高考数学复习之集合与常用逻辑用语

C. 答案： C
15． (2011 江西， 5 分 )若集合
A＝
{
x|－
1≤
2x＋
1≤3}
，
B＝
{
x－ x| x
2≤
0}
，则
A∩B＝
A ． { x|－ 1≤x＜ 0}
B ． { x|0＜ x≤ 1}
C．{ x|0≤ x≤ 2}
D ．{ x|0≤ x≤ 1}
解析： ∵ A＝ { x|－ 1≤ x≤1} ， B＝ { x|0＜ x≤ 2} ，
C．{ － 1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
解析： 本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，
属于基本题， 考查考生的基本
运算能力．不等式 (x－ 1)2＜ 4 等价于－ 2＜ x－ 1＜ 2，得－ 1＜ x＜ 3，故集合 M ＝ { x|－1＜ x＜
3} ，则 M ∩N＝ {0,1,2} ，故选 A.
m
当 k＝ 4 时，集合
m∈ I14 k
中除整数外剩下的数组成集合
1，3， 5， … ，13 ，可分解
222
2
为下面两稀疏集的并：
A2＝
12，
52，
92，
11 2
， B2＝
32，
72，
13 2
.
m
当 k＝ 9 时，集合
m∈ I14 k
中除整数外剩下的数组成集合
13，23， 43， 53， …， 133，134 ，
y，z∈ V，有 xyz∈ V，则下列结论恒成立的是 A ． T， V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T， V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T， V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． T， V 中每一个关于乘法都是封闭的 解析： 取 T＝ { x|x∈ ( －∞ ，0)，且 x∈ Z } ，V＝{ x|x∈ (0，＋ ∞ )，且 x∈ Z } ∪ {0} ，可得 T 关于乘法不封闭， V 关于乘法封闭，又取 T＝ { 奇数 } ，V＝{ 偶数 } ，可得 T，V 关于乘法均封 闭，故排除 B 、 C、 D，选 A. 答案： A
答案： C
12 已知 M ， N 为集合 I 的非空真子集，且 M ，N 不相等，若 N∩ ?IM ＝ ?，则 M ∪ N＝
A．M
B．N
C．I
D ．?
解析： 本小题利用韦恩图解决，根据题意， N 是 M 的真子集，所以 M ∪ N＝ M ，选 A.
答案： A 13．已知集合 P＝ { x|x2≤ 1} ，M ＝{ a} ．若 P∪ M ＝ P，则 a 的取值范围是
＝a2－ 4a＝ 0，解得 a＝ 4(a＝ 0 不合题意舍去 )．
答案： A
2．已知集合 A＝ {0,1,2} ，则集合 B＝ { x－ y|x∈ A, y∈A} 中元素的个数是
A．1
B．3
C．5
D ．9
解析： 本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．
x＝ 0，
y＝0,1,2 时， x－y＝ 0，－ 1，－ 2； x＝1， y＝ 0,1,2 时， x－ y＝1,0，－ 1； x＝ 2，y＝ 0,1,2 时，
答案： B
6．已知集合 M ＝ {1,2,3} ， N＝ {2,3,4} ，则
A．M? N
B．N? M
C．M ∩ N＝ {2,3}
D ．M ∪ N＝ {1,4}
解析： 由已知得 M ∩N＝ {2,3} ，故选 C.
答案： C
7．已知集合 A＝ { x|log2x≤ 2} ，B＝ ( －∞，a) 若 A? B，则实数 a 的取值范围是 ( c，＋∞ )， 其中 c＝ ______.
m
(1)对于集合
m k
∈
I
7
，当
k＝ 1 时与当
k＝ 4 时该集合中都含有元素
1,2,3，因此集合
P7 中元素的个数为 7× 7－3＝ 46.
