2019年秋七年级数学上册练习(湘教版)：第3章 一元一次方程精品教育.doc.doc

第3章 一元一次方程
3．1 建立一元一次方程模型
01 基础题
知识点1 方程及一元一次方程的概念
1．下列选项中不是方程的是(C )
A ．2x ＋3y ＝1
B ．－x ＋y ＝4
C ．3π＋4≠5
D ．x ＝8
2．(娄底娄星区期末)下列各式中，是一元一次方程的是(D )
A ．4x ＋3
B .1x
＝2 C ．2x ＋y ＝5 D ．3x ＝2x －1
3．若方程2x a －2－3＝0是关于x 的一元一次方程，则a ＝3.
知识点2 方程的解
4．下列方程中，解为x ＝1的方程是(B )
A ．3x ＋3＝x
B ．－x ＋1＝0
C ．2x ＝6
D ．5x －2＝8
5．在x ＝0，x ＝－1，x ＝3中，x ＝3是方程3x －9＝0的解．
6．检验下列x 的值是不是方程5x －2＝7＋2x 的解．
(1)x ＝2； (2)x ＝3.
解：(1)将x ＝2代入原方程得，
左边＝5×2－2＝8，右边＝7＋2×2＝11，
左边≠右边，
所以x ＝2不是方程5x －2＝7＋2x 的解．
(2)将x ＝3代入原方程得，
左边＝5×3－2＝13，右边＝7＋2×3＝13，
左边＝右边，
所以x ＝3是方程5x －2＝7＋2x 的解．
知识点3 建立一元一次方程模型
7．设某数是x ，若比它的2倍大3的数是8，可列方程为(B )
A ．2x －3＝8
B ．2x ＋3＝8
C .12x －3＝8
D .12
x ＋3＝8 8．一个正方形花圃边长增加2 m ，所得新正方形花圃的周长是28 m ，设原正方形花圃的边长为x m ，由此可得方程为(D)
A ．x ＋2＝28
B ．4x ＋2＝28
C ．2(x ＋2)＝28
D ．4(x ＋2)＝28
9．如图，天平左边放着3个乒乓球，右边放着5.4 g 的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为x g ，请你列出一个含有未知数x 的方程：3x ＝x ＋5.4．
10．(教材P 86习题T 5变式)根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)小丽从出版社邮购3本一样的书，包括邮费的总价为37.5元，如果每本书的邮费是2元，那么每本书的价格是多少元？
(2)春运期间，汽车票价上浮20%，小明从南京去上海的票价是84元，求原来的票价；
(3)A 、B 两袋大米，A 袋有50千克，它的25
比B 袋的70%少8千克，B 袋有多少千克大米？ 解：(1)设每本书的价格是x 元，
则3x ＋3×2＝37.5.
(2)设原来的票价为x 元，则x ＋20%x ＝84.
(3)设B 袋有x 千克大米，则25
×50＋8＝70%x.
02 中档题
11．(邵阳期末)已知方程3x ＋a ＝2的解是5，则a 的值是(A )
A ．－13
B ．－17
C ．13
D ．17
12．(娄底娄星区期末)某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个零件，则可以超额完成5个，问：规定时间是多少？设规定时间为x 小时，则可列方程为(B )
A ．38x －15＝42x ＋5
B ．38x ＋15＝42x －5
C ．42x ＋38x ＝15＋5
D ．42x －38x ＝15－5
13．(教材P 86习题T 4变式)请写出一个解为x ＝－12的一元一次方程答案不唯一，如：x ＋12
＝0． 14．已知y ＝1是方程my ＝y ＋2的解，求m 2－3m ＋1的值．
解：把y ＝1代入方程my ＝y ＋2，得m ＝3.
当m ＝3时，m 2－3m ＋1＝1.
15．已知方程(m －3)x |m|－2＋4＝m －2是关于x 的一元一次方程．
(1)求m 的值；
(2)写出这个一元一次方程．
解：(1)依题意，得|m|－2＝1，
解得m ＝3或－3.
又因为m －3≠0，所以m ＝－3.
(2)方程为－6x ＋4＝－5.
16．在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多20%，乙班植树的株树比甲班的一半多10株．设乙班植树x 株．
(1)列两个不同的含x 的代数式，分别表示甲班植树的株数；
(2)根据题意列出含未知数x 的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株．
解：(1)根据甲班植树的株树比乙班多20%，得甲班植树的株数为(1＋20%)x.
根据乙班植树的株树比甲班的一半多10株，得甲班植树的株数为2(x －10)．
(2)(1＋20%)x ＝2(x －10)．
(3)把x ＝25分别代入方程的左边和右边，得
左边＝(1＋20%)×25＝30，
右边＝2×(25－10)＝30.
因为左边＝右边，
所以x ＝25是方程(1＋20%)x ＝2(x －10)的解．
故乙班植树株数是25株，甲班植树株数为(1＋20%)×25＝30(株)．
03 综合题
17
已知某户7月份缴水费8.8元，则该用户7月份的用水量为多少立方米？(只列方程)
解：设该用户7月份的用水量是x m 3，列方程为0.8×6＋2(x －6)＝8.8.
3.2 等式的性质
01 基础题
知识点1 等式性质1
1．下列等式变形错误的是(B )
A ．若x －1＝3，则x ＝4
B ．若2x －1＝x ，则2x －x ＝－1
C ．若x －3＝y －3，则x ＝y
D ．若3x ＝2x ＋4，则x ＝4
2．由等式2x －1＝4可得2x ＝5，这是根据等式性质1，等式两边都加上1.
