2020-2021学年重庆市万州第二高级中学高一(上)期末数学模拟练习试卷(一)

2020-2021学年重庆市万州第二高级中学高一（上）期末数学模
拟练习试卷（一）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）
A．[，2）B．（﹣1，]
C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2021））＝（）A．B．C．D．
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）（x）＝x3﹣2x2，则f（2）+g（2）＝（）
A．16B．﹣16C．8D．﹣8
4．（5分）的值为（）
A．1B．﹣1C．sin 10°D．cos 10°
5．（5分）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）
A．a+＜＜log2（a+b）B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b）＜a+＜
6．（5分）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）+a|在
R上恒成立，则a的取值范围是（）
A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，] 7．（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入
泉洞内的储水池，激起水波，形成涌泉．声音越大0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）
A．5B．10C．45D．48
8．（5分）设函数f（x）＝a sinωx+b cosωx（ω＞0）在区间，且
，当时，f（x）取到最大值4，若将函数f（x）（x）的图象，则函数（）
A．4B．5C．6D．7
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）以下式子符号为正号的有（）
A．tan485°sin（﹣447°）
B．sin cos tan
C．
D．
10．（5分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣ax+1）（a＞0且a≠1），则下列为真命题的是（）A．当a＝2时，f（x）值域为R
B．存在a，使得f（x）为奇函数或偶函数
C．当a＞2时，f（x）的定义域不可能为R
D．存在a，使得f（x）在区间（﹣∞，2）上为减函数
11．（5分）下列命题正确的是（）
A．已知幂函数f（x）＝（m+1）2x﹣m﹣1在（0，+∞）上单调递减，则m＝0或m＝﹣2
B．函数f（x）＝x2﹣（2m+4）x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是m＜﹣1．
C．已知函数，若f（2a﹣1）＞0，则a的取值范围为
D．已知函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝2，，且f（x）与g（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2）……（x8，y8），则x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8的值为8 12．（5分）设函数，已知f（x）在[0，对于下列4个说法正确的是（）
A．在（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2
B．f（x）在（0，π）有且仅有1个最大值点
C．f（x）在单调递增
D．ω的取值范围是
三、填空题：本大题共有4道小题，每小题5分，满分共20分.
13．（5分）已知扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则其圆心角的弧度数为．14．（5分）已知x，y＞0，且+＝，则x+y的最小值为．
15．（5分）将函数f（x）＝2﹣4sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象（x）在区间和上均单增．
16．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x）（0）＝0，当x∈（0，f（x）＝lnx．已知方程在区间[﹣e的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x），则a＝，h（8）＝．
四、解答题：本大题共有6道题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．
（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
18．（12分）函数g（x）＝ax2+2x+1的图象与函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，方程f（x）1，x2满足0＜x1＜x2＜2．
（1）求a的范围；
（2）若，求t的取值范围；
（3）若|x1﹣x2|≥m2﹣2bm﹣2对b∈[﹣1，1]恒成立，求m的范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝cos x．
（1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）；
