高二数学试题卷8开双(含答案)

2020-2021学年第二学期质量检测
高二数学测试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1. 设i 是虚数单位，则复数2i
1−i 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 函数f(x)=2x −lnx 的单调递减区间为( )
A. (−∞,1
2)
B. (1
2,+∞)
C. (0,1
2)
D. (0,+∞)
3. 已知复数z 满足z(1+2i)=|3+4i|(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z −
=( )
A. 1+2i
B. 1−2i
C. −1+2i
D. −1−2i
4. 若函数f(x)=kx −lnx 在区间(1,+∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )
A. (−∞,−2]
B. (−∞,−1]
C. [2,+∞)
D. [1,+∞)
5. 已知函数y =f (x )的导函数y =f′(x )的图象如图所示，则函数y =
f (x )在区间(a,b )内的极小值点的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. f (x)=e x −x 在区间[−1,1]上的最大值是( )
A. 1+1
e
B. 1
C. e +1
D. e −1
7. 直线y =a 与函数y =x 3−3x 的图象有三个相异的交点，则实数a 的取值范围为( )
A. (−2,2)
B. [−2,2]
C. [2,+∞)
D. (−∞,−2]
8. 已知a =1
e ,b =
ln33
,c =
ln44
，则a,b,c 的大小关系为( )
A. b <c <a
B. c <b <a
C. c <a <b
D. a <c <b
二、多选题（本大题共4小题，每题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知曲线y =x 3−x +1在点P 处的切线平行于直线y =2x ，那么点P 的坐标为( )
A. (1,0)
B. (1,1)
C. (−1,1)
D. (−1,0)
10. 已知f(x)=e x −ex ，则下列说法中正确的是
A. f(x)的极小值点为1
B. f(x)的极小值为0
C. f(x)的极大值点为1
D. f(x)的极大值为0
11.已知集合M={m|m=i n,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()
A. (1−i)(1+i)
B. 1−i
1+i C. 1+i
1−i
D. (1−i)2
12.若函数f(x)=e x−1与g(x)=ax图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为()
A. 2
B. 0
C. 1
D. −1
三、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，16题共2空，每空2分）
13.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2，则f(1)+f′(1)=．
14.若f(x)=x2+2x⋅f′(1)，则f′(0)=．
15.已知函数f(x)=e x−2x+a有零点，则实数a的取值范围是_____________．
16.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(−1,2)，则b=，c=．
四、解答题（本大题共6小题，每题8分，共48分）
17.设复数z=1+2i．
(1)求|z|及z−；
(2)求z2−2z．
18.已知函数f(x)=x3−3x+1．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
lnx在x=1处取得极值．
19.若函数f(x)=ax2+2x−4
3
(1)求函数f(x)单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
20.已知f(x)=x−sin2x，
(1)求y=f(x)在x=0处的切线方程；
]上的最值．
(2)求y=f(x)在[0,π
2
21.已知函数f(x)=ax−lnx(a∈R)．
(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；
(2)若对∀x∈(0,+∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
22.如图，在半径为30cm的1
圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点
4
A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和
拼接损耗)，设矩形的边长AB=xcm，圆柱的体积为Vcm3 ．
(1)写出体积V关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？
2020-2021学年第二学期质量检测
高二数学答案
填空题答案
解答题答案
17.解：(1)∵z=1+2i，
∴|z|=√12+22=√5，z−=1−2i；
(2)z2−2z=(1+2i)2−2(1+2i)=−3+4i−2−4i=−5．
18.解：解：(1)f(x)=x3−3x+1，所以f(0)=1，
又f′(x)=3x2−3，
所以k=f′(0)=−3，
故切线方3x+y−1=0．
(2)f′(x)=3x2−3>0，则x>1或x<−1；
f′(x)=3x2−3<0，则−1<x<1．
故函数在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增．在(−1,1)上单调递减．
19.解：∵f(x)=ax2+2x−4
3lnx，∴f′(x)=2ax+2−4
3x
，定义域为(0,+∞)，
∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=2a+2−4
3=0，解得a=−1
3
．
∴f(x)=−13x 2+2x −43lnx ，f′(x)=−23x +2−43x =−2(x−1)(x−2)
3x
．
(1)令f′(x)=0，则x =1或2． f′(x)、f(x)随x 的变化情况如下表：
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和 (2,+∞)，单调递增区间为(1,2)． (2)极小值为f(1)=5
3，极大值为f(2)=4
3(2−ln2)．
20.解：(1)y =f(x)的定义域为R,f(0)=0
f′(x)=1−2cos2x
f′(0)=−1
所以切线方程为：y =−x ，即x +y =0
(2)令f′(x)=0，得cos2x =1
2，又x ∈[0,π
2]，故x =π
6 当x ∈(0,π
6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减 当x ∈(π6,π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增
在x =π6处取得最小值，为f(π6
)=π6
−√3
2
f(0)=0，f(π2)=π2，f(π
2)>f(0) 在x =π
2处取得最大值，为f(π
2)=π
2
综上得y =f(x)在[0,π
2]上的最小值为π6
−√3
2
，最大值为π
2.
21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a =2时，f′(x)=2−1
x =
2x−1x
(x >0).由f′(x)=0，得x =1
2．
当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(0,1
2)上单调递减，(1
2,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f(1
2)=1+ln2，无极大值． (2)对∀x ∈(0,+∞)，f(x)>0恒成立， 即对∀x ∈(0,+∞)，a >lnx x 恒成立．
令ℎ(x)=
lnx x
，则ℎ′(x)=
1−lnx x 2
.由ℎ′(x)=0得x =e ，
当x ∈(0,e)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； 当x ∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1
e ，因此a >1
e . 所以a 的取值范围是(1e ,+∞)．
22.解：(1)连结OB ，∵AB =x ， ∴OA =√900−x 2，
设圆柱底面半径为，则√900−x 2=2πr ，即，
，其中0<x <30．
(2)由，得x =10√3，
因此
在(0,10√3)上是增函数，在(10√3,30)上是减函数．
x (0,12) 12 (1
2,+∞) f′(x) − 0 + f(x)
单调递减
极小值
单调递增
∴当x=10√3时，V有最大值．。