四川省宜宾市叙州区第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文

四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试
题 文
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{|1}A x y x ==-，(
){
}
2
2|log B x y x x ==-，则A B ⋂=
A. {|01}x x <<
B. }1|{≥x x
C. {|0}x x >
D. }1|{>x x
2.命题“，”的否定是
A. B. C.
D.
3.等比数列{}n a 中，若0n a >，241a a =，7321=++a a a ，则公比q = A.
14
B.
12
C. 2
D. 4
4.下列函数中，即是奇函数又是增函数的为 A.
B.
C.
D.
5.已知21sin ,cos 643x x ππ⎛⎫
⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
则值为 A ．1
4
B ．
34
C ．
1516
D ．
116
6.若变量满足约束条件
则的最小值为 .
A.
B.
C.
D.
7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为
A. B. C.
16
5 D.
8.在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λμ和，使得
,=BM AB AC λμλμ=++则
A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
9.若，则等于
A. B. C. 2 D.
10.已知，，
，则下列选项正确的是 A.
B.
C.
D. 11.设点为直线：上的动点，点
，
，则
的最小
值为 A.
B.
C. D.
12.已知函数，若正实数满，则
的最小值是 A. 1
B.
C. 9
D. 18
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知，，成等比数列，且
，则
_______．
14．已知奇函数()f x 为R 上的减函数，若()()2
3210f a
f a +-≥，则实数a 的取值范围是
____________．
15.若正数满足，则的最小值为__________．
16.四棱锥中，底面为矩形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求的取值范围.
18.（本大题满分12分）
某iphone手机专卖店对某市市民进行iphone手机认可度的调查，在已购买iphone手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组（岁）频数
[25,30) 5
[30,35)x
[35,40)35
[40,45)y
[45,50]10
合计100
（I）求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
（II）在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iphone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部6
iphone s手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率.
19.（本大题满分12分）
如图，几何体是由半个圆柱及1
4
个圆柱拼接而成，其中G，H分别为CD与AB的中点，四
边形ABCD为正方形.
（I）证明：平面DFB⊥平面GCBH.
（II）若2
2
=
AB，求三棱锥E ABG
-的体积.
20.（本大题满分12分） 已知椭圆：
的左、右焦点分别为
，
，椭圆的长轴长与焦
距之比为，过的直线与交于，两点.
（Ⅰ）当的斜率为时，求的面积；
（Ⅱ）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.
21.（本大题满分12分）
设函数()()ln 1f x a x =+， ()1x
g x e =-，其中a ∈R ， 2.718e =…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当0x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证： 1010952000
10001791
e << (参考数据： ln1.10.095≈)．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
为参数），以为极点，轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
，点是曲线
上的动点，
点在
的延长线上，且
，点的轨迹为
．
（Ⅰ）求直线及曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与直线交于点，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
23.设的最小值为.（10分）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的最小值.
2021-2022度秋四川省叙州区一中高三第一学月考试
文科数学试题答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.B 10.D 11.A
12.A
13.4
14.⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-3
1,1
15.2 16.
17.（1）由
知
数列
是等比数列，且公比为
.
成等差数列，
（2）
易知单调递减，
当时，
的取值范围为
18.（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，535101000.045100x y x ++++=⎧⎨⨯⨯=⎩，解得20
30x y =⎧⎨=⎩
.
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30人，对应的
频率组距为
0.3
0.065
=，
所以补全的频率分布直方图如下：
（2）由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为5
5125
⨯=， 记为1A ，年龄在[30,35)内的市民的人数为20
5425
⨯
=，分别记为1B ，2B ，3B ，4B . 从这5人中任取2人的所有基本事件为：{}11,A B ，{}12,A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，12{,}B B ，13{,}B B ，14{,}B B ，23{,}B B ，24{,}B B ，34{,}B B ，共10种不同的取法.
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M ，则M 所包含的基本事件有4个：{}11,A B ，
{}12,A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，共有4种不同的取法，
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为42()105
P M ==.
19.（1）由题知4
ABF π
∠=，又因为H 为AB 的中点，
所以4
ABH π
∠=
，故2
HBF π
∠=
，即BF BH ⊥，
又因为BC ⊥平面ABH ，BF ⊂平面ABH ，所以BC BF ⊥，又因为BC BH B =，
所以BF ⊥平面GCBH ，因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH . （2）连接AE ，BE ，EG ，FH ，如图所示， 由图可得几何体的体积满足
E ABG A EFHG B EFHG
F ABE H AB
G V V V V V -----=+--A EFHG A EFHG E ABF G AB
H V V V V ----=+--，
因为22=AB ，所以4BF =，2BH =，
由（1）知BF BH ⊥，所以224225FH =+= 过点A ，B 分别作FH 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
所以
1
3 sin
25
4
AF AH
AA
FH
π
⋅
==，1
45
BH BF
BB
FH
⋅
==，
所以
12545
2225()
355
A EFHG
B EFHG
V V
--
+=⨯⨯⨯+82
=，
3
1182
(22)
323
E ABF
V
-
=⨯⨯=，
1142
2222
323
G ABH
V
-
=⨯⨯⨯⨯=，
所以
8242
8242
33
E ABG
V
-
=--=.
20.解：（1）依题意，因，又，得，
所以椭圆的方程为，
设、，当时，直线：
将直线与椭圆方程联立，
消去得，，解得，，，
所以.
（2）设直线的斜率为，由题意可知，
由，消去得，
恒成立，，
设线段
的中点，
设线段的中点
，
则，，
设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.
，
整理得：， ，等号成立时.
故当截距最小为时，，此时直线的方程为.
21.解：(Ⅰ)令
()()()()()
1ln 10x H x g x f x e a x x =-=--+≥，则
()()01x a
H x e x x =-
≥+' ①若1a ≤，则11x a
e x ≤≤+， ()0H x '≥， ()H x 在[)0,+∞递增， ()()00H x H ≥=， 即()()
f x
g x ≤在 [
)0,+∞恒成立，满足，所以1a ≤； ②若1a >， ()1
x
a
H x e x =-
+'在[)0,+∞递增， ()()01H x H a ''≥=-且10a -< 且x →+∞时， ()H x '→+∞，则()00x ∃∈+∞，使()00H x '=， 则()H x 在[
)00x ，
递减，在()0x +∞，递增， 所以当()00x x ∈，
时()()00H x H <=，即当()00x x ∈，时， ()()f x g x > ， 不满足题意，舍去；
综合①，②知a 的取值范围为(]
,1-∞.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当1a =时， ()1ln 1x
e x >++对0x >恒成立， 令110x =，则11010951ln1.1 1.0951000
e >+≈> 即1010951000e >； 由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，
递减，在()0x +∞，递增， 则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001
x a e x =+， 令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791
e <≈-， 故有101095200010001791
e <<. 22.（1）消去直线l 参数方程中的t ，得，
由
，得直线l 的极坐标方程为， 故．
由点Q 在OP 的延长线上，且
，得，
设，则， 由点P 是曲线上的动点，可得，即，
所以的极坐标方程为．
（2）因为直线l 及曲线的极坐标方程分别为，， 所以，，
所以， 所以当时，取得最大值，为
． 23.解：（Ⅰ）当
时，
当时，
当时，
当时，取得最小值
（Ⅱ）由题意知
当且仅当时，即等号成立，的最小值为.。