出a的取值范围，即可得出答案．
【详解】
解：8-5＜a＜8+5
3＜a＜13，
故a的值可能是9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，掌握知识点是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+8>10，能组成三角形，符合题意；
D、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．D
解析：D
【分析】
根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【详解】
A选项中，BE⊥BC，BE与AC不垂直，此选项错误；
B选项中，BE⊥AB，BE与AC不垂直，此选项错误；
C选项中，BE⊥AB，BE与AC不垂直，此选项错误；
D选项中，BE⊥AC，∴线段BE是△ABC的高，此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
8．A
解析：A
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；
C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
9．A
解析：A
【分析】
利用角平分线的定义和三角形内角和定理，余角即可计算．
【详解】
由图可知DAE DAC EAC ∠=∠-∠，
∵AD 是角平分线． ∴12DAC BAC ∠=
∠， ∴12
DAE BAC EAC ∠=∠-∠， ∵90EAC C ∠=︒-∠， ∴1(90)2
DAE BAC C ∠=
∠-︒-∠ ∵2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠， ∴14(90)2
DAE DAE C ∠=
⨯∠-︒-∠， ∴90DAE C ∠=︒-∠
∵180C B BAC ∠=︒-∠-∠， ∴18024C DAE DAE ∠=︒-∠-∠，
∴1802(90)4(90)C C C ∠=︒-︒-∠-︒-∠，
∴72C ∠=︒．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理以及余角．根据题意找到角之间的数量关系是解答本题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
利用三角形高的定义逐一判断选项，可得答案．
【详解】
A ．CE 不垂直A
B ，故CE 不是AB
C 的高，不符合题意，
B ．CE 是AB
C 中AB 边上的高，符合题意，
C ．CE 不是ABC 的高，不符合题意，
D ．C
E 不是ABC 的高，不符合题意．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
11．A
解析：A
【分析】
根据直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、多边形的定义依次判断．
【详解】
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两点之间，线段最短，故②正确；
③若ax ay =，当0a =时，x 不一定等于y ，故③错误；
④若A ，B ，C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点，故④正确；
⑤各角都相等且各边相等的多边形是正多边形，故⑤错误．
∴正确的有①②④，
故选：A ．
【点睛】
此题考查理解能力，正确掌握直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、正多边形的定义是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A 中，1+2=3，排除；
B 中，3+4＞5，可以；
C 中，6+6=12，排除；
D 中，5+6＜12，排除．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒
【分析】
根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．
【详解】
∵//AE BC ，
∴180A B ∠+∠=︒，
∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，
∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，
故答案为：360︒．
【点睛】
此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．
14．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △
解析：18
【分析】
连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解．
【详解】
连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，
∴S △BGC =
13
S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）
∴S△DGC=3
S△BGC=6
4
∴剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18
故答案为：18．
【点睛】
此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．15．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt△ABC沿CD折叠使点B落在AC边
解析：40
【分析】
根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC，再利用平角的定义，即可得出答案．
【详解】
解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，
∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度数是解题关键．
16．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36
解析：360°
【分析】
根据多边形的外角和等于360°即可求解；
【详解】
∵多边形的外角和都是360°，
∴七边形的外角和为360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键； 17．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线
解析：20°
【分析】
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ︒∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．
【详解】
解：∵180B BAC C ︒∠+∠+∠=，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=，
∴180180367668BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，
∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422
CAD BAC ︒︒∠=
∠=⨯=， ∵AE 是ABC ∆的高， ∴90AEC ︒∠=，
∴90C CAE ︒∠+∠=，
∴90907614CAE C ︒︒︒︒∠=-∠=-=，
∴341420DAE CAD CAE ︒︒︒∠=∠-∠=-=，
故答案为：20°．
【点睛】
此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．
18．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小然后列出关于mn 的二元一次方程然后确定mn 的值最后求m+n 即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°
解析：4或5
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m 、n 的二元一次方程，然后确定m 、n 的值，最后求m+n 即可．
【详解】
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°
∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；
∴m+n=5或m+n=4．
故答案为：4或5．
【点睛】
本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．
19．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可
【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）
∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC 解析：32
【分析】
利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．
【详解】
解：∵BD=DC ，
∴S △ABD =S △ADC =
12×6=3（cm 2）， ∵AE=DE ，
∴S △AEB =S △AEC =12×3=32
（cm 2）， ∴S △BEC =6-3=3（cm 2），
∵EF=FC ，
∴S △BEF =12×3=32
（cm 2）， 故答案为
32． 【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．①②③④【分析】由可得：再结合：从而可求解于是可得可判断①；由可得：再利用：求解可判断②；由再利用角的和差可得：可判断③；由图4可得：可判断④【详解】解：如图1故①正确；如图2故②正确；如图3故③正
解析：①②③④．
【分析】
由,AB AE ⊥可得：90BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，再结合：
2105BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，
从而可求解CAD ∠，于是可得BFC ∠，可判断①；由90ADB ，
∠=︒可得：90DAC ACD ∠+∠=︒，再利用：180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
