湖北省黄冈市浠水实验高中高三数学上学期12月月考试卷理(含解析)

湖北省黄冈市浠水实验高中2015届高三上学期12月月考数学试卷
（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：先求出集合A，从而找出正确选项．
解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；
∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}
∴A∩B={x|x≥2}=B．
故选C．
点评：注意描述法所表示集合的元素．
2．已知tanα=2，则=( )
A．﹣B．﹣2 C．D．2
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
解答：解：∵tanα=2，则==﹣=﹣，
故选：A．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0+cosx0=，命题q：对于实数a，b，a2＞b2是a＞|b|的必要不
充分条件，则( )
A．“p或q”为假B．“p或¬q”为真C．“p且q”为真D．“¬p且q”为真
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：先判断命题p，q的真假，结合复合命题之间的关系，从而得到答案．
解答：解：对于p：∵sinx+cosx=sin（x+）＜，
∴命题p是假命题，
对于q：∵由a2＞b2推不出a＞|b|，不是充分条件，
由a＞|b|能推出a2＞b2，是必要条件，
∴命题q是真命题，
故选：D．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了复合命题之间的关系，是一道基础题．
4．已知|=3，向量在向量方向上的投影为4，则=( ) A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得=4×3=12，从而求得=﹣的值．
解答：解：由已知|=3，向量在向量方向上的投影为4，
可得=4×3=12，∴=﹣=﹣12，
故选：B．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．
5．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（﹣x）的图象为( )
A．B．C． D．
考点：一元二次不等式的解法；函数的图象．
专题：计算题；综合题；压轴题．
分析：函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），可得a为负数，﹣2，1是不等式对应方程的根，求出a、c，确定函数y=f（﹣x），然后可以得到图象．
解答：解：由ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），所以a＜0
得∴
∴f（x）=﹣x2﹣x+2．
∴f（﹣x）=﹣x2+x+2，
图象为D．
故选D．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，函数的图象，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有( ) A．a6是常数B．S7是常数C．a13是常数D．S13是常数
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵等差数列{a n}中S4+a25=5，
∴，
∴a1+6d=1，
即a7=1，
∴，
故选：D．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．
7．已知函数f（x）=cos（2x+ϕ）满足f（x）≤f（1）对x∈R恒成立，则( ) A．函数f（x+1）一定是偶函数B．函数f（x﹣1）一定是偶函数
C．函数f（x+1）一定是奇函数D．函数f（x﹣1）一定是奇函数
考点：余弦函数的奇偶性．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：依题意，f（1）是最大值，从而可求得φ=2kπ﹣2，k∈Z，于是可求得f（x+1）=cos2x，继而可得答案．
解答：解：显然f（1）是最大值，
所以f（1）=cos（2+φ）=1，
∴2+φ=2kπ，φ=2kπ﹣2，k∈Z，
所以f（x）=cos（2x+2kπ﹣2）=cos（2x﹣2），
∴f（x+1）=cos（2x+2﹣2）=cos2x，
所以f（x+1）是偶函数．
故选A．
点评：本题考查余弦函数的奇偶性，求得φ=2kπ﹣2，k∈Z是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
8．已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为( )
A．C．D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，则，平移直线根则，分析取得最优解的点的坐标，然后求出此目标函数的最大值和最小值即可．
解答：解：设z=x+2y，则，作出不等式对应的平面区域如图（阴影部分），
平移直线，
由平移可知，当直线经过点D时，直线的纵截距最小，此时z最小，当直线经过点B时，直线的纵截距最大，此时z最大，
由，得，即B（4，4），代入z=x+2y，得z的最大值为z=4+2×4=12．
由，得，即D（4，﹣2），代入z=x+2y，得z的最小值为z=4﹣2×2=0，
所以x+2y的取值范围为．
故选C．
点评：本题主要考查线性规划的内容，利用目标函数的几何意义是解决此类问题的关键．
9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围
为( )
A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．
考点：函数的零点．
专题：计算题；压轴题．
分析：函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．
解答：解：当﹣1≤x＜0时⇒1≥﹣x＞0，x≤﹣1⇒﹣x≥1，又f（x）为奇函数
∴x＜0时，画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，
如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则
⇒log2（1﹣x3）=a⇒x3=1﹣2a，
可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a，
故选D．
点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）11．复数z=（其中i是虚数单位）的虚部为．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：z==，
∴复数z=的虚部为．
故答案为：．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
12．如图，六边形ABCDEF为正六边形，且=，则以，为基底，
=．
考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：如图所示，设B（2x，0），则D（2x，x），E（0，2x），C．由于
=，可得=，=，=（﹣2x，0），设，
利用向量相等即可得出．
解答：解：如图所示，
设B（2x，0），则D（2x，x），E（0，2x），C．
∵=，
∴=，=，
=（﹣2x，0），
设，
则，解得，n=﹣．
∴=．
故答案为：．
点评：本题考查了向量的线性运算，属于基础题．
13．函数的单调递增区间为．
考点：正弦函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：求y=2sin（﹣2x）在上的递增区间，就是y=sin（2x﹣），x∈的递减区间，利用正弦函数的单调性质即可求得答案．
解答：解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），x∈，
∴y=2sin（﹣2x）在上的递增区间，就是y=sin（2x﹣），x∈的递减区间，
由+2kπ≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
当k=﹣1时，﹣≤x≤﹣，
∴y=2sin（﹣2x），x∈的递增区间为．
