三角形、梯形中位线练习题
三角形、梯形的中位线(2)
八年级数学校本练习 梯形的中位线（026）命题人:严红梅 审核人:周亚兵 时间:40分钟 班级 姓名 学号1．D 、E 、F 分别是△ABC 的AB 、AC 、BC 边上的中点，则DE=________，DE ∥_________;DE 与AF 的关系是________，四边形ADFE 是_______________形.2.在梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 是腰的中点,则MN=_________ _, MN ∥____∥_____.若MN=3,BC=5,则AD=_________.MN 将梯形分成的两部分面积比为_____.3.梯形的两条对角线将中位线分成1：2：1，则该梯形的上、下底之比为__________.4.梯形的中位线长为20cm,下底与上底之差为10cm, 则上底为_____cm,下底为______cm.5.如图,在△ABC 中,D 、E 、F 分别是B C 、A C 、AB 中点,AH ⊥BC 于点H, 若FD=8cm,则HE 长为__________cm.四边形DFEH 是__________形.6.若等腰梯形的周长为60cm,高是8cm,且腰长为中位线长的一半,则梯形的面积是__________.7.如图,DE 是△ABC 中位线,∠ACB 的平分线交DE 于F,若EF=3,则AC=__________. 8.已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD,依次连接各边中点得四边形MNPQ,下列语句: (1)若所得四边形MNPQ 为矩形,则 原四边形ABCD 为菱形; (2)若所得四边形MNPQ 为菱形,则原 四边形ABCD 为矩形; (3)若所得四边形MNPQ 为矩形,则AC ⊥BD; (4)若所得四边形MNPQ 为菱形,则AC=BD;(5)若所得四边形MNPQ 为正方形,则AC ⊥BD,AC=BD.其中正确的序号为________________________________.9.如图,在△ABC 中,D 、E 、F 、G 为BC 均匀分布的点,H 、I 、M 、N 为AC 的五等分点,且GH ∥FI∥EM∥DN∥BA.若GH=2cm,AB=8cm,则EM=____________,FI=______________.5题图9题图10.如图,B D 、CE 是△ABC 的中线,BD 和CE 相交于点O,G 、H 分别是O B 、OC 的中点.若ED=8,求GH.CAN C11．在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=8cm ，BC=12cm ，E 、F 分别B D 、A C 的中点，求EF 的长。
三角形中位线经典测试题
三角形中位线经典测试题1、已知三角形ABC，其中AC与BD交于点O，BC边中点为E，OE=1，求AB的长。
2、已知三角形ABC，其中DE是BC边的中位线，DE=2cm，求BC的长。
3、已知三角形ABC，要测量A、B两点间的距离，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30米，求AB的长。
4、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形。
5、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有4个。
6、已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
7、已知三角形三边长分别为6、8、10，则它的中位线构成的三角形的面积为24.8、已知△ABC中，AD=11/44AB，AE=AC，BC=16，求DE的长。
9、已知四边形ABCD中，M、N、P、Q分别为AB、BD、CD、AC的中点，证明四边形MNPQ是平行四边形。
10、已知四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E、F分别是对角线AC、BD的中点，证明四边形ADEF是平行四边形。
11、已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA、EF的延长线交于点M，CD、EF的延长线交于点N，证明∠AME=∠XXX。
12、已知△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于E，F为BE的中点，证明AF∥DE。
13、已知四边形ABCD中，M是OB的中点，连接AM并延长至P，使MP=AM，连接DP交AC于N，证明（1）MN∥AD；（2）S四边形MPNQ=S△XXX。
14、已知△ABC中，AD是外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，证明（1）DE∥AB；（2）DE=1/2(AB+AC)。
15、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线相交于点O，∠AOB=60°，且E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，证明△EFM是等边三角形。
三角形、梯形中位线(练习)
《三角形、梯形的中位线》基础练习姓名班级学号成绩【知识要点】1．三角形、梯形中位线的概念及其性质，并利用中位线的性质解决有关问题．2．三角形中位线定理：3．梯形中位线定理：4．梯形面积公式可用来表达．5．图形中出现多个中点时一些添加辅助线的基本思想和方法．一．填空题(3分×10 = 30分)1．若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为48㎝，则中位线长为㎝．2．已知梯形的高是4，面积是32，上底长为4，则梯形的中位线长为．3．已知等腰梯形的上、下底长分别为2㎝和6㎝，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为．4．已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8㎝的等边三角形，则此梯形的中位线长为㎝．5．梯形的上、下底长分别为6、10，则由中位线分得的两个梯形的面积之比为．6．梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为．7．若等腰梯形的腰长是5cm，中位线是6cm，则它的周长是㎝．8．若梯形的一底长是14cm，中位线长是16cm，则另一底长为㎝．9．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是．10．梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位之比是．二．