(2)先证：当 n≥ 15 时， Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设
A，B 为不相
交的稀疏集， 使 A∪ B＝Pn? I n，不妨设 1∈ A，则因 1＋ 3＝ 22，故 3?A，即 3∈ B.同理 6∈A, 10
推理论证能力与创新意识．题目中 x<y<z， y<z<x， z<x<y 恰有一个成立说明 x， y，z 是互不 相等的三个正整数， 可用特殊值法求解， 不妨取 x＝ 1，y＝ 2，z＝ 3，w ＝ 4 满足题意， 且 (2,3,4)
∈S， (1,2,4) ∈ S，从而 (y， z， w)∈ S， (x， y，w )∈ S 成立．
共含有 10 个元素．
答案： D
4．若集合 A＝{ － 1,1} ， B＝ {0,2} ，则集合 { z|z＝x＋ y， x∈ A， y∈ B} 中的元素的个数为
A．5
B．4
C．3
D ．2
解析： 当 x＝－ 1， y＝ 0 时， z＝－ 1；当 x＝－ 1， y＝ 2 时， z＝ 1；当 x＝1， y＝ 0 时， z
M∩N 为 A ． (0,1)
B ． (0,1]
C．[ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,1)
D ．[0,1]
解析： 对于集合 M ，函数 y＝ |cos2x|，其值域为 [0,1] ，所以 M ＝ [0,1] ．根据复数模的计
算方法得不等式 x2＋ 1＜ 2，即 x2＜1，所以 N＝ (－ 1,1)，则 M ∩ N＝ [0,1) ．正确选项为
x－y＝ 2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 答案： C
B 的元素为－ 2，－ 1,0,1,2.共 5 个．
3．已知集合 A＝{1,2,3,4,5} ，B＝ {( x， y)|x∈ A，y∈ A，x－y∈ A} ，则 B 中所含元素的个 数为
A．3
B．6
C．8
D ．10
解析： 列举得集合 B＝ {(2,1) ，(3,1)，(4,1)，(5,1) ，(3,2) ，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)} ，
∈B，又由假设可得 15∈ A，但 1＋ 15＝ 42，这与 A 为稀疏集矛盾．
m
再证 P14 符合要求． 当 k＝ 1 时，
m∈ I 14 k
＝ I 14 可分成两个稀疏集之并，
事实上， 只要
取 A1＝ {1,2,4,6,9,11,13} ， B1＝{3,5,7,8,10,12,14} ，则 A1， B1 为稀疏集，且 A1∪ B1＝ I 14.
可分解为下面两稀疏集的并：
A 3＝
1，4， 5， 10， 13 333 3 3
， B3＝
2， 7， 8，11，14 333 3 3
.
最后，集合 C＝ m m∈I 14， k∈ I 14，且 k≠ 1， 4， 9 中的数的分母均为无理数，它与 k
P14
中的任何其他数之和都不是整数．因此，令 是不相交的稀疏集，且 A∪B＝ P14.
综上，所求 n 的最大值为 14.
A＝ A1∪ A2∪ A3∪C，B＝ B1∪ B2∪B3，则 A 和 B
注：对 P14 的分拆方法不是唯一的． 18． 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ? a， b∈S，有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封闭 的．若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集， T∪ V＝ Z ，且 ? a，b，c∈ T，有 abc∈ T；? x，
答案： B
17．对正整数
n，记 In＝ {1,2 ，…， n} ，Pn＝
m m∈ I n， k∈ In k
.