求解DAE DCE ∠+∠，可判断②；由,DFC D DAF ∠=∠+∠再利用角的和
差可得：135DFC DAE D CAE ∠+∠=∠+∠=︒，可判断③；由图4可得：
105BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，
可判断④． 【详解】
解：如图1，,AB AE ⊥
90BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
60BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，
45CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒，
2105BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
15CAD ∴∠=︒，
90ADB ∠=︒，
901575BFC AFD ∴∠=∠=︒-︒=︒，
故①正确； 如图2，90ADB ∠=︒，
90DAC ACD ∴∠+∠=︒，
180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
90ACE ∠=︒， 180CAD DAE ACD DCE E ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，
()()180180904545DAE DCE CAD ACD E ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒， 故②正确；
如图3，,DFC D DAF ∠=∠+∠
9045135DFC DAE D DAF DAE D CAE ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故③正确；
如图4，6045BAD CAE ∠=︒∠=︒，，
6045105BAE ∴∠=︒+︒=︒，
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图
【分析】
（1）根据三角形中线的性质可知，当CD为△ABC在AB边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB的中点，连接AE即可；
（2）可按照△BCE与△ABC都以BC为底边进行分析，当都以BC为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE的高为1即可；
（3）延续（2）的解题思路，都以BC为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC的
1 8，则让构成的三角形的高为
1
2
即可，则在BC下方
1
2
个单位处作平行于BC的直线即为
所求．
【详解】
如图所示：
（1）D在格点上，也为AB的中点，故CD即为所求；
（2）当点E在直线m上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE，此时答案不唯一，符合要求即可；
（3）如图，直线l即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．
22．（1）见解析；（2）AB BC CD AB BD AD
++>+>
【分析】
（1）①按要求作图；
②按要求作图；
③按要求作出射线AC，然后以点C为圆心，BC为半径画弧，交射线AC于点D，连接BD；
（2）结合图形，根据三角形两边之和大于第三边进行分析比较．
【详解】
解：（1）①如图，线段AB即为所求；
②如图，直线BC即为所求；
③如图，射线AC，点D，线段BD即为所求
（2）如图，在△BCD中，BC+CD＞BD
∴AB BC CD AB BD
++>+
在△ABD中，AB+BD＞AD
∴AB BC CD AB BD AD ++>+>
【点睛】
本题考查基本作图及三角形三边关系，正确理解几何语言并掌握三角形三边关系是解题关键．
23．（1）= （2） 45° （3）1902
P A ∠=︒-∠；证明见解析 （4）1118022
P A D ∠=︒-∠-∠ 【分析】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠ECB ＝∠A ＋∠ABC ，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1−∠C ＝180°，将∠1＝135°代入可得结论； （3）根据角平分线的定义得：∠CBP ＝12∠DBC ，∠BCP ＝12
∠ECB ，根据三角形内角和可得：∠P 的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC ＋∠ECB ＝180°＋∠A ，可得：∠P ＝90°−12
∠A ； （4）根据平角的定义得：∠EBC ＝180°−∠1，∠FCB ＝180°−∠2，由角平分线得：∠3＝12∠EBC ＝90°−12∠1，∠4＝12∠FCB ＝90°−12∠2，相加可得：∠3＋∠4＝180°−12（∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∠DBC ＋∠ECB−∠A ＝180°，
理由是：∵∠DBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠ECB ＝∠A ＋∠ABC ，
∴∠DBC ＋∠ECB ＝2∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°＋∠A ，
∴∠DBC ＋∠ECB ＝∠A ＋180°，
故答案为：＝；
（2）∠2−∠C ＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1−∠C ＝180°，∠1＝135°，
∴∠2−∠C ＋135°＝180°，
∴∠2−∠C ＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P ＝90°−12
∠A ， 理由是：∵BP 平分∠DBC ，CP 平分∠ECB ，
∴∠CBP＝1
2∠DBC，∠BCP＝1
2
∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°−∠CBP−∠BCP＝180°−1
2
（∠DBC＋∠ECB），∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°−1
2（180°＋∠A）＝90°−
1
2
∠A；
（4）∠P＝180°−1
2
（∠A＋∠D）．
理由是：如图：
∵∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°−1
2∠1，∠4＝1
2
∠FCB＝90°−1
2
∠2，
∴∠3＋∠4＝180°−1
2
（∠1＋∠2），
∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°−（∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°−（∠3＋∠4）＝1
2
（∠1＋∠2），
∴∠P＝1
2×[360°−（∠A＋∠D）]＝180°−
1
2
（∠A＋∠D）．
【点睛】
本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．24．（1）十二边形；（2）五边形
【分析】
（1）n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；
（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．
【详解】
解：（1）设这个多边形是n边形，根据题意得：
2180
(10
)80
n⨯︒=︒
﹣，
解得:12
n=．
故这个多边形是十二边形；
（2）18010872
︒-︒=︒，
多边形的边数是:360725
÷=．
则这个多边形是五边形．
故这个多边形的边数为5．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n−2）×180°．
25．（1）三角形的外角性质；（2）180，三角形内角和定理
【分析】
（1）在△ACD 中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；
（2）在△BFD 中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】
（1）∵∠BDC=∠A+∠ACD （三角形的外角性质），
∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换），
故答案为：三角形的外角性质；
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理），
∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE （等式的性质），
=180°-97°-20°（等量代换）
=63°；
故答案为：180°，三角形内角和定理．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
26．（1）10°；（2）12DAE
，证明见解析． 【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180︒列式求出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠代入数据计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和等于180︒列式表示出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠整理即可得解．
【详解】
解：（1）40B ∠=︒，60C ∠=°，
180180406080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， AE ∵是角平分线， 11804022BAE BAC ，
AD 是高，
90904050BAD
B ， 504010DAE BAD BAE ；
（2）1
()2．
B α∠=，()
C βαβ∠=<，
180()BAC ，
AE ∵是角平分线， 1190()22BAE BAC ，
AD 是高，
9090BAD
B ， 1190[90()]()22DAE BAD BAE ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握定理与概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．。