2020届四川省成都市高三第一次调研考试数学(文)试题

2020届四川省成都市高三第一次调研考试
文科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
(1)(4)0A x x x =+-≤，{}
2log 2B x x =≤，则A
B =
A ．[]2,4-
B ．[)1,+∞
C ．(]0,4
D ．[)2,-+∞ 2.若复数
21a i
i
+-在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a = A ．2 B ．-2 C ．1 D ．0 3.已知直线l 和平面α、β，且l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数y ＝tan(
123
x π
+）的最小正周期为 A.4π B.2
π
C.π
D.2π
5.设直线012:1=+-y x l 与直线03:2=++y mx l 的交点为A ；Q P ,分别为21,l l 上任意两
点，点M 为Q P ,的中点，若||2
1
||PQ AM =
，则m 的值为 A ．2 B ．2- C. 3 D ．3-
6.在ABC △中，sin B A =，BC =
4
C π
=
，则AB =
A ．5 C.．
7.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，
2V ，则
A ．122V V >
B ．222V V = C.12163V V -= D ．12173V V -= 8．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是 A.
53 B.54 C.43或53 D.53或5
4
9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线x ＝6
π
对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象 A ．关于直线x ＝－3
π
对称 B ．关于直线x ＝6
π
对称 C ．关于点（
3π
，0）对称 D ．关于点（
56
π
，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为 A ．18π
B ．
212
π
C ．21π
D ．42π
11.过抛物线C ：2
8y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且10AB =，则原点到l 的距离为
A
B
C
D
12. 设函数()2
ln ,01
65,1
x x f x x x x -<≤⎧=⎨
-+->⎩.若曲线20kx y --=与函数()f x 的图象有4个不同的公共点,则实数k 的取值范围是
A
．(6)e - B
．(6)e - C. 2(,2)3
D ．2(,)3
e
第Ⅱ卷（第Ⅱ卷(非选择题,共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上. 13．已知⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则 α=__________．
14．若,x y 满足约束条件 25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，，， 则 z x y =+ 的最小值为__________．
15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足0=++PC PB PA ,
则||OP ＝_____.
16. ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则B cos 的最小值为________.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分 12分） 已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2
－5n (n ∈N +）．
（I ）求数列｛n a ｝的通项公式；（II ）求数列｛1
2
n
n a +｝的前n 项和Tn .
18. （本小题满分 12分）
在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方法，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
（2）若从年龄在[55,65)，[65,75)调查的人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K
a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19. （本小题满分 12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AA ==，D 为棱1CC 的中点11AB A B O =.
（1）证明：1//C O 平面ABD ；
（2）已知AC BC ⊥，ABD △，E 为线段1A B 上一点，且三棱锥C ABE -的体积为
2
3
，求1BE BA .
20. （本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
4x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .
（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M .
21.（本小题满分12分）
已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a R ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 在点(1,(1))f 点处的切线方程； （Ⅱ）当1≥x 时，)(x f ≤
1
ln +x x
恒成立，求a 的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程(10分)
坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为]2
,0[,cos 2π
θθρ∈=.
（I ）求C 的参数方程；
(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：23+=x y 垂直，根据（1）中你得到的参数
方程，确定D 的直角坐标.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数()2,f x x x a x =++-∈R ；
（I ）若0a <，且()2log 2f x >对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若0a >，且关于x 的不等式()3
2
f x x <
有解，求实数a 的取值范围.
