误差理论与测量平差习题
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31
−1 1 2
试求函数方差1 ，2 和相互协方差1 2 。
解：1 =421 +322
2 =18
1 2 =72 - 1
3.2.14 已知边长 S 及坐标方位角 α 的中误差各位 和 ，试求坐标增量 ΔX=S·cosα 和 ΔY=S·sinα 的
中误差。
2
解： =√cos 2 2 + ()2 2 ∕
3.2.10 设有观测值向量 = [1
31
4
=[0
0
试分别求下列函数的方差：
（1）1 =1 -33 ；
（2）2 =32 3 。
解：1 =22
2 =1822 +2723
2 3 ]T，其协方差阵为
0 0
3 0]，
0 2
6 −1 −2
3.2.11 设有观测值向量 = [1 2 3 ] ,其协方差阵为 =[−1 4
误差理论与测量平差习题
第一章
绪论
1.1.04 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定
（1）误差的性质及符号：
（2）长不准确；
（3）尺尺不水平；
（4）估读小数不准确；
（5）尺垂曲；
（6）尺端偏离直线方向。
1.1.05 在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的
̂2 =2.4
̂1 =2.7
̂2 =3.6
两组观测值的平均误差相同，而中误差不同。由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差作
为衡量精度的指标。本题中，̂1 <̂2 ,因此，第一组观测值的精度高。
2.6.18 设有观测值向量 = [1
21
4 −2
2
解： =(
)(秒 )
22
−2 9
45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”
44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”
设α 没有误差，试求观测值的中误差。
解：̂=3.62”
2.3.09 有一段距离，其观测值及其中误差为 345.675m±15mm。试估计这个观测值的真误差的实际可能范围
解：
3.2.17 在图 3-1 的 ΔABC 中,由直接观测得 b=106.00m±0.06m，β= 29°39'
土 1'和 γ=120°07'±2'，试计算边长 c 及其中误差
解：c=185.346（m）
=0.154（m）
3.2.18 在图 3-2 的 ΔABC 中测得∠A± ,边长 b± ，a± ,试求三角形面
3.4.38 设一长度为 d 的直线之丈量结果的权为 1，求长为 D 的直线之丈量结果的权。
解： =
3.4.39 在图 3-10 中，设巳知点 A，B 之间的附合水准路线长为
80km,令每千米观测髙差的权等于 1，求平差后线路中点
（最弱点）C 点高程的权及该点平差前的权。
1
1
解： （平差前）= 40
是多少？并求出该观测值的相对中误差。
解：真误差可能出现的范围是|Δ|<45mm，或写为-45mm<Δ<45mm
1
中误差：23045
2.3.10 已知两段距离的长度及其中误差分别为 300.465m±4.5cm 及 660.894m±4.5cm，试说明这两段距离
的真误差是否相等？它们的精度是否相等？
解：它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者。
试问：（1）单位权观测值是什么？
（2）单位权中误差等于多少？
（3）欲使∠A 的权等于 6，应观测几次？
解：（1）观测∠A 两次得算术平均值
（2）0 =1.70″
（3）N=12 次
3.4.42 设对 A 角观测 4 次，取平均得α值，每次观测中误差为 3″。对 B 角观测 9 次，取平均得β值，每
次观测中误差为 4″。试确定α、β的权各是多少？
（平差后）= 20
3.4.40 以相同精度观测∠A 和∠B,其权分别为 =
中误差 。
解：0 =5.66″
=11.31″
1
4
, =
1
2
，已知 = 8"试求单位权中误差0 和∠A 的
3.4.41 设对∠A 进行 4 欢同精度独立观测，一次观测中误差为 2.4″，已知 4 次算数平均值的权为 2。
3
解：（1） =√2σ
√21 22 +21 23 +22 23
（2） =
23
3.2.08 已知观测值1 、2 的中误差1 =2 =σ, 12 =0，设 X=21 +5,Y =1 -22 ,Z=1 2 ,t=X+Y,试求 X,Y,Z 和
t 的中误差。
解： =2σ
解：再增加 5 个测回。
3,3.29 在图 3-8 的梯形稻田中，测量得上底边长为 a=50.746m,下底边长