选择题(3分×6 = 18分)1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）以上都不对3．若顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原四边形的对角线（）（A）互相平分（B）互相垂直（C）相等（D）相等且互相平分4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）（A）等腰梯形（B）矩形（C）平行四边形（D）菱形或对角线互相垂直的四边形5．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）（A）3cm （B）26cm （C）24cm （D）65cm6．已知直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ）（A ）a 43 （B ） （C ）a 45 （D ）都不对 三．解答题 (6分×6 + 8分×2 = 52分)1．如图，已知△ABC 中，D 是AB 上一点，AD =AC ，AE ⊥CD 于E ，F 是BC 的中点．求证：BD =2EF ．2．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，AP 是∠BAC 的平分线，BP ⊥AP 于点P ．求证：AC -AB =2PM ．3．已知在△ABC 中，BC =15，D 、G 为BC 的三等分点，AD =13，AG =12，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．求四边形EFGD 的周长和面积．4．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？A BD H G FE o D C A P M CB A5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AE 与BF 相交于点G ，DE 与CF 相交于点H ，试说明GH ∥AD 且GH=21AD ．6．如图，已知CD 是△ABC 的高，E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 上的中点．求证：FG =DE ．7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，EF 是中位线，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ， EF =12㎝．求梯形ABCD 的面积．8．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形吗？试画出图形加以说明．如果取这样四边形各边中点并顺次联结起来，构成的四边形是什么四边形？FED C B A。
3.6 三角形、梯形的中位线(含答案)-
3.6三角形、梯形的中位线[趣题导学]按要求画图：分别画一个任意四边形、矩形、等腰梯形、对角线相等的四边形、菱形、对角线互相垂直的四边形，然后分别取这些图形各边的中点，再把每个图形四条边的中点分别顺次连结，你有什么发现？解答：容易发现（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是平行四边形； （2）顺次连结矩形各边中点所得图形是菱形； （3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是菱形；（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是菱形； （5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是矩形；（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是矩形. [双基锤炼] 一、选择题1、已知△ABC 的周长为50cm ，中位线DE =8cm ，EF =10cm ，则另一条中位线DF 的长是 （ ）A ．5cmB ．7cmC ．9cmD ．10cm2、梯形ABCD 中，CD AB //，cm 2=AB ，cm 8=CD ，M 、N 分别为对角线AB 、BD 中点，则MN 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm3、一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2，则这梯形的高是 （ ） A ．32cm B ．6cm C ．62cm D ．3cm4、等腰梯形的两腰延长后相交，所构成的三角形的中位线恰好是该梯形上底，则该三角形中位线与原梯形的中位线的比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：1D ．2：3 二、填空题5、如图3.6-1，在△ABC 中，若D 、E 、F 分别是CB 、AB 、AC 的中点，则有 （1）图中有 个平行四边形；（2）若DE =4，则AC = ；若DF =5，则AB = ；若EF =6，则CB = ．（3）若△DEF 的周长为15cm ，则△ABC 的周长为 cm ；若△ABC 的面积为40cm 2，则△DEF 的面积为 cm 2．30；FCED BAO A GH FEDCB图3.6-1 图3.6-26、如图3.6-2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，则（1）四边形EFGH 是 形；（2）若四边形EFGH 的周长为30cm ，则梯形ABCD 的周长为 cm ．7、等腰梯形中位线长为4cm ，腰长为6cm ，它的周长是__ ______．8、已知梯形上、下底之比为2∶3，中位线长20cm ，则梯形上底和下底分别是________． 9、如图3.6-3，梯形ABCD 中，BC ∥AD 对角线AC ⊥BD ，且AC =5cm ，BD =12cm,则该梯形的中位线的长是 cm ．DACBADNMCE B图3.6-3 图3.6-410、如图3.6-4，在Rt △ABC 中，AB 是斜边，DE ∥MN ∥BC ，且AE =EN =NC =5cm ，DE =4cm ．MN 的长是 cm ；BC 的长是 cm ；BCED S 梯形= cm 2． 三、解答题11、已知：如图3.6-5，E 、F 、G 、H 分别是CD 、BC 、AB 、DA 的中点，试说明：四边形EFGH 是平行四边形．HGADFCEB图3.6-512、如图3.6-6，在等腰梯形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 互相垂直，试说明：这个等腰梯形的中位线与高相等．[能力提升] 一、综合渗透1、如图3.6-7，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是OA 、OD 的中点，BC =8cm 。
三角形中位线与梯形练习#精选.