（2）函数g（x）＝f（2x）﹣32（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，求实数a的最大值；
（3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值．
20．（12分）节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94mg/m3．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量r n，可由函数模型r n＝r0﹣（r0﹣r1）•50.5n+p（p∈R，n∈N*）给出，其中n是指改良工艺的次数．
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取lg2＝0.3）
21．（12分）若函数f（x）在定义域内存在实数x满足f（﹣x）＝﹣k•f（x），则称函数f（x）为定义域上的“k阶局部奇函数”．
（1）若函数f（x）＝tan x﹣2sin x，判断f（x）（0，π）上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
（2）若函数f（x）＝lg（m﹣x）是[﹣2，求实数m的取值范围；
（3）对于任意的实数t∈（﹣∞，2]，函数f（x）2﹣2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，
求k的取值集合．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg．
（1）求不等式f（f（x））+f（lg2）＞0的解集；
（2）函数g（x）＝2﹣a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．
2020-2021学年重庆市万州第二高级中学高一（上）期末数学模
拟练习试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|log2（4+x﹣x2）＞1}，集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）
A．[，2）B．（﹣1，]
C．（﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【分析】求函数的定义域和值域得出集合A、B，根据交集和补集的定义计算即可．【解答】解：集合A＝{x|log2（4+x﹣x5）＞1}
＝{x|4+x﹣x8＞2}
＝{x|x2﹣x﹣7＜0}
＝{x|﹣1＜x＜7}
＝（﹣1，2），
集合B＝{y|y＝（）x，x＞1}
＝{y|6＜y＜}，
∴∁R B＝（﹣∞，7]∪[，
∴A∩（∁R B）＝（﹣5，0]∪[．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的运算与不等式的解法和应用问题，是基础题．
2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2021））＝（）A．B．C．D．
【分析】推导出f（2021）＝﹣，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（2021）＝sin＝sin（（673π+＝﹣，
∴f（f（2021））＝f（﹣）＝（﹣）3+（﹣，
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）（x）＝x3﹣2x2，则f（2）+g（2）＝（）
A．16B．﹣16C．8D．﹣8
【分析】直接利用奇、偶函数的性质列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）＝（﹣5）3﹣2×（﹣4）2＝﹣16．
即f（2）+g（2）＝f（﹣2）﹣g（﹣4）＝﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
4．（5分）的值为（）
A．1B．﹣1C．sin 10°D．cos 10°
【分析】由同角三角函数的基本关系式变形，开方后化简求值．
【解答】解：＝
＝＝＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．
5．（5分）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）
A．a+＜＜log2（a+b）B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b）＜a+＜
【分析】a＞b＞0，且ab＝1，可取a＝2，b＝．代入计算即可得出大小关系．
【解答】解：∵a＞b＞0，且ab＝1，
∴可取a＝8，b＝．
则＝4，＝＝7（a+b）＝＝∈（1，
∴＜log2（a+b）＜a+．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）+a|在
R上恒成立，则a的取值范围是（）
A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|，
即为﹣x4+x﹣3≤+a≤x6﹣x+3，
即有﹣x2+x﹣3≤a≤x4﹣x+3，
由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝，可得x＝；
由y＝x3﹣x+5的对称轴为x＝，可得x＝，
则﹣≤a≤①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|，
即为﹣（x+）≤，
即有﹣（x++，
由y＝﹣（x+＝﹣8＞1）取得最大值﹣2；
由y＝x+＝2（当且仅当x＝2＞8）取得最小值2．