为 b=86.767m,高 h=67.420m，其中误差分别为 =0.030m， =0.040m，
ℎ =0.034m,试求该梯形的面积 S 及其中误差 。
解：S=4635.563（m2） =2.88（m2）
性质及符号：
（1）视准轴与水准轴不平行；
（2）仪器下沉；
（3）读数不准确；
（4）水准尺下沆。
第二章
误差分析与精度指标
2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作 12 次观测，结果为：
45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”
1
解： =
=B 或 =
= 或 =A
3 0 −1
3.2.13 设有观测值向量 = [1 2 3 ] ,其协方差阵为 =[ 0 4 1 ]，现有函数1 =1 2 ，2 =21 -3 ，
30°41'26"±4.0"
30°41'16"±1.0"
现分别取 2.0"、4. 0〃及 1.0"作为单位权中误差。试按权的定义计算出三组不同的观测值的
权，再按各组权分别计算这个角的加权平均值̂及其中误差 。
解：
按各组权分别计算得̂=30°41′17.2″
=0.87″
3.4.36 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点 A,B,C 之间的髙差，设该三角形边长分别为3 =10km，
解：16km
3.3.27 在图 3-7 中，由已知点 A 丈量距离 S 并测量坐标方位角 α，借以计算 P
点的坐标。观测值及其中误差为 S = 127.00mm±0.03m,α=30°00'±2.5'，设
A 点坐标无误差，试求待定点 P 的点位中误差 。
解： =0.097（m）
3.3.28 有一角度测 4 测回，得中误差 0.42'问再增加多少测回其中误差为 0.28"？
3.3.30 设图 3-9 的△ABC 为等边三角形，观测边长和角度得观测值
为 b± =1000m±0.015m,α=β=60°00'00"，且为使算得的边长 a
具有中误差 =0.02m，试问角 α 和 β 的观測精度应为多少？
解： = =3.34（秒）
3.4.35 设某角的三个观测值及其中误差分别为 30°41'20"±2.0"
4 −2 0
3 ]T 的协方差阵 =[−2 9 −3]，试写出观测值1 、2 及3 的中
33
0 −3 16
第三章
协方差传播率及权
3.2.07 下列各式中的 (i = l，2，3)均为等精度独立观测值，其中误差为 σ,试求 X 的中误差：
（1）X=1/2(1 +2 )+ 3
（2）X=1 2 /3
3.2.20 为了确定图 3-4 中测站 A 上 B、C、D 方向间的关系，同精度观测了三个角，其值为1 =45°02'，
2 =85°00′，3 =40°01'。设测角中误差 σ=1"，试求：
(1)观测角平差值的协方差阵；
(2)观测角平差值̂1 关于̂3 的协方差。
解：
3.3.24 在巳知水准点 A、B(其髙程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长 为1 =2km, 2 =6km, 3 =4km,
设每千米观测高差中误差 a = 1.0mm,试
（1）将闭合差按距离分配之后1 , 2 两点间高差的中误差；
（2）分配闭合差后1 点高程的中误差。
解：（1）ℎ2 =1.73（mm）
（2）1 =1.29（mm）
3.3.25 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为 1cm，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大
积的中误差 。
1
2
解： =2 √2 2 2 2 ⁄( ) + 2 2 2 + 2 2 2
3.2.19 由已知点 A(无误差）引出支点 P,如图 3-3 所示。 为起算方位角，
其中0 ,观测角 β 和边长 S 的中误差分别为 和 ，试求 P 点坐标 X，Y 的协方差阵。
2 =8km, 3 =4km,令 40km 的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
解：1 = 4.0 2 = 5.0 3 = 10.0 0 = √40σ（km）
3.4.37 设 n 个同精度观测值的权为 P，其算术平均值的权为̅，问 P 与̅的关系如何？
解：̅= np
[解] 令 ′ =1，则由定权公式 = ′ 得
=4， =9
试问这样定权对吗？为什么？
解：不对。因为 A 角和 B 角每次观测的精度不同，故不能用 = ′ 这一公式定权。
=√sin2 2 + ()2 2 ∕
2
3.2.15 已知观测值向量
1 1
1，
2 1
11