源尚教育 数学学习内容一、 三角形与梯形的中位线 二、梯形讲 解知识回顾1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的。
4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
1．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm2．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m3．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A ．20081 B ．20091 C ．220081 D ．2200914．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF •的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．405. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为梯形的中位线， EF 交梯形的对角线BD 、AC 于M 、N ，图中有几条三角形的中位线（ ）ED NMFC B AA. 2条B. 3条C. 4条D. 5条6. 如图，梯形的一条对角线BD 将中位线EF 分成的两部分的比为1：2，则梯形上下两底的比为（ ）源尚教育 数学E D MF CBAA. 1：2B. 1：4C. 2：3D. 1：37. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形的一个内角是（ ）A. 90°B. 60°C. 45° D . 30°8. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10cm ，则梯形的高为（ ）D CBAA. 8cmB. 5cmC. 10cmD. 11cm9. 梯形的面积是242cm ，高为6cm ，那么它的中位线长为（ ）A. 8cmB. 30cmC. 4cmD. 18cm10．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm 。
3.6 三角形、梯形的中位线(2)(1)
类比定义
A
M B N M
A
D
N C
C
B
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的 中位线。
梯形的中位线与底边之间既有位置上的 平行关系，也有数量上的特殊关系。 梯形面积公式
S梯形
中位线x高
1 （a b)h 2
练一练
1.梯形的上底长为４cm，下底长为6cm， 则中位线长为_____ 5 cm。 ２.梯形的一底长为６cm，中位线长 为10cm，另一底长为_____cm 。 14 3.梯形的高为10cm，中位线长为 2. 150 15cm，则梯形的面积为_____cm 4.梯形的上下底长之比为2:3，中位线 ６ 长为5cm，则下底长为____cm.
5.等腰梯形的腰长是6cm， 中位线长是5cm，则梯形的周长为 22 。 6.若梯形的面积为32，高为8，则梯形的 中位线长为 4 。 7.梯形上底与中位线之比是2：5，则 8:5 梯形下底与中位之比是 。 9.如图，DE是三角形ABC的中位线，FG为 6 梯形中位线，DE=4，则FG=__________
A D F B E G C
例题
已知：梯子各横木间互相平行，且 A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， B1B2=B2B3=B3B4=B4B5。
A5 A4
32 36 40
B5 B4 B3 B2 B1
A3
（1）若横木A1B1=48cm， A2 A2B2=44cm，求：横木A3B3、A4B4、 A1 A5B5的长。 （2）若A1B1+A5B5=a，求A2B2+A3B3+A4B4
44 48
例 2 ： 如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， AB=AD+BC ， P 为 CD 的 中点.则AP、BP有怎样的位置关系？ 为什么？
中位线练习题精选
三、解答题：
1、梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，求该梯形的中位线长.
2、已知，如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。
求证：EF=DG且EF∥DG。
3、如图，在锐角三角形ABC中，AB＜AC，AD⊥BC，交BC与点D，E、F、G分别是BC、CA、AB的中点。求证：四边形DEFG是等腰梯形
3.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60cm,则原三角形的周长为_______.