(1)求集合 P7 中元素的个数；
(2)若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称
A 为“稀疏集”，求 n 的
最大值，使 Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并．
解： 本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力．
∴－ 1≤ x≤1，依据补集的运算知所求集合为 (－ ∞ ，－ 1)∪ (1，＋ ∞)，选 D. 答案： D
11．集合 M ＝ { x|lg x>0} ， N＝ { x|x2≤ 4} ，则 M ∩ N＝
A ． (1,2)
B ． [1,2)
C．(1,2]
D ．[1,2]
解析： 由题意得 M ＝(1，＋ ∞ )， N＝ [－ 2,2] ，故 M ∩ N＝ (1,2] ．
答案： A 9．设集合 S＝ { x|x>－2} ，T＝ { x|x2＋ 3x－4≤ 0} ，则 (?RS)∪ T＝
A ． (－ 2,1]
B ． (－∞，－ 4]
C．( －∞， 1]
D ．[1，＋∞ )
解析：本题考查无限元素集合间的交、 并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法． 浙
江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言
A ． (－∞，－ 1]
B ． [1，＋∞ )
C．[ －1,1]
D ．(－∞，－ 1]∪[1 ，＋∞ )
解析： 因为 P∪ M＝ P，所以 M ? P，即 a∈P，得 a2≤ 1，解得－ 1≤ a≤ 1，所以 a 的取
值范围是 [－ 1,1] ．
答案： C
14．设集合 M ＝ { y|y＝ |cos2x－ sin2x|，x∈ R} ， N＝ { x||x－ 1i |＜ 2， i 为虚数单位， x∈R } ，则
A ． (y， z， w )∈ S， (x， y， w)?S
B． (y， z， w)∈ S， (x， y， w)∈ S
C．( y， z，w )?S，(x， y， w )∈ S
D． (y， z， w)?S， (x， y，w )?S
解析： 本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，
高考数学复习之 集合与常用逻辑用语
第 1 节 集合考点一 集合的含义与表示
1．若集合 A ＝ {x ∈R |ax2＋ ax＋1＝ 0} 中只有一个元素，则 a＝
A．4
B．2
C．0
D．0 或 4
解析： 本题主要考查集合的表示方法 (描述法 )及其含义，考查化归与转化、分类讨论思
想．由 ax2＋ ax＋1＝ 0 只有一个实数解，可得当 a＝ 0 时，方程无实数解；当 a≠ 0 时，则 Δ
解析： 可知 A＝ (0,4] ，若 A? B 即(0,4] ? (－∞ ， a)，
则 a>4，而 a 的取值范围为 (c，＋ ∞ )，∴ c＝4. 8．已知集合 M ＝ { x|(x－ 1)2<4， x∈R } ， N＝{ － 1,0,1,2,3} ，则 M ∩ N＝
A ． {0,1,2}
B ． { － 1,0,1,2}
的理解以及简单的集合运
算． T＝ { x|－ 4≤ x≤1} ，根据补集定义， ?RS＝ { x|x≤－ 2} ，所以 (?RS)∪T＝ { x|x≤ 1} ，选 C.
答案： C
10．设全集为 R ，函数 f(x)＝ 1－x2的定义域为 M ，则 ?RM 为
A ． [－ 1,1]
B ． (－1,1)
＝1；当 x＝1， y＝ 2 时， z＝ 3.故 z 的值为－ 1,1,3，故所求集合为 { － 1,1,3} ，共 3 个元素．
答案： C 5．设 P＝ { x|x＜ 4} ，Q＝ { x|x2＜ 4} ，则
A ． P? Q
B．Q? P
C．P?? RQ
D ．Q?? R P
解析： 集合 Q＝ { x|－2＜ x＜ 2} ，所以 Q? P.
C．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) 解析： 本题考查集合的概念和运算，
D ．(－∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ ) 涉及函数的定义域与不等式的求解．
本题抓住集合
元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解， 使集合与函数有机结合， 体现了转化化归思想的具体应用． 从函数定义域切入， ∵ 1－ x2≥ 0，
∴ A∩ B＝ { x|0＜ x≤ 1} ．
答案： B
16．设整数 n≥4，集合 X＝ {1,2,3 ，…，n} ．令集合 S＝{( x，y，z)|x，y，z∈ X，且三条件 x<y<z，
y<z<x，z<x<y 恰有一个成立 } ．若 (x， y，z)和 (z， w， x)都在 S 中，则下列选项正确的是