及其协方差阵为[
21
3
3 1
31
2和
12
22
32
13
23 ]，
33
X = AL1 + A0
现组成函数{ = 2 + B0
= 3 + C0
1 ] ，试分别求下列函数的方差：
31
−2 1
2
(1) 1 =1 32 -23 ;
1
(2) 2 =21 +2 +23 。
解：（1）1 =40
−
1
−
1
1
（2）2 =2421 -41 -41 3 2 + 3 2 + 2 −1
3 +4
3.2.12 已知观测值向量 及其协方差阵 ，组成函数 X=AL,Y=BX,试求协方差阵 ， 和 。
=√5σ
=√21 + 22 σ
=√13σ
3.2.09 已知独立观測值1 、2 的中误差为1 和2 ,试求下列函数的中误差：
(1) X=1 -22 ;
1
(2) Y=2 21 +1 2 ;
1
(3) Z=sin(L
1 +L2 )
。
解： =
=
=
2 ]T，已知1 =2 秒，2 =3 秒，1 2 =-2 秒 2，试写出其协方差阵 。
2.6.19 设有观测值向量 = [1
2
31
误差以及协方差1 2 、1 3 和2 3 。
解：1 =2
2 =3
3 =4
1 2 =-2
1 3 =0
2 3 =-3
于 5cm,问可以设多少站？
解：最多可设 25 站。
3.3.26 若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线（图 3-6)，已知每千米观测中误差等于 5.0mm，欲使
平差后线路中点 C 点髙程中误差不大于 lOmm，问该线路长度最多
可达几千米？（提示：′ = +ℎ1 , ′′ =HB-h2， =(′ + ′′ )/2)
式中,A、B、C 为系数阵, 0 、0 、0 为常数阵。令 W=[X Y Z]T,试求协方差阵 。
解：
=
3．2.16 设有同精度独立观测值向量 =[1 2 3 ] 的函数为1 =
31
1
2
，2 = -2
式中， 和 为无误差的已知值，测角中误差 σ=1"，试求函数的方差21 ，22 及协方差1 2 。
2.6.17 社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为：
第一组：3，-3, 2, 4，-2，-1, 0，-4， 3，-2
第二组：0，-1，-7, 2, 1，-1, 8, 0，-3, 1
试求两组观测值的平均误差̂1 、̂2 和中误差̂1 、̂2 ，并比较两组观测值的精度。
解：̂1 =2.4
−1 1 2
试求函数方差1 ，2 和相互协方差1 2 。
解：1 =421 +322
2 =18
1 2 =72 - 1
3.2.14 已知边长 S 及坐标方位角 α 的中误差各位 和 ，试求坐标增量 ΔX=S·cosα 和 ΔY=S·sinα 的
中误差。
2
解： =√cos 2 2 + ()2 2 ∕
3.2.10 设有观测值向量 = [1
31
4
=[0
0
试分别求下列函数的方差：
（1）1 =1 -33 ；
（2）2 =32 3 。
解：1 =22
2 =1822 +2723
2 3 ]T，其协方差阵为
0 0
3 0]，
0 2
6 −1 −2
3.2.11 设有观测值向量 = [1 2 3 ] ,其协方差阵为 =[−1 4
误差理论与测量平差习题
第一章
绪论
1.1.04 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定
（1）误差的性质及符号：
（2）长不准确；
（3）尺尺不水平；
（4）估读小数不准确；
（5）尺垂曲；
（6）尺端偏离直线方向。
1.1.05 在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的
̂2 =2.4
̂1 =2.7
̂2 =3.6
两组观测值的平均误差相同，而中误差不同。由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差作
为衡量精度的指标。本题中，̂1 <̂2 ,因此，第一组观测值的精度高。
2.6.18 设有观测值向量 = [1
21
4 −2
2
解： =(
)(秒 )
22
−2 9
45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”
44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”
设α 没有误差，试求观测值的中误差。
解：̂=3.62”
2.3.09 有一段距离，其观测值及其中误差为 345.675m±15mm。试估计这个观测值的真误差的实际可能范围
解：
3.2.17 在图 3-1 的 ΔABC 中,由直接观测得 b=106.00m±0.06m，β= 29°39'
