【精选】2020年湖北省襄阳市襄州区九年级上学期数学期中试卷及解析

2018学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x|a|+1+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a=1 B．a=﹣1 C．a=±1 D．a≠0
3．（3分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5．（3分）抛物线y=3x2，y=﹣3x2，y=x2+3共有的性质是（）
A．开口向上B．对称轴是y轴
C．都有最高点D．y随x值的增大而增大
6．（3分）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）
A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1
7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）
A．2 B．﹣1 C．D．4
9．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC 的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为．13．（3分）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时
针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=cm．
14．（3分）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．
16．（3分）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2，则∠COD的度数为．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）解方程（请选择合适的方法）：
（1）x2﹣2x=0；
（2）x2﹣3x﹣18=0；
（3）2x（x﹣5）+4=0；
（4）（x﹣1）（x+3）=12．
18．（6分）用一块长60cm，宽40cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．
19．（6分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，求AD的长．
20．（7分）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）求线段CD的长；
（2）求线段DB的长度．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（2，4），（1，1），（3，1）．
（1）将△ABC绕点P（﹣1，﹣1）旋转180°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的三个顶点坐标．
22．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＞AC，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
23．（7分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
24．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
25．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
2018学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故选：B．
2．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x|a|+1+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a=1 B．a=﹣1 C．a=±1 D．a≠0
【解答】解：由题意得：|a|+1=2，且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1，
故选：B．
3．（3分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
解得：m＞2或m＜﹣2，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的一次项系数是a=1，二次项系数b=2，
∴由韦达定理，得
x1+x2=2．
故选：A．
5．（3分）抛物线y=3x2，y=﹣3x2，y=x2+3共有的性质是（）
A．开口向上B．对称轴是y轴
C．都有最高点D．y随x值的增大而增大
【解答】解：（1）y=3x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=﹣3x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=x2+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，3）．
故选：B．
6．（3分）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）
A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1
【解答】解：由图象，得
y=2x2﹣2，
由平移规律，得
y=2（x﹣1）2+1，
故选：C．
7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（）
A．①④B．②④C．①②③D．①②③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）
A．2 B．﹣1 C．D．4
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，
∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴CD=2CE=2，
故选：A．
9．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC 的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为0．【解答】解：
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，
∴a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程为x2+1=0，该方程无实数根，舍去，
∴a=0，
故答案为：0．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为k＞．
【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
13．（3分）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= 1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
14．（3分）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2、x2=4．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2、x2=4，
故答案为：x1=﹣2、x2=4．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两
点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．
【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，
∴CD=2DE=；
故答案为：．
16．（3分）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2，则∠COD的度数为150°或30°．【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2，OE⊥AD，
∴AE=，OE==，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）解方程（请选择合适的方法）：
（1）x2﹣2x=0；
（2）x2﹣3x﹣18=0；
（3）2x（x﹣5）+4=0；
（4）（x﹣1）（x+3）=12．
【解答】解：（1）x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2；
（2）x2﹣3x﹣18=0，
（x﹣6）（x+3）=0，
x﹣6=0，x+3=0，
x1=6，x2=﹣3；
（3）2x（x﹣5）+4=0，
整理得：2x2﹣10x+4=0，
b2﹣4ac=（﹣10）2﹣4×2×4=68，
x=，
x1=，x2=；
（4）（x﹣1）（x+3）=12，
整理得：x2+2x﹣15=0，
（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0，x﹣3=0，
x1=﹣5，x2=3．
18．（6分）用一块长60cm，宽40cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．
【解答】解：设截去的小正方形的为xcm，
由题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）=800，
整理得：x2﹣50x+400=0，
解得：x1=40（舍去），x2=10．
答：截去的正方形的边长为10cm．
19．（6分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，求AD的长．
【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠BAC=120°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC=180°﹣120°=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴BD=2CD=
由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=30°，
∴AD=BD×cos∠ADB=4．
20．（7分）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）求线段CD的长；
（2）求线段DB的长度．
【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=DC=2，
CE=DC•cos30°=4×=2，
∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．
∴Rt△BDE中，BD===．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（2，4），（1，1），（3，1）．
（1）将△ABC绕点P（﹣1，﹣1）旋转180°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的三个顶点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1（﹣4，﹣6），B1（﹣3，﹣3），C1（﹣5，﹣1）．
22．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＞AC，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
【解答】证明：（1）连接BD、CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DM⊥AC
∴=，DE=DM，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC，
∴BE=CM；
（2）在Rt△DEA和Rt△DMA中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DMA，
∴AE=AM，
∴AB﹣AC=AB﹣AE+CM=2BE．
23．（7分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；
即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；
（2）y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．
24．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y
=4500；
最大值
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
25．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）
∵S
=×BO×4=6
△OAB
BO=3．所以B（3，0）或（﹣3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（﹣3，0）；（2分）
（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y=﹣x2+（k﹣1）x+4，
得﹣（﹣3）2+（k﹣1）×（﹣3）+4=0．
解得k﹣1=﹣．（4分）
∴所求二次函数的解析式为y=﹣x2﹣x+4．（5分）
（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）（8分）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得=|x+3|．
解得x=．
∴点P的坐标为（，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（，0）．
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
F
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：
︵
BD ＝
︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C 是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。

（1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2。