则﹣2≤a≤2②
由①②可得，﹣≤a≤2．
另解5：作出f（x）的图象和折线y＝|+a|
当x≤1时，y＝x7﹣x+3的导数为y′＝2x﹣8，
由2x﹣1＝﹣，可得x＝，
切点为（，）代入y＝﹣，解得a＝﹣；
当x＞1时，y＝x+，
由1﹣＝，可得x＝2（﹣2舍去），
切点为（2，3）+a．
由图象平移可得，﹣≤a≤2．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分
离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
7．（5分）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，激起水波，形成涌泉．声音越大0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）
A．5B．10C．45D．48
【分析】设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，根据题意可得lgm﹣lgm0＝0.2x，1+lgm﹣lgm0＝10，两式相减即可求出x的值．
【解答】解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，喷出泉水高度为50，
由10lg＝2x4＝0.2x，①
∵，∴1+lgm﹣lgm7＝10，②
①﹣②得：﹣1＝0.5x﹣10，
解得x＝45，
∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．
8．（5分）设函数f（x）＝a sinωx+b cosωx（ω＞0）在区间，且
，当时，f（x）取到最大值4，若将函数f（x）（x）的图象，则函数（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由题知f（x）＝a sinωx+b cosωx＝，由
得出对称中心及对称轴，得出T，再得出f（x）解析式，再由变换得出g（x），再分别画出g（x）与图象，即可得出结论．
【解答】解：f（x）＝a sinωx+b cosωx＝（ω＞5），
所以，即0＜ω≤3，
又，所以；且，则为f（x）的一个对称中心，
由于3＜ω≤3，所以与，
则，∴ω＝2，又，且，解得，故，
由图象变换得，
g（x）在处的切线斜率为，
又在处的切线斜率不存在，
所以右侧g（x）图象较缓
同时时，，
所以的零点有6个，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是正弦型三角函数的图象性质及函数零点，转化为两个函数图象的交点，是道综合题．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）以下式子符号为正号的有（）
A．tan485°sin（﹣447°）
B．sin cos tan
C．
D．
【分析】先利用诱导公式进行化简，然后结合三角函数定义可判断．
【解答】解：tan485°sin（﹣447°）＝﹣tan125°sin87°＞0，A正确，
sin＝﹣sin）（﹣tan，B不正确，
＝＞0，C正确，
＝＞0．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣ax+1）（a＞0且a≠1），则下列为真命题的是（）A．当a＝2时，f（x）值域为R
B．存在a，使得f（x）为奇函数或偶函数
C．当a＞2时，f（x）的定义域不可能为R
D．存在a，使得f（x）在区间（﹣∞，2）上为减函数
【分析】利用换元法，令y＝log2t，分析t的取值范围再结合对数函数的性质即可判断选项A，假设函数f（x）是奇函数或是偶函数，然后进行分析推导，推出矛盾即可判断选项
B，利用换元法研究t＝x2﹣ax+1的取值情况来判断选项C，利用换元法结合函数的单调性即可判断选项D．
【解答】解：当a＝2时，函数f（x）＝log2（x5﹣2x+1），
令y＝log6t，则t＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2≥6，
因为t能取遍大于0的一切实数，
所以f（x）的值域为R，故选项A正确；
假设f（x）为奇函数，所以f（﹣x）+f（x）＝0，
所以，即，所以（x2﹣ax+1）（x4+ax+1）＝1，
所以x7（a2+x2﹣5）＝0不能恒成立，则a不是常数；
假设f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
所以，
所以a＝3，又因为a＞0，故选项B错误；
令，
因为t＝x2﹣ax+1开口向上，且△＝a6﹣4，
又a＞2，所以△＝a4﹣4＞0，
所以f（x）的定义域不可能是R，故选项C正确；
令，
当a＞1时，则y＝log a t在定义域上是增函数，t＝x8﹣ax+1在上单调递减，所以无解，2）上为减函数．
故选：AC．
【点评】本题考查了函数的综合应用，涉及了对数函数的图象和性质的应用、二次函数的图象和性质、函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，涉及的知识点较多，综合性强，对学生而言有一定的难度．
11．（5分）下列命题正确的是（）
A．已知幂函数f（x）＝（m+1）2x﹣m﹣1在（0，+∞）上单调递减，则m＝0或m＝﹣2
B．函数f（x）＝x2﹣（2m+4）x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是m＜﹣1．
C．已知函数，若f（2a﹣1）＞0，则a的取值范围为