土 1'和 γ=120°07'±2'，试计算边长 c 及其中误差
解：c=185.346（m）
=0.154（m）
3.2.18 在图 3-2 的 ΔABC 中测得∠A± ,边长 b± ，a± ,试求三角形面
3.4.38 设一长度为 d 的直线之丈量结果的权为 1，求长为 D 的直线之丈量结果的权。
解： =
3.4.39 在图 3-10 中，设巳知点 A，B 之间的附合水准路线长为
80km,令每千米观测髙差的权等于 1，求平差后线路中点
（最弱点）C 点高程的权及该点平差前的权。
1
1
解： （平差前）= 40
是多少？并求出该观测值的相对中误差。
解：真误差可能出现的范围是|Δ|<45mm，或写为-45mm<Δ<45mm
1
中误差：23045
2.3.10 已知两段距离的长度及其中误差分别为 300.465m±4.5cm 及 660.894m±4.5cm，试说明这两段距离
的真误差是否相等？它们的精度是否相等？
解：它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者。
试问：（1）单位权观测值是什么？
（2）单位权中误差等于多少？
（3）欲使∠A 的权等于 6，应观测几次？
解：（1）观测∠A 两次得算术平均值
（2）0 =1.70″
（3）N=12 次
3.4.42 设对 A 角观测 4 次，取平均得α值，每次观测中误差为 3″。对 B 角观测 9 次，取平均得β值，每
次观测中误差为 4″。试确定α、β的权各是多少？
（平差后）= 20
3.4.40 以相同精度观测∠A 和∠B,其权分别为 =
中误差 。
解：0 =5.66″
=11.31″
1
4
, =
1
2
，已知 = 8"试求单位权中误差0 和∠A 的
3.4.41 设对∠A 进行 4 欢同精度独立观测，一次观测中误差为 2.4″，已知 4 次算数平均值的权为 2。
3
解：（1） =√2σ
√21 22 +21 23 +22 23
（2） =
23
3.2.08 已知观测值1 、2 的中误差1 =2 =σ, 12 =0，设 X=21 +5,Y =1 -22 ,Z=1 2 ,t=X+Y,试求 X,Y,Z 和
t 的中误差。
解： =2σ
解：再增加 5 个测回。
3,3.29 在图 3-8 的梯形稻田中，测量得上底边长为 a=50.746m,下底边长
为 b=86.767m,高 h=67.420m，其中误差分别为 =0.030m， =0.040m，
ℎ =0.034m,试求该梯形的面积 S 及其中误差 。
解：S=4635.563（m2） =2.88（m2）
性质及符号：
（1）视准轴与水准轴不平行；
（2）仪器下沉；
（3）读数不准确；
（4）水准尺下沆。
第二章
误差分析与精度指标
2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作 12 次观测，结果为：
45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”
1
解： =
=B 或 =
= 或 =A
3 0 −1
3.2.13 设有观测值向量 = [1 2 3 ] ,其协方差阵为 =[ 0 4 1 ]，现有函数1 =1 2 ，2 =21 -3 ，
30°41'26"±4.0"
30°41'16"±1.0"
现分别取 2.0"、4. 0〃及 1.0"作为单位权中误差。试按权的定义计算出三组不同的观测值的
权，再按各组权分别计算这个角的加权平均值̂及其中误差 。
解：
按各组权分别计算得̂=30°41′17.2″
=0.87″
3.4.36 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点 A,B,C 之间的髙差，设该三角形边长分别为3 =10km，
解：16km
3.3.27 在图 3-7 中，由已知点 A 丈量距离 S 并测量坐标方位角 α，借以计算 P
点的坐标。观测值及其中误差为 S = 127.00mm±0.03m,α=30°00'±2.5'，设
A 点坐标无误差，试求待定点 P 的点位中误差 。
解： =0.097（m）
3.3.28 有一角度测 4 测回，得中误差 0.42'问再增加多少测回其中误差为 0.28"？
3.3.30 设图 3-9 的△ABC 为等边三角形，观测边长和角度得观测值
为 b± =1000m±0.015m,α=β=60°00'00"，且为使算得的边长 a
具有中误差 =0.02m，试问角 α 和 β 的观測精度应为多少？
解： = =3.34（秒）
3.4.35 设某角的三个观测值及其中误差分别为 30°41'20"±2.0"
4 −2 0
3 ]T 的协方差阵 =[−2 9 −3]，试写出观测值1 、2 及3 的中
33
0 −3 16
第三章
协方差传播率及权