3．由等式a ＋32＝b ＋32可得a ＝b ，这是根据等式性质1，等式两边都减去32
. 4．判断下列等式变形是否正确，并说明理由．
(1)若a ＝b －2，则a －2＝b ；
解：不正确，在等式a ＝b －2两边都减去2，所得等式应为a －2＝b －4.
(2)若2x ＝3y ，则2x ＋3y ＝6y.
解：正确，根据等式性质1，在等式2x ＝3y 两边都加上3y.
知识点2 等式性质2
5．如果用“a ＝b ”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c ＝b±c ”，以下借助符号正确地表示出等式的第二条性质的是(D )
A ．a·c ＝b·d ，a÷c ＝b÷d
B ．a·d ＝b÷d ，a÷d ＝b·d
C ．a·d ＝b·d ，a÷d ＝b÷d
D ．a·d ＝b·d ，a÷d ＝b÷d(d ≠0)
6．下列变形中，正确的是(D )
A ．若2a ＝3，则a ＝23
B ．若－2x ＝1，则x ＝－2
C ．若5y ＝4，则y ＝－1
D ．若6a ＝2b ，则3a ＝b
7．若等式x ＝y 可以变形为x a ＝y a
，则有(C ) A ．a ＞0 B ．a ＜0
C ．a ≠0
D ．a 为任意有理数
8．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
(1)如果－x 10＝y 5
，那么x ＝－2y ，根据等式性质2，两边都乘－10； (2)如果－2x ＝2y ，那么x ＝－y ，根据等式性质2，两边都除以－2；
(3)如果m 3
＝4n ，那么m ＝12n ，根据等式性质2，两边都乘3； (4)如果23x ＝4，那么x ＝6，根据等式性质2，两边都乘32
. 9．判断下列等式变形是否正确，并说明理由．
(1)若－12x ＝14
y ，则x ＝－2y ； 解：不正确，在等式－12x ＝14y 两边都乘－2，所得等式应为x ＝－12
y. (2)若3a ＝－5b ，则a ＝－35
b.
解：不正确，在等式3a ＝－5b 两边都除以3，所得等式应为a ＝－53
b. 02 中档题
10．(邵阳期中)若ma ＝mb ，则下列等式不一定成立的是(C )
A ．ma ＋1＝mb ＋1
B ．ma －3＝mb －3
C ．a ＝b
D ．－12ma ＝－12
mb 11．(广东中考)已知方程x －2y ＋3＝8，则整式x －2y 的值为(A )
A ．5
B ．10
C ．12
D ．15
12．下列说法正确的是(B )
A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c
B ．在等式a ＝b 两边都除以c 2＋1，可得a c 2＋1＝b c 2＋1
C ．在等式b a ＝c a
两边都除以a ，可得b ＝c D ．在等式2x ＝2a －b 两边都除以2，可得x ＝a －b
13．如图所示，若将天平左盘中两个等重的物品取下一个，则右盘中取下3个等重的砝码，可使天平仍然平衡．
14．请在括号中写出下列等式变形的理由．
(1)如果3a ＋2b ＝3b ＋2c ，那么3a ＝b ＋2c ；
(根据等式性质1，等式两边都减去2b)
(2)如果a b ＝c b
，那么a ＝c ； (根据等式性质2，等式两边都乘b)
(3)如果12x ＝2x ＋3，那么－32
x ＝3； (根据等式性质1，等式两边都减去2x)
(4)如果xy ＝1，那么x ＝1y
. (根据等式性质2，等式两边都除以y)
15．已知2x 2－3＝5，你能求出x 2＋3的值吗？请说明理由．
解：能，由2x 2－3＝5，得2x 2＝5＋3，x 2＝4，
所以x 2＋3＝4＋3＝7.
16．下面是张铭同学今天做的家庭作业：
问题：将等式5x －3y ＝4x －3y 变形．
解：因为5x －3y ＝4x －3y ，
所以5x ＝4x(第一步)．
所以5＝4(第二步)．
上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？
解：第一步是两边都加3y ，
第二步错误的原因是x ＝0时，两边都除以x 无意义．
03 综合题
17．(教材P 89习题T 4变式)已知12a ＋2b ＝－5，4x －3y ＝1，请利用等式性质求2x －4b －(a ＋32
y)－5的值． 解：原式＝2x －4b －a －32
y －5 ＝(2x －32
y)－(a ＋4b)－5.
由4x －3y ＝1，得2x －32y ＝12
. 由12
a ＋2
b ＝－5，得a ＋4b ＝－10. 故原式＝12
－(－10)－5 ＝512
.
3.3 一元一次方程的解法
第1课时 利用移项、合并同类项解一元一次方程
01 基础题
知识点1 移项
1．下列变形中属于移项的是(C )
A ．由2x ＝2，得x ＝1
B ．由x 2
＝－1，得x ＝－2 C ．由3x －72＝0，得3x ＝72
D ．由2x －1＝3得2x ＝3－1
2．下列移项变形正确的是(D )
A ．由2＋x ＝3，得x ＝2＋3
B ．由5x ＋1＝2x 得5x －2x ＝1
C ．由3x －3＝2x ＋6得3x －2x ＝6－3
D ．由－3＋5x ＝2x 得5x －2x ＝3
3．把方程9y －3＝4y ＋1变形为9y －4y ＝1＋3，这种变形称为移项；移项要注意移项要变号，移项的依据是等式性质1．
4．下列移项对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)从3x ＋6＝0得3x ＝6；
(2)从2x ＝x －1得到2x －x ＝1；
(3)从2＋x －3＝2x ＋1得到2－3－1＝2x －x.