4.已知梯形的上底长为3cm，下底长为7cm，则此梯形中位线长为__________cm．
5.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是____________.
6.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点,当△ABC满足条件___________时,四边形AFDE是菱形.
二、选择题：
1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）
A.互相平分B.互相垂直C.相等D.相等且互相平分
2、顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.
A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形
3、已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.
4.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在B C上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连结EF．
（1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；
（2）若△ABD的面积是6．求四边形BDFE的面积
5、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，AE与BF相交于点G，DE与CF相交于点H，试说明GH∥AD且GH= AD
梯形及中位线(习题及答案)
梯形及中位线（习题）➢ 例题示范 例 1：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且 AC ⊥ BD ，AF 是梯形的高．若梯形 ABCD 的面积为 49，则高 AF 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：由 AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点 D 作 DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ，则四边形 ACED 是平行四边形． 因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以S △ABD = S △CDE ， 则等腰梯形 ABCD 的面积可转为△BDE 的面积．在等腰梯形 ABCD 中，AC =BD ，所以 DE =BD ，即△BDE 是等腰 直角三角形．过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，则 AF =DG ，所以S △BDE= 1 BE ⋅ DG = 1 ⨯ 2DG ⋅ DG = DG 2 = 49 ， 2 2则 AF =DG =7．例 2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形 BCED 的中位线， 若 DE =4cm ，则 FG 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为 DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以 BC =8 cm ．因为 FG 是梯形 BCED 的中位线，所以 FG = BC + DE= 6 cm ．2【过程书写】∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8．∵FG 是梯形 BCED 的中位线，∴FG =BC + DE = 8 + 4 = 6 ，1例3：如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AD，BD，BC，AC 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BDC．AB=CD D．AD=BC【思路分析】题目中出现多个中点，考虑中点四边形．EF 是△ABD 的中位线，EF∥AB，EF =1AB ；2HG 是△ABC 的中位线，HG∥AB，HG =1AB ；2所以EF∥HG，EF=HG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形.当AB=CD 时，EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形．故选C．➢巩固练习1.如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，AD 的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．6C．4 D．32.下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3.下列美丽的图案，是中心对称图形的是（）A.B ．C．D．4.下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（）A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种5.已知等腰梯形的上底为6cm，下底为8cm，高为腰长为．cm，则其6.若直角梯形的一腰长为18cm，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为．7.在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD 于点D．若AB=1，AD=2，CD=4，则BC 的长为．8.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°．若AD=2，BC=5，则CD 的长为．第8 题图第9 题图9.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，若AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，则该梯形的面积为．10.如图，A，B 两点被池塘隔开，在A，B 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC 和BC 的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B 两点间的距离为．311.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别是AC，AB 的中点．若DE=3，CE=5，则AC 的长为．第11 题图第12 题图12.如图，在△ABC 中，AB=AC=9cm，AD⊥BC，M 为AD 的中点，直线CM 交AB 于点E，F 为CE 的中点，连接DF，则DF 的长为．13.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E，F 分别是AB，CD 的中点．若AD=BC=8，EF=7.6，则△PEF 的周长为．第13 题图第14 题图14.