上海市2020〖苏科版〗高二理科数学第二学期期中考试

上海市2020年〖苏科版〗高二理科数学第二学期期
中考试
创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行
创作单位： 明德智语学校
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每
小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的）
1.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线 2.把方程1xy =化为以t 为参数的参数方程可以是（ ）
A ．1
2
1
2x t y t -⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨
=⎪⎩
3. 一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个．从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列算式中等
于2
26
2
2214122C C C C +的是( )
A.(02)P ξ<<
B. (1)P ξ≤
C.(2)P ξ=
D.(1)P ξ= 4. 随机变量ξ的分布列为()(1)
c
p k k k ξ==+，1,2,3,4,=k 其中c 为常数，则1
5()2
2
p ξ<<等于( )
A.23
B.34
C.45
D.56
5. 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组
成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A ．
125
13 B ．
125
16 C ．
12518 D ．125
19 6．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2
，则
3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的平均值和方差分别为（ ）
A. x 和S 2
B. 3x +5和9S 2
C. 3x +5和S 2
D. 3x +5和9S 2
+30S+25
7．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学
各自独立地做10次和15
次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l ，已
知两个人在试验中发现对
变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值
都是t ，那么下列说法正
确的是( )
A ．1l 和2l 有交点（s ，t ）
B ．1l 与2l 相交，但交点不一定是（s ，t ）
C ．1l 与2l 必定平行
D ．1l 与2l 必定重
合
8．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱
代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为
（ ）
A ．96
B ．48 C
．
24
D ．12
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．比较大小：36log 4______log 7
10. 有一电路如图，共有1号、2号、3号、4号、5号、6号六
个开关，若每个开关闭合的概率都是3
2，且互相独立，则电路被接通的概率是.
2 3
1
6
4 5
11．已知
5025001250(2),a a x a x a x =++++其中01250,,,a a a a 是常数,则220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++= . 12．已知随机变量ξ只能取三个值123,,x x x ,其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为.
zxxk
13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5。

现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此样本的容量
n =______________件.
14. 已知圆C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
⎧
=
⎪⎨
=⎪⎩ （θ为参数），若P 是圆
C
与y 轴正半轴的交点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，则过点P 的圆C 的切线的极坐标方程为．
三、解答题:（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分12分) 解不等式7343220
x x
+--+-> 16．(本小题满分14分) 为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组数如下：
[)
10.75,10.853；[)
10.85,10.959；[)
10.95,11.0513；[)
11.05,11.1516；[)
11.15,11.2526；[)
11.25,11.3520；[)
11.35,11.457；[)
11.45,11.554；[)
11.55,11.652；
（1）列出频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
（3）据上述图表，估计数据落在[)
10.95,11.35范围内的可能性是百分之几？
（4）数据小于11.20的可能性是百分之几？
17.(本小题满分12分)将长为1 的棒任意地折成三段，求三段的
长度都不超过1
2
的概率.
18.(本小题满分14分) 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白
球，从A中摸一个红球的概率是1
3
，从B中摸出一个红球的概率为
P.
⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
⑵若A 、B 两个袋子中的球数之比为1：2，将A 、B 中的球装在
一起后，从中摸出一个红球的概率是2
5
，求P 的值.
19. (本小题满分14分) 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般
6 19 25 合计
24
26
50
（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由.
20K x ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20. (本小题满分14分) 已知1()2n x x
+的展开式中前三项的系数成
等差数列．
（Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
附加题: (本题满分15分)一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖。

（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；
（Ⅱ）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（）1,2,3,4
i=，其余的红球记上0号，现从袋中任取一球。

ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、期望和方差.
答题卷
一、选择题答卷（每题8分，共40分）
二、填空
题答卷（每题5分，共30分）
9. _________________________ 10. _________________________
11. _________________________ 12. _________________________
13. _________________________ 14. _____________________________
三、解答题答卷（共6小题，共80分）
15．（本小题满分12分）
16.(本小题满分14分)
17.(本小题满分12分)
18.(本小题满分14分)
19.(本小题满分14分)
20. (本小题满分14分)
附加题
答案
一、选择题
答案：（每题5分,共
40分）
二、填空题答案：（每题5分，共30分）
9. > 10. 729
304 11. 1 12. 3
131≤≤-d 13. 80 14.
1
cos()6
2
πρθ+=-
三、解答题答案：
15. 解：原不等式化为734210
x x +--+->zxxk
2分
当43
x >时，原不等式为7(34)210x x +--+-> 得252
x <+
，即
42532
x <<+；
5分
当473
x -≤≤时，原不等式为7(34)210x x ++-+-> 得1224x >--
，即
124
243
x --<≤；
8分
当7x <-时，原不等式为7(34)210x x +--+-> 得262x >-
，与
7
x <-矛盾；
10分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
D
B
D
D
B
A
B
所以解集为
122{5242
x x --<<+
}
12分
分组 频数 频率 累积频率 [10.75，10.85） 3 0.03 0.03 [10.85，10.95） 9 0.09 0.12 [10.95，11.05） 13 0.13 0.25 [11.05，11.15） 16 0.16 0.41 [11.15，11.25） 26 0.26 0.67 [11.25，11.35） 20 0.20 0.87 [11.35，11.45） 7 0.07 0.94 [11.45，11.55） 4 0.04 0.98 [11.55，11.65）
2 0.02 1.00 合计
100
1.00
3分 （2）
分
（3）由上述图表可知数据落在[)10.95,11.35范围内的频率为：
0.870.120.7575%
-==，即数据落在[)10.95,11.35范围内的可能性是
75%。

10分
频率/组1 2
3
产品质
（4）数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，也就是数据在
11.20
处的累积频率。

设为x ，则：
()()()()0.4111.2011.150.670.4111.2511.15x -÷-=-÷-，
所以0.410.130.54x x -=⇒=，从而估计数据小于11.20的可能性是54%。

14分
17.解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1-x-y ， 1分
则基本事件组所对应的几何区域可表示为
{(,)01,01,01}x y x y x y Ω=<<<<<+<，即图中黄色区域，此区域面积
为12
4分
事件“三段的长度都不超过12
”所对应的几何区域可表示为
111
{(,)(,),,,1}222x y x y x y x y ∈Ω<<--<，即图中最中间三角形区域，
此区域面积：为2111
()228
⨯=
10分
此时事件“三段的长度都不超过12
的概率为1
1
8142
P ==
12分
18. （1）①2224
1118
()()33381
C ⨯⨯⨯=
②随机变量ξ的取值为0，1，2，3，ξ的分布列是：
ξ
1
2
3
P
32243
80243
80243
1781
3280801713101232432432438181
E ξ∴=
⨯+⨯+⨯+⨯=
8分
（2）设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球
zxxk
由1
23325
m mp
m m +=
+，得13
30
p =
14分
19. 解 （1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参
加班级工作的学生的概率是P 1=5024=2512
，又因为不太主动 参加
班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2=50
19
.
8分
（2）由2χ统计量的计算公式得2χ=25
252624)761918(502
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈11.538，由于
11.538＞10.828，所以可以有99.9%的把握认为“学生的学习积极
性
与
对
待
班
级
工
作
的
态
度
有
关
系”.………………………………………….14分
20.（Ⅰ）由题设，得02
111C C 2C 4
2
n n n +⨯=⨯⨯， (3)
分
即
2980
n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍
去）．…………………… 5分
（Ⅱ）设第
r ＋1的系数最大，则
1881
188111C C 2211C C .22
r
r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩≥，≥…………………………7分
即
1
182(1)11.291
r r r ⎧⎪-+⎪⎨
⎪⎪-⎩≥，≥解得r ＝2或r ＝
3． ………………………11分
所
以系数最大的项为
5
37T x =，
7
2
47T x
=．………………………14分
附加题: 解:（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任取两个，有25
n C +种方法。

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有11
5n C C 种，
一次摸奖中奖的概率为()()
11
5251054n n C C n p C n n +==
++． (5)
分
（Ⅱ）设每次摸奖中奖的概率为p ，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：
()()2
1
323311363m P C p p p p p
==⋅⋅-=-+（ ）
01p <<． ……… 6分
m 对p 的导数()()291233131m p p p p '=-+=--
因而
m
在
10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上为增函数，
m
在
1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函
数。

………8分
∴当13
p =，即
()()101543
n n n =++，20n =时，4
9max m =
． ………
10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故ξ的分布列是：
ξ
1 2 3
P
12 120 110 320
……12分
111313
01234220102052
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．zxxk (14)
分
2
2
2
2
2
3131313331110123422220210220254D ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
……..15分。