解：(1)不对，应为：3x ＝－6.
(2)不对，应为：2x －x ＝－1.
(3)正确．
知识点2 利用移项解一元一次方程
5．方程5x ＝1＋4x 的解是(C )
A ．x ＝－5
B ．x ＝－1
C ．x ＝1
D ．x ＝2
6．(咸宁中考)若代数式x ＋4的值是2，则x 等于(B )
A ．2
B ．－2
C ．6
D ．－6
7．解方程6x ＋90＝－10x ＋26的步骤是：
①移项，得6x ＋10x ＝26－90；
②合并同类项，得16x ＝－64；
③两边都除以16，得x ＝－4.
8．解下列方程，并检验．
(1)3x ＋9＝6；
解：移项，得3x ＝6－9，
合并同类项，得3x ＝－3.
两边都除以3，得x ＝－1.
检验：把x ＝－1代入原方程的左边，
左边＝3×(－1)＋9＝6，
右边＝6，
左边＝右边，
因此，x ＝－1是原方程的解．
(2)3x －2＝2x ＋1.
解：移项，得3x －2x ＝1＋2，
合并同类项，得x ＝3.
检验：把x ＝3分别代入原方程的左、右两边，
左边＝3×3－2＝7，
右边＝2×3＋1＝7，
左边＝右边，
因此，x ＝3是原方程的解．
易错点 解方程时，移项不变号或误将不移动的项也变号
9．解方程－2x ＋4＝x －8，下列移项正确的是(C )
A ．－2x －x ＝8－4
B ．－2x －x ＝－8＋4
C ．－2x －x ＝－8－4
D ．2x －x ＝－8＋4
02 中档题
10．解方程4x －2＝3－x ，正确的步骤是(C )
①合并同类项，得5x ＝5；
②移项，得4x ＋x ＝3＋2；
③两边都除以5，得x ＝1.
A ．①②③
B ．③②①
C ．②①③
D ．③①②
11．当m ＝________时，方程2x ＋m ＝x ＋1的解为x ＝－4(B )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．如果5m ＋14与m ＋14互为相反数，那么m 的值为－112
. 13．解下列方程：
(1)x －2＝13x ＋43
； 解：移项，得x －13x ＝2＋43
. 合并同类项，得23x ＝103
. 两边都乘32
，得x ＝5. (2)－5x ＋6＋7x ＝1＋2x －3＋8x.
解：移项，得－5x ＋7x －2x －8x ＝1－3－6.
合并同类项，得－8x ＝－8.
两边都除以－8，得x ＝1.
14．若－2x 2m ＋1y 5与3x 5y 2n －1是同类项，求m n 的值．
解：由－2x 2m ＋1y 5与3x 5y 2n －1是同类项，得
2m ＋1＝5，2n －1＝5，
解得m ＝2，n ＝3.m n ＝23＝8.
15．小华同学在解方程5x －1＝□x ＋3时，发现“□”处的数字模糊不清，但查看答案可知解为x ＝2，则“□”处的数字是多少？
解：设“□”处的数字为a ，把x ＝2代入方程，得
10－1＝2a ＋3，解得a ＝3.
16．我们定义一种新运算：a*b ＝2a －b ＋ab(等号右边为通常意义的运算)：
(1)计算2*(－3)的值；
(2)解方程：3*x ＝12
*x. 解：(1)由题意，得
2*(－3)＝2×2－(－3)＋2×(－3)＝1.
(2)6－x ＋3x ＝1－x ＋12
x ，解得x ＝－2. 03 综合题
17．有一列数，按一定规律排成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是5 103，求这三个数中最小的数．
解：设第一个数为x ，依题意，得
x －3x ＋9x ＝5 103，
所以x ＝729，所以－3x ＝－2 187.
所以最小的数为－2 187.
第2课时 利用去括号解一元一次方程
01 基础题
知识点1 去括号
1．将－2(x －1)去括号，得(C )
A ．－2x －1
B ．－2x －2
C ．－2x ＋2
D ．2x ＋2
2．解方程3－(x ＋6)＝－5(x －1)时，去括号的结果是(B )
A ．3－x ＋6＝－5x ＋5
B ．3－x －6＝－5x ＋5
C ．3－x ＋6＝－5x －5
D ．3－x －6＝－5x ＋1
3．将多项式2(x ＋2)－3(－4x ＋2)去括号得2x ＋4＋12x －6，合并得14x －2．
知识点2 利用去括号解一元一次方程
4．方程3(x －1)＝12的解是(A )
A ．x ＝76
B ．x ＝－32
C ．x ＝56
D ．x ＝－52
5．(大连中考)方程3x ＋2(1－x)＝4的解是(C )
A ．x ＝25
B ．x ＝65
C ．x ＝2
D ．x ＝1
6．若2(x －3)与1－3x 的值相等，则x 的值为(A )
A .75
B .57
C ．5
D .45
7．方程3(x ＋4)＝x 的解是x ＝－6．
8．解方程：5(x －4)－3(2x ＋1)＝2(1－2x)－1.