如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若BC=10cm，则FG 的长为．15.若梯形中位线的长是梯形高的2 倍，且梯形的面积为18cm2，则这个梯形的高为（）A．6 cm B．6cm C．3 cm D．3cm 2216.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC=BD 时，四边形EFGH 是形；当AC⊥BD 时，四边形EFGH 是形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．➢思考小结1. 对于梯形，我们的处理方式往往是通过做辅助线，把它转化为平行四边形或者是特殊的三角形进行处理．请添加合适的辅助线，将以下梯形转化为平行四边形或特殊三角形．【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. B4. C5. 2 cm6. 9 cm7. 138. 39. 24 cm210. 40 m11. 812. 3 cm13. 15.614.15cm 215. D16.菱，矩，AC=BD 且AC⊥BD ➢思考小结1. 略。
《梯形中位线》预习作业
《梯形中位线》预习作业
安丘市东埠中学董现宝
实验与探究一
（1）如图，MN是梯形的中位线，度量∠AMN 与∠B的大小，你发现梯形的中位线MN与两底AD、BC有怎样的位置关系？
分别量出线段MN ，AD ，BC的长，你发现MN 与（AD+BC）之间有怎样的数量关系？再画一个梯形试一试。
（2）如图1，MN是梯形的中位线，把梯形ABCD沿按AN剪开，将△ADN按图2的方式放置，使D与C重合，DN与CN重合，你拼出了一个什么图形？
（3）观察拼出的图形，你发现线段MN是该图形的一条什么重要线段？MN与两底AD、BC有怎样的位置关系？有怎样数量关系？（4）由剪拼实验（1）（2）（3），你发现梯形的中位线与两底边之间有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？
实验与探究二
直角三角形。
八年级数学三角形中位线培优专题训练
八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。
求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。
求MN 的长。
分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。
辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。
梯形中位线练习题
梯形中位线练习题1、如果梯形的两条对角线将两腰中点的连线分成三等份，并且它的较长的底边为8cm，求它较短的底。
2、已知EF为梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2 ，则梯形ABCD的面积是（）3、若梯形的上底为5cm，下底为9cm，则这个梯形被其中位线所分成的两个梯形的面积的比是（）.4、如图，在梯形ABCD中，A D∥BC，AB=CD=4，对角线AC⊥BD与点O，∠ABC=60°，EF是梯形的中位线，求EF的长。
5、如图，已知点E为平行四边形ABCD的边DC的延长线上的点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G；连结AC交BD于点O；连结OF。
试猜想线段OF与AB的关系，并证明你的结论。
6、AD是△ABC的中点，E、G分别是AB、AC的中点，GF∥AD交ED得延长线于点F，(1)猜想：EF与AC有怎样的关系？（2）试证明你的猜想。
7、四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（）。
8、已知，E、F、G、H是四边形ABCD的中点，当四边形满足条件（）是，四边形EFGH为菱形。
9、在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H，若AD=6，BC=10，则GH的长度是（）10、梯形的中位线长为15cm，一条对角线把它分成3:2两部分，则梯形的上底为（）cm，下底为（）cm。
11、等腰梯形的对角线互相垂直，中位线的长为m，则梯形的面积为（）12、EF为梯形ABCD的中位线，AH平分∠BAD，交EF于M，交BC于点H，连结DM并延长交AB于点N，求证：△AND为等腰三角形。
13、一张矩形纸片，只用双手，你能将直角三等分吗？陈老师是按以下步骤折叠的。
第一步：先把矩形纸片对折，设折痕为MN。
第二步：再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE。
点B在MN上的对应点为H，得Rt△AHE。
第三步：连结AH，如图，此时，陈老师告诉同学们，AE、AH就是直角∠BAD的三等分线。
22.6 三角形、梯形的中位线(3)
22.6 三角形、梯形的中位线（3）[中位线在四边形中的综合运用]第一组22-351、如图22-35-1，梯形ABCD的中位线EF长是12cm，对角线AC分中位线所成两条线段的比是2：1，则梯形两底的长分别是（）A、8cm，16cmB、10cm，14cmC、6cm，18cmD、8cm，12cm2、如图22-35-2，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形的中位线，S△CEH，DH为梯形的高，则下列结论：①∠BCD=60º；②四边形EHCF为菱形；③S△BEH=12其中正确结论的个数为（）A、0B、1C、2D、33、等腰梯形的高是4，对角线与下底的夹角是45º，则该梯形的中位线长为（）A、4B、6C、8D、104、如图22-35-3，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，且AN：ND=2：1，则S△DMN：S等于（）四边形ANME5、如图22-35-4，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中一个四边形的名称：。
6、如图22-35-5，梯形ABCD中，AB//CD，AD=CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1=35º，则∠D= 。
7、已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠B=45º，它的高为2cm，中位线长为5cm，则上底AD等于cm。
8、若等腰三角形的两条中位线长分别为3和4，则它的周长为。
9、在梯形ABCD中，AB//CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为6.5，则梯形ABCD的面积为。
10、如图22-35-6，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG 上，若AB=√3，则AE的长为。
11、如图22-35-7，在△ABC中，∠ACB=90º，DE是ABC的中位线，点F在AC延长线上，且CF=1AC。
3.6 三角形、梯形的中位线(第一课时)
苏科版八年级数学（上） 苏科版八年级数学（ 数学
三角形的中位线和三角形的中线不同