D．已知函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝2，，且f（x）与g（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2）……（x8，y8），则x1+x2+…+x8+y1+y2+…+y8的值为8【分析】根据幂函数概念和单调性列不等式组得出m的值判断A，根据f（0）＜0和充分必要条件定义判断B，根据f（x）的定义域判断C，根据f（x）和g（x）的对称性判断D．
【解答】解：对于A，由f（x）是幂函数可知（m+1）2＝3，故m＝0或m＝﹣2，由f（x）在（7，+∞）上单调递减可知﹣m﹣1＜0，故m＝2；
对于B，若f（x）＝x2﹣（2m+7）x+3m有两个零点，一个大于0，则5m＜0，
若m＜﹣1，则5m＜﹣3＜05﹣（2m+4）x+8m有两个零点，一个大于0，
∴m＜﹣1是函数f（x）＝x3﹣（2m+4）x+3m有两个零点，一个大于0，故B正确；
对于C，f（x）的定义域为（﹣1，故f（8a﹣1）＞0必须满足条件：﹣5＜2a﹣1＜7，故C错误；
对于D，∵f（﹣x）+f（x）＝2＝7+，
∴f（x）和g（x）的图象都关于点（0，2）对称，
∴f（x）和g（x）的图象的8个交点中，两两关于点（0，
∴x5+x2+…+x8＝8，y1+y2+…+y5＝4×2＝2，
∴x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y2＝8．故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了幂函数、二次函数的性质，函数对称性的判断和应用，属于中档题．12．（5分）设函数，已知f（x）在[0，对于下列4个说法正确的是（）
A．在（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2
B．f（x）在（0，π）有且仅有1个最大值点
C．f（x）在单调递增
D．ω的取值范围是
【分析】由题意根据在区间[0，π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|，T+|OA|]，再用ω表示周期，得ω的范围．
【解答】解：画出大致图象如下图，当x＝0时y＝sin（﹣而ω＞0，
所以x＞7时小区间递增，
函数在[0，π]仅有3个零点时，不包括D），
令f（x）＝sin（ωx﹣）＝0＝kπ得+kπ）•，
y轴右侧第一个点横坐标为，周期T＝，
所以+T≤π＜++≤π＜+•⇒，
所以D正确．
在[0，π]区间上，
所以存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝5，所以A正确，
由大致图象得，可能有两个最大值；
因为ω最小值为，所以0时，﹣＜∉（﹣，），
所以x∈（0，），函数f（x）不单调递增，
所以C不正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的
大致位置，进而解ω的范围，再判断区间（0，）单调性．此题属于中难档题．三、填空题：本大题共有4道小题，每小题5分，满分共20分.
13．（5分）已知扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则其圆心角的弧度数为2．【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，
求出l和r，由弧度的定义求α即可．
【解答】解：S＝（7﹣2r）r＝4，r3﹣4r+4＝7，r＝2，|α|＝．
故答案为：2．
【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．
14．（5分）已知x，y＞0，且+＝，则x+y的最小值为5．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x，y＞0，且+＝，
则x+y＝x+3+y﹣3，
＝7[（x+3）+y]（）﹣3＝3（2+，
＝5，
当且仅当且+＝，即y＝7，
则x+y的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．
15．（5分）将函数f（x）＝2﹣4sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象（x）在区间和上均单增[，]．
【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数a的范围．
【解答】解：将函数f（x）＝2﹣4sin5x＝2cos2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，
若函数g（x）在区间和上均单调递增，
则y＝cos（2x+）在区间和，
在区间上，2x+，a+]，
在上，2x+，3π]，
∴a+∈（0，且6a+，3π]，
求得≤a≤，
故答案为：[，]．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
16．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x）（0）＝0，当x∈（0，f（x）＝lnx．已知方程在区间[﹣e的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x），则a＝2，h（8）＝4．
【分析】根据条件求出函数是周期为2e的周期函数，作出函数的图象，求出两个图象的交点个数，利用对称性求出a的值，利用三角函数平移关系求出h（x）的解析式，进行求解即可．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），