解：去括号，得5x －20－6x －3＝2－4x －1，
移项，得5x －6x ＋4x ＝2－1＋20＋3，
合并同类项，得3x ＝24，
两边都除以3，得x ＝8.
9．解下列方程：
(1)2(3x －2)－5x ＝0；
解：去括号，得6x －4－5x ＝0，
移项，得6x －5x ＝0＋4，
合并同类项，得x ＝4.
(2)8y －3(3y ＋2)＝－5；
解：去括号，得8y －9y －6＝－5，
移项，得8y －9y ＝－5＋6，
合并同类项，得－y ＝1，
两边都除以－1，得y ＝－1.
(3)(武汉中考)4x －3＝2(x －1)；
解：去括号，得4x －3＝2x －2.
移项，得4x －2x ＝－2＋3.
合并同类项，得2x ＝1.
两边都除以2，得x ＝12.
(4)2x －4(x ＋3)＝－5x ＋3.
解：去括号，得2x －4x －12＝－5x ＋3，
移项，得2x －4x ＋5x ＝3＋12，
合并同类项，得3x ＝15，
两边都除以3，得x ＝5.
易错点 去括号时漏乘某些项或弄错符号而导致错解
10．解方程4(x －1)－x ＝2(x ＋12
)的步骤如下： (1)去括号，得4x －1－x ＝2x ＋1；(2)移项，得4x －x －2x ＝1＋1；(3)合并同类项，得x ＝2，其中错误的一步是(1)．
02 中档题
11．解下列方程：
(1)3(x ＋1)＝5(2x －2)－1；
解：去括号，得3x ＋3＝10x －10－1.
移项，得3x －10x ＝－10－1－3.
合并同类项，得－7x ＝－14.
两边都除以－7，得x ＝2.
(2)3(2y ＋1)＝2(1＋y)＋3(y ＋3)；
解：去括号，得6y ＋3＝2＋2y ＋3y ＋9.
移项，得6y －2y －3y ＝2＋9－3.
合并同类项，得y ＝8.
(3)5(2x ＋1)－3(22x ＋11)＝4(6x ＋3)；
解：去括号，得10x ＋5－66x －33＝24x ＋12，
移项，得10x －66x －24x ＝12－5＋33，
合并同类项，得－80x ＝40，
两边都除以－80，得x ＝－12
. (4)5(x －4)－3(2x ＋1)＝2(1－2x)－16.
解：去括号，得5x －20－6x －3＝2－4x －16，
移项，得5x －6x ＋4x ＝2－16＋20＋3，
合并同类项，得3x ＝9，
两边都除以3，得x ＝3.
12．当x 为何值时，代数式3x －1的值是代数式7＋4x 的值的5倍？
解：根据题意，得3x －1＝5(7＋4x)．
解得x ＝－3617
. 13．若方程2(2x －1)＝3x ＋1与方程m ＝x －1的解相同，求m 的值．
解：由2(2x －1)＝3x ＋1，解得x ＝3，
把x ＝3代入m ＝x －1，得m ＝3－1＝2.
14．小明解关于y 的一元一次方程3(y ＋a)＝2y ＋4，在去括号时，将a 漏乘了3，得到方程的解是y ＝3.
(1)求a 的值；
(2)求该方程正确的解．
解：(1)由题意，得y ＝3是方程3y ＋a ＝2y ＋4的解，所以3×3＋a ＝2×3＋4，解得a ＝1.
(2)由(1)得a ＝1，所以原方程为3(y ＋1)＝2y ＋4，解得y ＝1.
故该方程正确的解是y ＝1.
03 综合题
15．在解方程3(x ＋1)－13(x －1)＝2(x －1)－12
(x ＋1)时，我们可以将(x ＋1)、(x －1)各看成一个整体，进行移项、合并同类项，得72(x ＋1)＝73(x －1)，再两边同时乘67
，得3(x ＋1)＝2(x －1)，进而求解，这种方法叫做整体求解法．请你
用这种方法解方程：
5－(2x ＋3)－34(x －2)＝2(x －2)－12
(2x ＋3)． 解：5－(2x ＋3)－34(x －2)＝2(x －2)－12
(2x ＋3)． 5－(2x ＋3)＋12(2x ＋3)＝2(x －2)＋34(x －2)．
5－12(2x ＋3)＝114(x －2)．
20－2(2x ＋3)＝11(x －2)．
20－4x －6＝11x －22.
－15x ＝－36.
x ＝125.
第3课时 利用去分母解一元一次方程
01 基础题
知识点1 去分母
1．解方程3y －14－1＝2y ＋76
，去分母时，方程两边都应乘(B ) A ．10 B ．12 C ．24 D ．6
2．(株洲中考)在解方程x －13＋x ＝3x ＋12
时，方程两边同时乘6，去分母正确的是(B ) A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)
B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)
C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)
D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1)
知识点2 利用去分母解一元一次方程
3．方程x ＋13－5x 6＝1的解是(D )
A ．x ＝13
B ．x ＝－13
C ．x ＝43
D ．x ＝－43
4．解方程：3x －43－x －14＝1－x －112.