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
A
D
E
B
F
C
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典型例题
例2：△ABC中，D、E、F分别是AB、 AC、BC的中点 ABC中 分别是AB、 AC、BC的中点 AB AF与DE互相平分 说明 ：AF与DE互相平分
A
D
E
B
F
C
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典型例题
已知：如图△ABC中 BM,CN是 ABC， 例3：已知：如图△ABC中，BM,CN是∠ABC， ACB的平分线 的平分线， AM⊥BM于 AN⊥CN于 ∠ACB的平分线，且AM⊥BM于M，AN⊥CN于N， 说明： 说明：MN∥BC
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如图， 、 两棵树被池塘隔开 两棵树被池塘隔开， 如图，A、B两棵树被池塘隔开，现 在要测量出A、 两树间的距离 在要测量出 、B两树间的距离 ，但又 无法直接去测量，怎么办？ 无法直接去测量，怎么办？
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A E
H
1.连结 AC， 说明：EF∥ HG， EF=HG 1.连结 AC， 说明： HG， D 2.连结 2.连结 BD 说明： ∥FG， 说明：EH ∥FG， EH=FG 3.连结AC、 说明：EF∥HG， 连结AC G 3.连结AC、BD ，说明：EF∥HG， EH∥FG 4.连结AC、BD， 说明：EF=HG， 4.连结AC、BD， 说明：EF=HG， EH=FG 连结AC
3.6三角形、梯形的中位线(二)
ＨＡ ＢＣＭDＮ G3．6 三角形、梯形的中位线（二）一、基础训练 1．连接梯形叫做梯形的中位线．2．梯形的中位线平行于，并且等于．3．已知梯形上、下底长分别为3和5，则中位线长为_____． 4．若梯形的中位线为l ，高为h ，则梯形的面积S ＝_____．5．如果等腰梯形的周长为30cm ，腰长为6cm ，则它的中位线长为 cm ． 二、典型例题例1 如图，梯形ABCD 的中位线为MN ，分别交对角线AC 、BD 于点H 、G ， 求证：MG ＝HN ，GH ＝12(BC －AD )． 分析：由MN 为梯形ABCD 的中位线，得MN ∥BC ∥AD ，则点G 、H 也分别为BD 、AC 的中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题．例2如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 垂直相交于点O ，MN 是梯形的中位线，∠DBC =30°，求证：AC =MN ．分析：过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，将梯形的问题转化为Rt △BDE 的问题．三、拓展提升如图，ABC ∆和形外直线l ，中线AD 延长线交l 于D '，l A A ⊥'，l B B ⊥'，l C C ⊥'，A '，B '，C '为垂足，D D AD '=．求证：C C B B A A '+'='．分析：作l D D ⊥''于D ''，则DD ''既是△AA ′D ′的中位线，又是梯形BCC ′B ′的中位线．从而得出：C C B B A A '+'='．N MODCBAEM DBA四、课后作业1．如果梯形的上底长与下底长的比为2:1，中位线的长为24，那么梯形的下底长为_____． 2．如图，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠45B ，BC AE ⊥于点E ，cm AD AE 2==，则这个梯形的中位线长为_______cm ．）3． 如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，中位线EF 交对角线BD 于点O ，12=EF ，且2:1:=OF EO ，则=BC _______．4．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，对角线BD AC ⊥，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则该梯形的中位线的长等于______cm ．5．如图，等腰梯形ABCD 的周长是80cm ，如果它的中位线EF 与腰长相等，它们的高是30cm ． 求这个梯形的面积．6．如图，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，AC ，BD 与MN 交于F ，E ， AD ＝30cm ，BC ＝40cm ，求EF 的长．7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为AD 的中点，CM 为∠BCD 的平分线，求证：BC = A B +CD ．（第2题图）（第4题图）（第3题图）3．6 三角形、梯形的中位线（二）答案一、基础训练 1．两腰中点的线段 2．上下底，上下底和的一半 3．44．12lh 5．2 二、典型例题例1∵MN 为梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥BC ∥AD ．∴点G 、H 为BD 、AC 的中点．∴MG ＝12 BC ， NH ＝12 BC ， NG ＝12 AD ．∴MG ＝HN ，GH ＝NH －NG ＝12(BC －AD )．例2过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，∵AC ⊥BD ，∴DE ⊥BD ．∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 为平行四边形．∴AD ＝CE ，AC ＝DE ．∵∠DBC =30°，∴DE ＝12 BE ．∵MN 是梯形的中位线，∴MN ＝12(BC ＋AD )＝12(BC ＋CE )＝12 BE ．∴AC ＝MN ．三、拓展提升作l D D ⊥''于D ''，则DD AA BB C C '''''∥∥∥．∵D D AD '=，∴DD ''为△AA ′D ′的中位线（利用同一法或全等证明，过程略），∴2AA DD '''＝．同理DD ''又是梯形BCC ′B ′的中位线（理由同上，略），∴BB C C DD ''''+=．∴C C B B A A '+'='． 四、课后作业 1．322．43． 16 4．6．5 5．2600cm 6．EF ＝5cm7．取BC 中点N ，连结MN ，证MN =NC =12BC ．。
初二第十四次三角形和梯形的中位线
三角形和梯形的中位线一、知识点梳理:1、三角形与梯形中位线的定义。
2、三角形与中位线的性质。
二、例题简析与练习：例1、已知如图，点O 是ABC 内一点，D 、E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CB 、CA 的中点，求证：四边形DEFG 是平行四边形练习1、四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相垂直，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：四边形EFGH 为矩形。