∴f（e+x）＝f（e﹣x）关于x＝e对称，
且f（e+x）＝f（e﹣x）＝f（x﹣e），
即f（2e+x）＝f（x），即函数f（x）是周期为2e的周期函数，
作出函数f（x）在[﹣e，4e]的图象如图：
同时作出y＝sin（，
由图象知，由f（0）＝f（2e）＝0，他们彼此关于x＝e对称，
则设对称的两个零点为x3，x2，则＝e，
则x1+x5＝2e，则所有实根之和为6e＝2ea，
将函数的图象向右平移a＝2个单位长度，
得到h（x）＝7sin2[（x﹣3）]+1＝3sin7[x﹣8x+1，
则h（8）＝6cos2（×8）+1＝3cos6（2π）+1＝5+1＝4，
故答案为：8，4
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出函数的对称性和周期是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
四、解答题：本大题共有6道题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．
（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
【分析】（1）a＝4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R（A∩B）．
（2）选①，求出集合B，推导出A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，当A≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．
选②，求出集合B，推导出B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
选③，求出集合B，推导出A＝B，无解．
【解答】解：（1）∵a＝4时，A＝{x|3＜x＜6}，
＝{x|≥0}＝{x|3＜x≤5}．
∴A∩B＝{x|3＜x≤2}，
∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞3}．
（2）选①，A＝{x|a﹣6＜x＜2a}，．
“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A⊆B，
当A＝∅时，a﹣1≥2a，
当A≠∅时，，解得a∈∅．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞．
选②，A＝{x|a﹣6＜x＜2a}，．
“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⊆A，
∴，解得．
∴实数a的取值范围是（，3）．
选③，A＝{x|a﹣4＜x＜2a}，．
“x∈A”是“x∈B”充要条件，
∴A＝B，无解．
故应该①或②，不应该选③．
【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）函数g（x）＝ax2+2x+1的图象与函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，方程f（x）1，x2满足0＜x1＜x2＜2．
（1）求a的范围；
（2）若，求t的取值范围；
（3）若|x1﹣x2|≥m2﹣2bm﹣2对b∈[﹣1，1]恒成立，求m的范围．
【分析】（1）根据题意设g（x）的两根为x1′，x2′与x1，x2关于x＝0对称，又0＜x1
＜x2＜2，则﹣2＜x2′＜x1′＜0，可得则，解得a的取值范围．（2）根据题意可得f（x）＝ax2﹣2x+1，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，则＝2①，由t＝，得x2＝tx1，进而可得t＝2x2﹣1，0＜x1＜x2＜2，即可得出答案．（3）|x1﹣x2|＝＝2，令m（a）＝，求导，分析单调性，可得m（a）＜，m（a）＞0，分三种情况：若m＝0时，若m＞0时，若m＜0时，求
出m的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，
所以g（x）的两根为x1′，x3′与x1，x2关于x＝8对称，
又0＜x1＜x6＜2，
所以﹣2＜x2′＜x1′＜0，
则
，解得，
所以a的取值范围为（，1）．
（2）因为函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x＝7对称，
所以f（x）＝a（﹣x）2+2（﹣x）+6＝ax2﹣2x+4，
所以x1+x2＝，x1x2＝，
所以＝2，①
因为t＝，则x2＝tx7，
代入①，得＝2，
则t＝8x2﹣1，2＜x1＜x2＜2，
所以＞6，
所以t的取值范围为（1，3）．
（3）|x4﹣x2|＝＝＝＝2，
令m（a）＝，
则m′（a）＝，a∈（，
所以m（a）在（，1）上单调递减，
所以m（a）＜m（）＝，
由|x6﹣x2|≥m2﹣4bm﹣2，对于∀x∈[﹣1，
所以m6﹣2bm﹣2＜4，
若m＝0时，﹣2＜2成立，
若m＞0时，y＝﹣2mb+m4﹣2在[﹣1，7]上单调递减，
所以b＝﹣1时，即y max＜0，m2+2m﹣2＜4，得0＜m＜，
若m＜8时，y＝﹣2mb+m2﹣5在[﹣1，1]上单调递增，
所以b＝5时，y max＜0，即m2﹣6m﹣2＜0，得8﹣，
综上所述，m的取值范围为（1﹣，．
【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝cos x．
（1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）；