解：①去分母，方程两边同乘12，得
4(3x －4)－3(x －1)＝12－(x －1)． ②去括号，得12x －16－3x ＋3＝12－x ＋1．
③移项，得12x －3x ＋x ＝12＋1＋16－3. ④合并同类项，得10x ＝26．
⑤两边都除以10，得x ＝13
5．
5．解方程：
(1)1
3(x ＋2)＝1
2(x ＋3)；
解：去分母，得2x ＋4＝3x ＋9.
移项，得2x －3x ＝9－4.
合并同类项，得x ＝－5.
(2)－5x ＋1＝－9x ＋8
2；
解：去分母，得－10x ＋2＝－9x ＋8.
移项、合并同类项，得－x ＝6.
方程两边同除以－1，得x ＝－6. (3)2x －13＝x
＋2
4；
解：去分母，得4(2x －1)＝3(x ＋2)，
去括号，得8x －4＝3x ＋6，
移项，得8x －3x ＝6＋4，
合并同类项，得5x ＝10，
两边都除以5，得x ＝2.
(4)(邵阳期中)2x ＋13＝1－x －
1
5.
解：去分母，得5(2x ＋1)＝15－3(x －1)．
去括号，得10x ＋5＝15－3x ＋3.
移项，得10x ＋3x ＝15＋3－5.
合并同类项，得13x ＝13.
两边都除以13，得x ＝1.
易错点 去分母时漏乘不含分母的项或忽视分数 线的“括号”作用
6．解方程：x －32－2x ＋16
＝1. 解：去分母，得3(x －3)－(2x ＋1)＝6.
去括号，得3x －9－2x －1＝6.
移项，得3x －2x ＝6＋1＋9.
合并同类项，得x ＝16.
02 中档题
7．解方程56(65y －1)＝16
，下列几种解法中，较简便的是(D ) A ．先方程两边同乘6
B.先方程两边同乘5
C ．括号内先通分
D.先去括号，再移项
8．若关于x 的一元一次方程2x －k 3－x －3k 2
＝1的解是x ＝－1，则k 的值是(B ) A ．27 B ．1
C ．－1311
D ．0 9．把方程x 0.7－0.17－0.2x 0.03
＝1中的分母化为整数，正确的是(D ) A .x 7－17－2x 3＝1 B .10x 7－17－2x 3
＝1 C .10x 7－17－20x 3＝10 D .10x 7－17－20x 3
＝1 10．如果a ＋34比2a －37
的值大1，那么a ＝5． 11．解下列方程：
(1)x 2－2×x ＋13
＝1； 解：去分母，得3x －4(x ＋1)＝6.
去括号，得3x －4x －4＝6.
移项、合并同类项，得－x ＝10.
两边都除以－1，得x ＝－10.
(2)5y ＋16＝9y ＋18－1－y 3
； 解：去分母，得4(5y ＋1)＝3(9y ＋1)－8(1－y)．
去括号，得20y ＋4＝27y ＋3－8＋8y.
移项、合并同类项，得－15y ＝－9.
两边都除以－15，得y ＝35
. (3)x －x －12＝2－x ＋25
； 解：去分母，得10x －5(x －1)＝20－2(x ＋2)．
去括号，得10x －5x ＋5＝20－2x －4.
移项、合并同类项，得7x ＝11.
两边都除以7，得x ＝117
. (4)5%x ＋4%(500－x)＝23.5.
解：两边都乘100，得5x ＋4(500－x)＝2 350.
去括号，得5x ＋2 000－4x ＝2 350.
移项、合并同类项，得x ＝350.
12．某同学在解方程2x －13＝x ＋a 3
－2去分母时，方程右边的－2没有乘3，因而求得的方程的解为x ＝2，试求a 的值，并求出原方程的正确的解．
解：根据该同学的做法，
去分母，得2x －1＝x ＋a －2.
解得x ＝a －1.
因为x ＝2是方程的解，所以a ＝3.
把a ＝3代入原方程，得2x －13＝x ＋33
－2. 解得x ＝－2.
03 综合题
13．一工程甲队独做30天完成，乙队独做20天完成，现由甲队独做10天后，再和乙队合做，还需多少天才能完成？
解：设还需要x 天才能完成，根据题意，列方程得
1030＋(130＋120
)x ＝1. 解得x ＝8.
答：还需8天才能完成．
小专题(五) 一元一次方程的解法
1．移项、合并同类项解下列方程：
(1)5x －7x ＝16×12＋2；
解：－2x ＝8＋2，
x ＝－5.
(2)12x ＋x ＋2x ＝140；
解：72x ＝140，
x ＝40.
(3)56－8x ＝11＋x ；
解：－8x －x ＝11－56，
－9x ＝－45，
x ＝5.
(4)43x ＋1＝5＋13x.
解：43x －13x ＝5－1，
x ＝4.
2．去括号解下列方程：
(1)4(2x －3)－(5x －1)＝7；
解：8x －12－5x ＋1＝7，
8x －5x ＝7＋12－1，
3x ＝18，
x ＝6.
(2)3(2x ＋5)＝2(4x ＋3)－3；
解：6x ＋15＝8x ＋6－3，
6x －8x ＝－15＋6－3，
－2x ＝－12，
x ＝6.
(3)3x －7(x －1)＝3－2(x ＋3)．
解：3x －7x ＋7＝3－2x －6，
3x －7x ＋2x ＝3－6－7，
－2x ＝－10，
x ＝5.
3．去分母解下列方程：
(1)5x －18＝74；
解：5x －1＝14，
5x ＝15，
x ＝3.