例2、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D 使AB=BD ，E 是AB 的中点。
求证：CD=2CE练习2、如图，△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE=21AC例3：已知：如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，M 、N 分别为OA 、OD的中点。
求证：四边形BCNM 为梯形。
练习3、如图，自△ABC 的顶点A 向∠B 和∠C 的平分线作垂线，D 、E 为垂 足．求证：DE ∥BC ．A BCDE ABCDA BC DEFGH例4、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ＋BC ，M 为CD 的中点．求证：AM ，BM 分别平分∠DAB 和∠CBA ．练习4、如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7cm ，对角线AC⊥BD ，∠BDC ＝30º，求梯形的高AH 。
例5、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，△ADE 和△BCE 是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别为P 、Q 、M 、N ，求证：四边形PQMN 为菱形。
练习5、已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，CD ＝4cm ，中位线EF ＝6cm ，且交对角线AC 于点P ，∠B ＝60º，AC ⊥BC ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，求四边形MENF 的周长。
第三章 第13课时 三角形、梯形中位线(1)
第13课时三角形、梯形中位线(1)【基础巩固】1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2 cm，则BC的长是( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDAC．BC＝2AD D．BD⊥AC3．顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形C．以上都不对4．已知三角形的3条中位线分别为3 cm、4 cm、6 cm，则这个三角形的周长是( ) A．3 cm B．26 cm C．24 cm D．65 cm5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是_______．7．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8 cm，则原三角形的周长为_______cm．8．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝4 cm，则OE的长为_______ cm．9．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．求证：四边形DBEF 是平行四边形．10．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．11．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，AE与BF相交于点G，DE与CF相交于点H．求证：GH∥AD且GH＝12 AD．【拓展提优】12．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接四边形中点所得的四边形是( ) A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对13．在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.514．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5 cm，BC＝8 cm，DE＝4 cm，则图中阴影部分的面积为( ) A．1 cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3 cm215．如图，点M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是_______．16．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为_______．17．如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD ＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝ME．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F．求证：∠BEN＝∠NFC．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．猜想四边形EHFG的形状并说明理由．参考答案【基础巩固】1．C2．C 3．B4．B 5．C 6．3 7．16 8．29～11．略【拓展提优】12．A 13．D14．B 15．25 16．917．略18．略19．菱形。
三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线【知识要点】1． 三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
注意：（1）不是连结两底中点 （2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
（ ） （ ） 【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。
求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。
例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。
求证：EF=EG 。
例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为 。
2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。
3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。
4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。
三角形、梯形的中位线
H
G
D G
E G F C B
A E
C B F B
E
F
C
结论：中点四边形都是平行四边形； 若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形； 若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形.