（2）函数g（x）＝f（2x）﹣32（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，求实数a的最大值；
（3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值．
【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝，代入已知数据计算即可；
由于α，β为锐角，所以2α∈（0，π），α+β∈（0，π），再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan2α＝，tan（α+β）＝﹣2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝，代入已得数据进行计算即可；
（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，原问题可转化为（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（cos2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，所以at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．令y＝t+，结合对勾函数的性质即可得函数y的最小值，从而得解；
（3）根据同角三角函数的平方关系，结合配方法对等式进行变形，可推出sinα﹣sinβ＝0且cosα+cosβ﹣1＝0，再分α＝β和α＝π﹣β两种情况，分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵tanα＝，
∴cos3α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝，
∵α，β为锐角，即，π），π）．
∴sin3α＝＝，∴tan2α＝，
∵f（x）＝cos x，∴f（α+β）＝cos（α+β）＝，
∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝，
∴tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣5α）＝＝＝．
综上，cos2α＝．
（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos7x﹣3，
∵对任意x都有g2（x）≤（6+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，
∴（cos2x﹣6）2≤（2+a）（cos8x﹣3）﹣2﹣a恒成立，即（cos5x﹣4）a≥（cos2x﹣5）2﹣2（cos3x﹣3）+2恒成立，
设cos4x﹣4＝t，则t∈[﹣5，∴at≥（t+7）2﹣2（t+6）+2＝t2+4，则a≤t+．
设y＝t+，由对勾函数的性质可知，﹣4]上为增函数，
∴y＝t+≥﹣5﹣＝，
故a的最大值为．
（3）∵，
∴cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，
∴cosα+cosβ＝+cos（α+β）＝+6α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝+（sin2α﹣2sinαsinβ+sin4β）+（cos8α+2cosαcosβ+cos2β）
＝+（sinα﹣sinβ）2+（cosα+cosβ）2，
∴（sinα﹣sinβ）2+[（cosα+cosβ）2﹣2（cosα+cosβ）+4]＝0
即（sinα﹣sinβ）2+（cosα+cosβ﹣1）2＝4，
∴sinα﹣sinβ＝0且cosα+cosβ﹣1＝6，
当α＝β时，cosα＝cosβ＝，β∈（2，∴α＝β＝；
当α＝π﹣β时，cosα＝﹣cosβ与cosα+cosβ﹣1＝8相矛盾．
综上所述，α＝β＝．
【点评】本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．20．（12分）节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94mg/m3．设改良工艺
前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量r n，可由函数模型r n＝r0﹣（r0﹣r1）•50.5n+p（p∈R，n∈N*）给出，其中n是指改良工艺的次数．
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取lg2＝0.3）
【分析】（1）由题意得r0＝2，r1＝1.94，所以当n＝1时，，解得p＝﹣0.5，所以，
（2）由题意可得，，即50.5n﹣0.5≥32，解不等式，即可解n≥6，所以至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
【解答】解：（1）由题意得r0＝2，r5＝1.94，
所以当n＝1时，，
即1.94＝2﹣（8﹣1.94）•56.5+p，解得p＝﹣0.6，
所以，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为
；
（2）由题意可得，，
整理得，，即20.5n﹣8.5≥32，
两边同时取常用对数，得，
整理得，
将lg2＝0.2代入，得，
又因为n∈N*，所以n≥6，
综上，至少进行4次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