(2)107x －17－20x 3＝1；
解：30x －7(17－20x)＝21，
30x －119＋140x ＝21，
30x ＋140x ＝119＋21，
170x ＝140，
x ＝1417
. (3)x －x －12＝2－x ＋23
； 解：6x －3x ＋3＝12－2x －4，
6x －3x ＋2x ＝12－4－3，
5x ＝5，
x ＝1.
(4)2x －13－10x ＋16＝2x ＋12
－1； 解：2(2x －1)－(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－6，
4x －2－10x －1＝6x ＋3－6，
4x －10x －6x ＝3－6＋2＋1，
－12x ＝0，
x ＝0.
(5)x ＋45－(x －5)＝x ＋33－x －22
. 解：6(x ＋4)－30(x －5)＝10(x ＋3)－15(x －2)，
6x ＋24－30x ＋150＝10x ＋30－15x ＋30，
6x －30x －10x ＋15x ＝30＋30－24－150，
－19x ＝－114，
x ＝6.
4．解下列方程：
(1)x －40.2－2.5＝x －30.05
； 解：5x －20－2.5＝20x －60，
5x －20x ＝－60＋20＋2.5，
－15x ＝－37.5，
x ＝2.5.
(2)0.5x ＋0.90.5＋x －53＝0.01＋0.02x 0.03
. 解：5x ＋95＋x －53＝1＋2x 3
， 15x ＋27＋5x －25＝5＋10x ，
10x ＝3，
x ＝0.3.
5．解下列方程：
(1)119x ＋27＝29x －57
； 解：119x －29x ＝－57－27
， x ＝－1.
(2)y －y －12＝2－y ＋25
； 解：y －0.5(y －1)＝2－0.2(y ＋2)，
y －0.5y ＋0.5＝2－0.2y －0.4，
0．7y ＝1.1，
y ＝117
.
(3)x 2＋x 6＋x 12＋x 20
＝1； 解：原方程可化为x －12x ＋12x －13x ＋13x －14x ＋14x －15
x ＝1， x －15x ＝1，
45x ＝1，
x ＝54.
(4)32[23(x 4－1)－2]－x ＝2；
解：x 4－1－3－x ＝2，
x 4－x ＝2＋1＋3，
－34x ＝6，
x ＝－8.
(5)x －13[x －13(x －9)]＝19(x －9)．
解：x －13x ＋19(x －9)＝19(x －9)，
23x ＝0，
x ＝0.
6．解方程：3|x|－5＝|x|－22＋1.
解：6|x|－10＝|x|－2＋2.
5|x|＝10，
|x|＝2，
所以x ＝2或－2.
3.4 一元一次方程模型的应用
第1课时 和、差、倍、分问题
01 基础题
知识点 和、差、倍、分问题
1．一队师生共328人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租用多少辆客车？如果设还要租x 辆客车，可列方程为(B )
A ．44x －328＝64
B ．44x ＋64＝328
C ．328＋44x ＝64
D ．328＋64＝44x
2．(南充中考)学校机房今年和去年购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机数量是(C )
A ．25台
B ．50台
C ．75台
D ．100台
3．班上有37名同学，分成人数相等的两队进行拔河比赛，恰好余3人当裁判员，那么每个队的人数是(A )
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
4．甲仓库有煤200吨，乙仓库有煤80吨，如果甲仓库每天运出15吨，乙仓库每天运进25吨，问多少天后两仓库存煤相等(D )
A ．6天
B ．5天
C ．4天
D ．3天
5．(永州中考)永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1 000人，同时每小时走出景区的游客约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2 000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为(C )
A ．10：00
B ．12：00
C ．13：00
D ．16：00
6．某月有5个星期日，已知这五个星期日的日期和为75，则这个月的最后一个星期日是(C )
A ．27号
B ．28号
C ．29号
D ．30号
7．(湘潭中考)湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完，设敬老院有x 位老人，依题意可列方程为2x ＋16＝3x ．
8．(教材P 99练习T 2变式)足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队比赛了13场．
(1)这个队胜了x 场，负了4场，平了(9－x)场；
(2)胜场积3x 分，负场积0分，平场积(9－x)分；
(3)若这个队在全部比赛中得到19分，则可列方程为3x ＋0＋(9－x)＝19.解得x ＝5.即这个队应胜5场．
9．(福州中考)某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？
解：设甲种票买了x 张，则乙种票买了(35－x)张．由题意，得24x ＋18(35－x)＝750.
解得x ＝20，所以35－x ＝15.
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．
02 中档题
10．(湘潭中考)程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x 人，依题意列方程得(C )
A .x 3
＋3(100－x)＝100
B .x 3
－3(100－x)＝100 C ．3x ＋100－x 3
＝100 D ．3x －100－x 3
＝100 11．有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“现在，有一半学生学数学，四分之一的学生学音乐，七分之一的学生在休息，还剩三个女同学…”那么毕达哥拉斯的学校有28名学生．
12．在学校的一次劳动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，后因劳动任务需要，需要另外调20人来支援，使在甲处的人数是在乙处人数的2倍，问应分别调往甲、乙两处各多少人？
解：设应调往甲处x 人，依题意，得
27＋x ＝2(19＋20－x)．解得x ＝17.
所以20－x ＝3.
答：应调往甲处17人，调往乙处3人．
13．(株洲模拟)根据以下对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，依题意，得
10x ＋5×3x ＝30.