文科数学答案
一、选择题
1、C
2、B
3、A
4、D
5、A
6、A
7、D
8、D
9、D 10、C 11、D 12、C 二、填空题
13．1- 14．
3 15. 16.1
2
. 三．解答题 17、 解：（Ⅰ） 因为11,1
,1
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨
->⎩，
所以+22
4,14,1
26(N )5(1)5(1),126,1n n n a n n n n n n n n n -=-=⎧⎧===-∈⎨⎨---+->->⎩⎩
……………4分
（Ⅱ）因为
13
22n n n
a n +-=， 所以1212143
2222
n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++
2311214322222
n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：12112113
22222
n n n n T +--=++⋅⋅⋅+- (8)
分
化简得11112
22n n n T +-=--， 所以1
12
n n n T -=--、 (12)
分
18.解:（1）根据频数分布，填写22⨯列联表如下：
计算观测值2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.36710.828≈>，
对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信
交流的态度与人的年龄有关”；……………6分
（2）年龄[)55,65中有5人，不赞成的记为3A ，4A ，5A ；赞成的记为1A ，2A ，年龄[)65,75中有5人，不赞成的记为2B ，3B ，4B ，5B ，赞成记1B ，则从年龄[)55,65，[)65,75中各取1人共有25种可能，结果如下：
11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，32A B ，
33A B ，34A B ，35A B ，41A B ，42A B ，43A B ，44A B ，45A B ，51A B ，52A B ，53A B ，54A B ，55A B ……………8分
恰好有1人使用微信交流的共有11种可能，结果如下：
12A B ，13A B ，14A B ，15A B ，22A B ，23A B ，24A B ，25A B ，31A B ，41A B ，51A B ……………
10分
所以从年龄在[)55,65，[)65,75调查的人中各随机选取一人进行追踪调查，选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为一人的概率11
25
P =
.……………12分 19. （1）证明：取AB 的中点F ，连接OF ，DF ，
∵侧面11ABB A 为平行四边形，∴O 为1AB 的中点， ∴11//
2OF BB ，又111
//2
C D BB ，∴1//OF C D ， ∴四边形1OFDC 为平行四边形，则1//C O DF .
∵1C O ⊄平面ABD ，DF ⊂平面ABD ，∴1//C O 平面ABD .……………6分 （2）解：过C 作CH AB ⊥于H ，连接DH ， ∵DC ⊥平面ABC ，∴DC AB ⊥. 又CH
CD C =，∴AB ⊥平面CDH ，∴AB DH ⊥.
设BC x =
，则AB =
CH =
，DH == ∴ABD △
的面积为
12AB DH ⨯==，∴2x =. 设E 到平面ABC 的距离为h ， 则12
22323
C ABE E ABC h V V --==⨯⨯⨯=，∴1h =，∴E 与O 重合，
112BE BA =.……………12分
20.解：（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2
440x kx -+=. (1) 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.
代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. ……………3分 设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为2
2
(1)4x y +-=． ……………5分
（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，1
2y x '=，设切点分别为211(,
)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22
MB x
k =，
切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即21111
24
y x x x =-， 切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即22211
24
y x x x =-． ……………7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124x x x -=
-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2
02211124
x x x -=-. ②
所以1x ，2x 是方程2
011124
x x x -=-的两实根，
由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……………9分
因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ， 所以22
121020()()(1)(1)44
x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r 222
2
1212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣
⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=uuu r uuu r
.
所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ……………12分 21．解：(I)因为/
1
()(0)f x a x x
=
-> 所以/
(1)1f a =-，(1)0f =
)(x f 在点(1,(1))f 点处的切线方程为(1)(1)y a x =--……………2分
(II)1
)
1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f , 令)1)(1(ln )(2
≥--=x x a x x x g ,ax x x g 21ln )(-+=', 令()()ln 12F x g x x ax '==+-,12()ax
F x x
-'=
,……6分 (1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增，
[)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,不符合题意从而,01
x lnx
-f(x)≥+.……8分
(2)111
0a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a
''<<
>∴∈若当在递增, g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.……………10分
[)1
(3),()01,2
a F x '≥
≤+∞若在恒成立, [)02a -1(1)g (x )g 1,(x )g ≤='≤'+∞'∴递减，在,
[)01
ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-
=≤∴+∞x x
x f g x g 递减在从而, 综上所述，a 的取值范围是
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,21………………12分 22.(10分) (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为1cos ,
sin ,
x t y t =+⎧⎨
=⎩(t 为参数，0≤t ≤π)．………………………5分
(2)设D(1＋cos t ，sin t)．由(1)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆． ∵C 在点D 处的切线与l 垂直，∴直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3.
故D 的直角坐标为1cos
,sin
3
3π
π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，即
.3,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
……………………………10分 23．解：（1）()222f x x x a x x a a =++-≥+-+=+， ∵()2log 2f x >对任意x ∈R 恒成立， ∴24a +>，解得6a <-或2a >，
∵0a <，∴实数a 的取值范围是(),6-∞-.………………5分
（2）当0a >时，()2f x x x a =++-22,22,222,x a x a x a x a x a --+<-⎧⎪
=+-≤≤⎨⎪+->⎩
，
若关于x 的不等式()3
2
f x x <
有解， 则函数()f x 的图象与直线3
2
y x =有两个交点，
∴3
22
a a +<，解得4a >.
∴实数a 的取值范围是()4,+∞.………………10分
- 11 -。