21．（12分）若函数f（x）在定义域内存在实数x满足f（﹣x）＝﹣k•f（x），则称函数f（x）为定义域上的“k阶局部奇函数”．
（1）若函数f（x）＝tan x﹣2sin x，判断f（x）（0，π）上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
（2）若函数f（x）＝lg（m﹣x）是[﹣2，求实数m的取值范围；
（3）对于任意的实数t∈（﹣∞，2]，函数f（x）2﹣2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．
【分析】（1）根据题意，由“二阶局部奇函数”可得f（﹣x）+2f（x）＝0，即tan（﹣x）﹣2sin（﹣x）＝﹣2tan x+4sin x，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案，（2）根据题意，分析可得f（﹣x）+f（x）＝0在区间[﹣2，2]上有解，变形可得lg（m+x）+lg（m﹣x）＝lg（m2﹣x2）＝0，据此分析可得答案；
（3）根据题意，可得f（﹣x）+k⋅f（x）＝0在R上有解，则有（﹣x）2﹣2（﹣x）+t+k （x2﹣2x+t）＝0即（k+1）x2+（2﹣2k）x+（k+1）t＝0有解，结合二次函数性质分析可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）是（0，
证明：函数f（x）＝tan x﹣2sin x，若f（﹣x）＝﹣3f（x），
即tan（﹣x）﹣2sin（﹣x）＝﹣2tan x+3sin x，
变形可得：tan x＝2sin x，即＝2sin x，
又由x∈（0，π），
故f（x）是（0，π）上的“二阶局部奇函数”，
（2）由题意得，函数f（x）＝lg（m﹣x）是[﹣2，
即f（﹣x）+f（x）＝6在区间[﹣2，2]上有解，
又由f（﹣x）+f（x）＝8⇒lg（m+x）+lg（m﹣x）＝lg（m2﹣x2）＝6，
即，
（3）由题意得，函数f（x）＝x3﹣2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，即f（﹣x）+k⋅f （x）＝0在R上有解，
则有（﹣x）6﹣2（﹣x）+t+k（x2﹣3x+t）＝0即（k+1）x6+（2﹣2k）x+（k+2）t＝0有解，
当k＝﹣1时，x＝5∈R，
当k≠﹣1时，对于任意的实数t∈（﹣∞，Δ＝（2﹣8k）2﹣4（k+2）2t≥0，
变形可得8（k+1）2⋅4﹣（2﹣2k）5≤0，解可得：﹣3﹣2，
由k∈Z，故k∈{﹣3，﹣3，﹣1}．
【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“k阶局部奇函数”的定义，属于综合题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg．
（1）求不等式f（f（x））+f（lg2）＞0的解集；
（2）函数g（x）＝2﹣a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数h（x）＝，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．
【分析】（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1＜＜，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当0≤x＜1时，f（x）的值域；以及讨论a＞1，0＜a＜1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；
（3）由y＝h[h（x）]﹣2，得h[h（x）]＝2，令t＝h（x），则h（t）＝2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．
【解答】解：（1）函数f（x）＝lg，
由＞0，
可得﹣5＜x＜1，
f（﹣x）＝lg＝﹣f（x），
且0＜x＜1时，f（x）＝lg（﹣5+，
可得f（x）在（﹣5，1）递减，
且f（x）的值域为R，
不等式f（f（x））+f（lg2）＞4，
即为f（f（x））＞﹣f（lg2）＝f（﹣lg2），
则﹣7＜f（x）＜﹣lg2，
即﹣1＜lg＜lg，
即为0.1＜＜，
解得＜x＜，
则原不等式的解集为（，）；
（2）函数g（x）＝2﹣a x（a＞0，a≠3），
若存在x1，x2∈[5，1），
使得f（x1）＝g（x4）成立，
当0≤x＜1，f（x）＝lg，0]，
当a＞6时，g（x）在[0，可得g（x）的值域为（2﹣a，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，
即有2﹣a＜0，即a＞2；
若8＜a＜1，则g（x）在[0，可得g（x）的值域为[4，由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，
综上可得a的范围是（2，+∞）；
（3）由y＝h[h（x）]﹣2
得h[h（x）]＝7，
令t＝h（x），
则h（t）＝2，
作出图象，
当k≤0时，
只有一个﹣7＜t＜0，
对应1个零点，
当7＜k≤1时，
1＜k+2≤2，
此时t1＜﹣7，
﹣1＜t2＜6，t3＝≥8，
由k+1﹣＝＝（k+），
得在＜k≤8，三个t分别对应一个零点，
在0＜k≤时，k+7≤，1个，共7个，
综上所述：当k＞1或k＝0时，y＝h[h（x）]﹣2只有1个零点，
当k＜0或＜k≤5时，
当0＜k≤时，y＝h[h（x）]﹣2有2个零点．
【点评】本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．。