解得x ＝1.2，3x ＝3.6.
答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．
14
某校初一(1)、(2)经估算，如果两个班都以班为单位购票，那么一共应付1 240元，问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果初一(1)班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
解：(1)设初一(1)班有x 人，则有13x ＋11(104－x)＝1 240或13x ＋9(104－x)＝1 240，
解得x ＝48或x ＝76(不合题意，舍去)．
答：初一(1)班48人，初一(2)班56人．
(2)1 240－104×9＝304，所以可省304元．
(3)要想享受优惠，由(1)可知初一(1)班48人，只需多买3张，
51×11＝561，48×13＝624＞561，
所以48人买51人的票可以更省钱．
03 综合题
15．(江西中考)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)，使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm ，第2节套管长46 cm ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm .完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm .
(1)请直接写出第5节套管的长度；
(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm ，求x 的值．
解：(1)第5节套管的长度为：50－4×(5－1)＝34(cm )．
(2)第10节套管的长度为：50－4×(10－1)＝14(cm )，设每相邻两节套管间重叠的长度为x cm ，根据题意，得 (50＋46＋42＋…＋14)－9x ＝311，
即320－9x ＝311，
解得x ＝1.
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm .
第2课时销售问题和本息问题
01基础题
知识点1销售问题
1．(南宁中考)超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元．则得到方程(A)
A．0.8x－10＝90 B．0.08x－10＝90
C．90－0.8x＝10 D．x－0.8x－10＝90
2．如图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为(C)
A．22元
B．23元
C．24元
D．26元
3.(枣庄中考)某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是(B)
A．350元B．400元
C．450元D．500元
4．(荆州中考)互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为(C)
A．120元B．100元
C．80元D．60元
5．某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售后的利润率为5%，则此商品是按标价的7折销售的．6．(宁夏中考)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是200元．
7．一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么此商品是按几折销售的？
解：设此商品是按x折销售的，由题意，列方程得600×x
10＝400(1＋5%)．解得x＝7.
答：此商品是按7折销售的．
知识点2本息问题
8．(山西中考)王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和(本金＋利息)33 825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是(A)
A．x＋3×4.25%x＝33 825
B．x＋4.25%x＝33 825
C．3×4.25%x＝33 825
D．3(x＋4.25%x)＝33 825
9．玲玲存入1 200元的活期储蓄，存满3个月时取出，共得本息和1 208.64元，则此活期储蓄的月利率是(B) A．0.24 B．0.24%
C．0.36 D．0.36%
10．张颖同学存入若干元人民币，存期一年，年利率为3.25%，到期后她把利息的20%共计6.5元用来买文具，那么张颖同学存入的本金为1__000元．
11．(教材P100例2变式)五年期定期储蓄年利率为5.1%，已知某储户有一笔五年期定期储蓄到期后可得到利息1 020元．问该储户存入多少本金？
解：设存入x元本金．根据题意，列方程得
5．1%x×5＝1 020.解得x＝4 000.
答：该储户存入本金4 000元．
02中档题
12．某网上电器商城销售某种品牌的高端电器．已知该电器按批发价上浮50%进行标价，若按照标价的九折销售，则可获纯利润350元，现由于商城搞促销，该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润(B)
A．180元B．200元
C．220元D．240元
13．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在2019年10月24日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为3%.2019年10月24日，该客户没有前往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为1.5%.若该客户在2019年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元，则该客户在2019年10月24日存入的本金为(C)
A．16 000元B．18 000元
C．20 000元D．22 000元
14．在深圳体育馆召开的第八届中国(深圳)国际茶业文化博览会上，某茶商将甲、乙两种茶叶卖出，甲种茶叶卖出1 200元，盈利20%，乙种茶叶卖出1 200元，亏损20%，则此人在这次交易中是(D)
A．盈利50元B．盈利100元
C．亏损150元D．亏损100元
15．(牡丹江中考)某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为100元．
16．(海南中考)世界读书日，某书店举办“书香”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书．求这两本书的标价各是多少元？
解：设《汉语成语大词典》的标价是x元，《中华上下五千年》的标价是(150－x)元．依题意，得
50%x＋60%(150－x)＝80，
解得x＝100，
所以150－x＝50.
答：《汉语成语大词典》的标价是100元，《中华上下五千年》的标价是50元．
17．(泰州中考)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
解：设每件衬衫应降价x元，依题意有
120×400＋(120－x)×100＝80×500×(1＋45%)，解得x＝20.
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
03综合题
18．小明在商店里看中了一件夹克衫，店家说：“我这儿所有商品都是在进价上加50%的利润再标价的，这件夹克衫我给你按标价打8折，你就付168元，我可只赚了你8元钱啊！”聪明的小明经过思考后觉得店家的说法不可信，请你通过计算，说明店家是否诚信？
解：设进价是x元，根据题意，得
1．5×0.8x＝168，解得x＝140.
则168－140＝28.