二、例题和练习
例3. 一题多证： 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD. 以AD、AC为邻边作平 E 行四边形ACED，DC的延长线交BE于F. 求证：EF=FB. C D F 方法一：提示：延长EC交EC交AB于M. AMCD是平行四边形，AD=CM； A B M ACED是平行四边形，AD=CE. 在△EMB中，CE=CM，CF∥AB. ∴EF=FB. （推论2）
第九讲 平行线等分线段定理及三角 梯形中位线（ 形、梯形中位线（二）
主讲 宗老师
一、主要知识点
1 平行线等分线段定理及推论：
A A E D F
B
C
若AE=BE, EF∥AD∥BC, 则DF=CF.
B
E
F
若AE=BE, EF∥BC, 则AF=CF.
C
2 梯形中位线定理和三角形中位线定理：
若EF是梯形中位线， 则EF∥AD∥ BC， 1 且EF = (AD + BC). 2 若EF是△ABC的中位线， 则EF∥BC， 1 且EF = BC. 2
∵M是CD中点，F是CE中点，\ MF = ∴MNBF是平行四边形，MN=BF. ∵∠A+∠B=90°, ∠1=∠B.
1 1 DE, NB = AB. 2 2
∴∠1+∠E=90°. △BCE是直角三角形.
\ ∵ F是斜边BE的中点， BF = 1 1 1 CE= (AB - CD). \ MN = (AB - CD). 2 2 2
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三角形、梯形中位线
一、选择
1.三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.
2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点,AC=4 cm ,BC=6 cm,那么四边形CEDF 为__________,它的边长分别为_________________.
3.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______.
4. 已知梯形的上底长为3cm ，下底长为7cm ，则此梯形中位线长为__________cm ．
5.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是____________.
6. 已知D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点,当△ABC 满足条件___________时,四边形AFDE 是菱形.
7.已知等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm ．
8．如图，已知等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为5，腰AD 的长为4，则这个等腰梯形的周长为 .
9．如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数为 . 10、等腰梯形上、下底长分别为
，且两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积
为
.
二、选择题：
1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ） A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分
2、顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）.
A ．等腰梯形
B ．矩形
C ．平行四边形
D ．菱形或对角线互相垂直的四边形 3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm 4.已知D
E 是△ABC 的中位线,则△ADE 和△ABC 的面积之比是( ) (A) 1:1 (B) 1:2 (C) 1:3 (D ) 1:4
5.若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2
，则这个梯形的高等于（ ） （A ）62cm
（B ）6cm
（C ）32cm
（D ）
6.如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交
B
C
BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
7．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ）
A.
332 B. 316 C. 310 D. 3
8
8.小明作出了边长为的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。
然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。
用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是
A
．
91()44 B
．101()44 C
．91()42 D ．
10
1()42
三、解答题：
1、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，求该梯形的中位线长.
2、已知，如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点。
求证：EF=DG 且EF ∥DG 。
3、如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＜AC ，AD ⊥BC ，交BC 与点D ，E 、F 、G 分别是BC 、CA 、AB 的中点。
求证：四边形DEFG 是等腰梯形。
F E
D
C
B
A
O G F
E
D
C B A G F
E D C B A
4.如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连结EF ． （1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；
（2）若△ABD 的面积是6．求四边形BDFE 的面积
5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，
H ，试说明GH ∥AD 且GH=2
1AD
6、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 是AB 中点，连结EC 、
ED 、CE⊥DE，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由。
7、在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点．
求证：∠DEF=∠HFE ．
8、已知，如图梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MH 是梯形中位线，∠DBC ＝30o ，猜想MN 与AC 什么关系？并证明猜想
9、如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、NM 、CD 分别交于点E 、F 。
试说明∠BEN=∠NFC.
10、如图．D ，E 分别在AB ，AC 上，BD=CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于P ，Q ．求证：AP=AQ ．
C。