两角差的余弦公式证明过程

两角差的余弦公式证明过程
一、向量法证明两角差的余弦公式。

1. 设向量。

设角α、β的终边分别与单位圆交于点A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)。

则→OA=(cosα,sinα)，→OB=(cosβ,sinβ)。

2. 计算向量的数量积。

根据向量数量积的坐标运算公式→a·→b=→a×→b×cosθ（θ为→a与→b的夹角）。

对于单位向量→OA和→OB，→OA = →OB=1。

→OA·→OB=cosαcosβ+sinαsinβ。

又因为∠ AOB=α - β，所以→OA·→OB=→OA×→OB×cos(α-β)=cos(α - β)。

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
二、几何法证明两角差的余弦公式（在平面直角坐标系中）
1. 构造角。

在平面直角坐标系xOy中，作单位圆O，设角α、β均为锐角，且α>β。

角α的终边与单位圆交于点P_1(cosα,sinα)，角β的终边与单位圆交于点
P_2(cosβ,sinβ)。

2. 计算两点间距离。

则| P_1P_2|^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα - sinβ)^2
| P_1P_2|^2=cos^2α - 2cosαcosβ+cos^2β+sin^2α- 2sinαsinβ+sin^2β =2 -
2(cosαcosβ+sinαsinβ)
3. 用旋转后的角表示距离。

将角β的终边OP_2绕着原点O旋转-α角，此时P_2点旋转到P_3点，∠
P_1OP_3=α-β。

P_3点坐标为(cos(α - β),sin(α-β))，则| P_1P_3|^2=[cosα-cos(α - β)]^2+[sinα-sin(α - β)]^2
| P_1P_3|^2=cos^2α-2cosαcos(α - β)+cos^2(α - β)+sin^2α-2sinαsin(α - β)+sin^2(α - β) =2-2[cosαcos(α - β)+sinαsin(α - β)]
由于| P_1P_2|=| P_1P_3|，所以| P_1P_2|^2=| P_1P_3|^2。

即2 - 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-2[cosαcos(α - β)+sinαsin(α - β)]
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

这种方法可以推广到任意角α和β。