所以赚了28元．
所以店家在撒谎．
第3课时 行程问题
01 基础题
知识点1 相遇问题
1．小明和小刚从相距25.2 km 的两地同时相向而行，小明每小时走4 km ，3 h 后两人相遇，设小刚的速度为x km /h ，列方程得(C )
A ．4＋3x ＝25.2
B ．3×4＋x ＝25.2
C ．3×4＋3x ＝25.2
D ．3x －3×4＝25.2
2．甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km 的两地相向而行，2 h 相遇，若乙每小时比甲少骑2.5 km ，则乙每小时骑(C )
A ．20 km
B ．17.5 km
C ．15 km
D ．12.5 km
3．昆曲高速公路全长128 km ，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40 min 遇，甲车比乙车每小时多行驶20 km .求甲、乙两车的速度．
解：设乙车速度为x km /h ，则甲车速度为(x ＋20)km /h ，根据题意，得
2
3
(x ＋x ＋20)＝128，解得x ＝86， 则甲车速度为x ＋20＝86＋20＝106.
答：甲车速度为106 km /h ，乙车速度为86 km /h . 知识点2 追及问题
4．A 、B 两地相距600 km ，甲车以60 km /h 的速度从A 地驶向B 地，2 h 后，乙车以100 km /h 的速度沿着相同的道路从A 地驶向B 地．设乙车出发x 小时后追上甲车，根据题意可列方程为(A )
A ．60(x ＋2)＝100x
B ．60x ＝100(x －2)
C ．60x ＋100(x －2)＝600
D ．60(x ＋2)＋100x ＝600
5．小明每秒钟跑6 m ，小虎每秒钟跑5 m ，小虎站在小明前10 m 处，两人同时起跑，小明追上小虎需(A )
A ．10 s
B ．8 s
C ．6 s
D ．5 s
6．兄弟两人由家里步行去学校，弟弟每小时走6 km ，哥哥每小时走8 km ，哥哥晚出发10 mim ，结果两人同时到校，学校离家有多远？
解：设学校离家有x km ，由题意，得
x 6－1060＝x
8
.解得x ＝4. 答：学校离家有4 km .
知识点3 顺流(风)、逆流(风)问题
7．(赤峰中考)一艘轮船顺水航行的速度是20海里/小时，逆水航行的速度是16海里/小时，则水流速度是2海里/小时．
8．(教材P 106习题T6变式)一架飞机在两个城市间飞行，无风时每小时飞行552 km ，在一次往返飞行中，飞机顺风飞行用了5.5 h ，逆风飞行用了6 h ，求这次飞行的风速．
解：设这次飞行的风速为每小时x km /h ，依题意，得 5．5(552＋x)＝6(552－x)． 解得x ＝24.
答：这次飞行的风速为24 km /h . 知识点4 过桥梁(隧道)问题
9．一列火车长150 m ，以15 m /s 的速度通过600 m 的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是(C )
A ．30 s
B ．40 s
C ．50 s
D ．60 s 02 中档题
10．某公路的干线上有相距108 km 的A 、B 两个车站，某日16点整，甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发，相向而行，已知甲车的速度为45 km /h ，乙车的速度为36 km /h ，则两车相遇的时间是(B )
A ．16：20
B ．17：20
C ．17：40
D ．16：40
11．我国古代名著《九章算术》中有一个问题，原文：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：野鸭从南海起飞，7天后到达北海；大雁从北海起飞，9天后到达南海．今野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，几天后相遇？设x 天后相遇，可列方程为(B )
A ．(7＋9)x ＝1
B ．(17＋1
9)x ＝1
C ．(19－17)x ＝1
D ．(17－1
9
x)＝1
12．A ，B 两地相距480 km ，一列慢车从A 地开出，每小时走60 km ，一列快车从B 地开出，每小时走65千米． (1)两车同时开出，相向而行，x h 相遇，可列方程(60＋65)x ＝480；
(2)两车同时开出，相背而行，x h 后两车相距620 km ，可列方程(60＋65)x ＋480＝620； (3)慢车先开1 h ，同向而行，快车开出x h 后追上慢车，可列方程(65－60)x ＝480＋60×1.
13．某行军纵队以7 km /h 的速度行进，队尾的通讯员以11 km /h 的速度赶到队伍前送一封信，送交后又立即返回队尾，共用13.2 min ，则这支队伍的长度为0.72km .
14．某人从甲地到乙地，水路比公路近40千米，但乘轮船比汽车要多用3小时，已知轮船速度为24千米/时，汽车速度为40千米/时，则水路和公路的长分别为多少千米？
解：设水路长为x 千米，则公路长为(x ＋40)千米，根据题意，列方程得
x 24＝x ＋4040
＋3.解得x ＝240. x ＋40＝280.
答：水路长240千米，公路长280千米．
15．快艇从A 码头出发，沿河顺流而下，途经B 码头后继续顺流驶向C 码头，到达C 码头后立即反向驶回B 码头，共用10 h ，若A ，B 相距20 km ，快艇在静水中航行的速度是40 km /h ，河水的流速是10 km /h ，求B ，C 间的距离．
解：设B ，C 间的距离为x km ，由题意，得
20＋x 40＋10＋x
40－10
＝10.解得x ＝180. 答：B ，C 间的距离为180 km . 03 综合题 16．小明和他哥哥早晨起来沿长为400 m 的环形跑道练习跑步，小明跑2圈用的时间和他哥哥跑3圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，结果经过2分40秒他们第一次相遇，若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？
解：设小明的速度为x m /s ，则他哥哥的速度为3
2x m /s .由题意，得
160x ＝160×3
2x －400.
解得x ＝5.
则小明的哥哥的速度为5×3
2＝7.5(m /s )．
设经过y s 他们第一次相遇． 由题意，得(5＋7.5)y ＝400. 解得y ＝32.
答：经过32 s 他们第一次相遇．。