3.2.07 下列各式中的 (i = l，2，3)均为等精度独立观测值，其中误差为 σ,试求 X 的中误差：
（1）X=1/2(1 +2 )+ 3
（2）X=1 2 /3
3.2.20 为了确定图 3-4 中测站 A 上 B、C、D 方向间的关系，同精度观测了三个角，其值为1 =45°02'，
2 =85°00′，3 =40°01'。设测角中误差 σ=1"，试求：
(1)观测角平差值的协方差阵；
(2)观测角平差值̂1 关于̂3 的协方差。
解：
3.3.24 在巳知水准点 A、B(其髙程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长 为1 =2km, 2 =6km, 3 =4km,
设每千米观测高差中误差 a = 1.0mm,试
（1）将闭合差按距离分配之后1 , 2 两点间高差的中误差；
（2）分配闭合差后1 点高程的中误差。
解：（1）ℎ2 =1.73（mm）
（2）1 =1.29（mm）
3.3.25 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为 1cm，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大
积的中误差 。
1
2
解： =2 √2 2 2 2 ⁄( ) + 2 2 2 + 2 2 2
3.2.19 由已知点 A(无误差）引出支点 P,如图 3-3 所示。 为起算方位角，
其中0 ,观测角 β 和边长 S 的中误差分别为 和 ，试求 P 点坐标 X，Y 的协方差阵。
2 =8km, 3 =4km,令 40km 的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
解：1 = 4.0 2 = 5.0 3 = 10.0 0 = √40σ（km）
3.4.37 设 n 个同精度观测值的权为 P，其算术平均值的权为̅，问 P 与̅的关系如何？
解：̅= np
[解] 令 ′ =1，则由定权公式 = ′ 得
=4， =9
试问这样定权对吗？为什么？
解：不对。因为 A 角和 B 角每次观测的精度不同，故不能用 = ′ 这一公式定权。
=√sin2 2 + ()2 2 ∕
2
3.2.15 已知观测值向量
1 1
1，
2 1
11
及其协方差阵为[
21
3
3 1
31
2和
12
22
32
13
23 ]，
33
X = AL1 + A0
现组成函数{ = 2 + B0
= 3 + C0
1 ] ，试分别求下列函数的方差：
31
−2 1
2
(1) 1 =1 32 -23 ;
1
(2) 2 =21 +2 +23 。
解：（1）1 =40
−
1
−
1
1
（2）2 =2421 -41 -41 3 2 + 3 2 + 2 −1
3 +4
3.2.12 已知观测值向量 及其协方差阵 ，组成函数 X=AL,Y=BX,试求协方差阵 ， 和 。
=√5σ
=√21 + 22 σ
=√13σ
3.2.09 已知独立观測值1 、2 的中误差为1 和2 ,试求下列函数的中误差：
(1) X=1 -22 ;
1
(2) Y=2 21 +1 2 ;
1
(3) Z=sin(L
1 +L2 )
。
解： =
=
=
2 ]T，已知1 =2 秒，2 =3 秒，1 2 =-2 秒 2，试写出其协方差阵 。
2.6.19 设有观测值向量 = [1
2
31
误差以及协方差1 2 、1 3 和2 3 。
解：1 =2
2 =3
3 =4
1 2 =-2
1 3 =0
2 3 =-3
于 5cm,问可以设多少站？
解：最多可设 25 站。
3.3.26 若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线（图 3-6)，已知每千米观测中误差等于 5.0mm，欲使
平差后线路中点 C 点髙程中误差不大于 lOmm，问该线路长度最多
可达几千米？（提示：′ = +ℎ1 , ′′ =HB-h2， =(′ + ′′ )/2)
式中,A、B、C 为系数阵, 0 、0 、0 为常数阵。令 W=[X Y Z]T,试求协方差阵 。
解：
=
3．2.16 设有同精度独立观测值向量 =[1 2 3 ] 的函数为1 =
31
1
2
，2 = -2
式中， 和 为无误差的已知值，测角中误差 σ=1"，试求函数的方差21 ，22 及协方差1 2 。
2.6.17 社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为：
第一组：3，-3, 2, 4，-2，-1, 0，-4， 3，-2
第二组：0，-1，-7, 2, 1，-1, 8, 0，-3, 1
试求两组观测值的平均误差̂1 、̂2 和中误差̂1 、̂2 ，并比较两组观测值的精度。
解：̂1 =2.4