故答案为：．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查正弦函数的单调性质，将所求转化为求y=sin （2x﹣），x∈的递减区间是关键，也是易错之处，考查转化思想．
14．给出下列命题：
（1）函数f（x）=2xln（x﹣2）﹣3只有一个零点；
（2）若与不共线，则与不共线；
（3）若非零平面向量两两所成的夹角均相等，则夹角为120°；
（4）若数列{a n}的前n项的和S n=2n+1﹣1，则数列{a n}是等比数列；
（5）函数y=2x的图象经过一定的平移可以得到函数y=3•2x﹣1的图象．
其中，所有正确命题的序号为（1）（2）（5）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列；平面向量及应用；简易逻辑．
分析：（1）根据函数y=ln（x﹣2）和函数y=的图象有且只有一个交点，可得函数f（x）=2xln
（x﹣2）﹣3只有一个零点；
（2）利用反证法，结合向量共线的充要条件，可判断正误；
（3）若非零平面向量两两所成的夹角均相等，则夹角为120°或0°；
（4）若数列{a n}的前n项的和S n=2n+1﹣1，可求出数列的前若干项，进而可判断正误；
（5）函数y=3•2x﹣1=﹣1，根据函数图象的平移变换法则，可判断正误．
解答：解：（1）函数f（x）=2xln（x﹣2）﹣3的零点个数即方程ln（x﹣2）=的根的个数，
即为函数y=ln（x﹣2）和函数y=的图象交点个数，两个函数图象有且只有一个交点，故（1）正确；
（2）假设与共线，则存在实数λ，使=λ（），
若λ=1，则=，此时与共线，
若λ≠1，则，此时=，此时与共线，
这与与不共线矛盾，故假设不成立，故（2）正确；
（3）若非零平面向量两两所成的夹角均相等，则夹角为120°或0°，故（3）错
误；
（4）若数列{a n}的前n项的和S n=2n+1﹣1，a1=3，a2=4，a3=8，则数列{a n}不是等比数列，故（4）错误；
（5）函数y=2x的图象向左平移log23个单位，再向下平移一个单位，可以得到函数y=
﹣1=3•2x﹣1的图象，故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（5）
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的零点，向量的共线，向量的夹角，等比数列的判定，函数图象的变换等知识点，难度中档．
15．在极坐标系下，方程ρ2+4ρsinθ+m=0表示的曲线是圆，则实数m的范围是m＜4，圆心的极坐标（规定ρ≥0，0≤θ＜2π）为．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：方程ρ2+4ρsinθ+m=0化为x2+y2+4y+m=0，配方为x2+（y+2）2=4﹣m，由于方程
ρ2+4ρsinθ+m=0表示的曲线是圆，因此4﹣m＞0，解得m即可．圆心C（0，﹣2），即可得出极坐标．
解答：解：∵方程ρ2+4ρsinθ+m=0化为x2+y2+4y+m=0，
∴x2+（y+2）2=4﹣m，
∵方程ρ2+4ρsinθ+m=0表示的曲线是圆，∴4﹣m＞0，解得m＜4．
圆心C（0，﹣2），∴极坐标为．
故答案分别为：m＜4，．
点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程，属于基础题．
三、解答题（共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．
（1）若∥，求B；
（2）若⊥，S△ABC=，求边长c．
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由，利用两个向量平行的性质可得asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a2=b2，故a=b．再由C=，可得△ABC为等边三角形，可得B的值．
（2）由，可得=0，化简可得 a+b=ab．由S△AB C=，可得ab=4．再由余弦定理求得 c2的值，从而得到c的值．
解答：证明：（1）∵，，∴asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a2=b2，∴a=b．
又C=，∴△ABC为等边三角形，故B=．
（2）∵，∴=ab﹣2a+ab﹣2b=0，化简可得a+b=ab ①．
由S△ABC=，可得=×=，∴ab=4 ②．
再由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣3ab=16﹣12=4，故 c=2．
点评：本题主要考查两个向量平行和垂直的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
17．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后求数列{a n}的通项公式；（2）化简b n=2n•a n，利用错位相减法，直接求数列{b n}的前n项和T n．
解答：解：（1）设公差为d（d≠0），由S7=70，且a1，a2，a6成等比数列得，
（d≠0）
解得a1=1，d=3，∴a n=3n﹣2…．
（2）由（1），
∴
相减得，
=
=（5﹣3n）•2n+1﹣10
∴…
点评：本题考查干错事了的通项公式的求法，错位相减法的应用，考查数列求和方法的应用，基本知识与基本方法的考查．
18．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；
（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P﹣AC﹣B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；转化思想；综合法．
分析：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，先写出各点坐标：
（I）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，﹣2，1），又=（﹣1，2，﹣1），证明
与共线即可；
（II）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可，易求；
（III）假设存在，设出点P的空间坐标，根据题设中所给的条件二面角P﹣AC﹣B的大小为30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可，若求得的参数符合题意，则说明存在，否则说明不存在．
解答：解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（I）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，﹣2，1），又=（﹣1，2，﹣1），由，∴与共线．
从而EF∥CG，
∵CG⊂平面ACD1，EF⊄平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
（II）∵=（0，2，0）∴=
（III）假设满足条件的点P存在，可设点P（2，2，t），（0＜t≤2），=（0，2，t），=（﹣2，2，0）
平面ACP的一个法向量为则∴取=（1，1，），易知平面ABC的一个法向量=（0，0，2）依题意知
∴|cos|==解得t=∈（0，2）∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角P﹣AC﹣B的大小为30°
点评：本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角以及二面角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年2015届高考比较热的一个考点．
19．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期，以及时f（x）的值域；
（2）若，求sin2θ的值．
考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）利用三角恒等变换可化简f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质可求函数f（x）的最小正周期，以及时f（x）的值域；
（2），利用同角三角函数间的关系式
及两角差的正弦即可求得sin2θ的值．
解答：解：（1）
=
，
∴f（x）的最小正周期为…．
当时，，，
，
∴时f（x）的值域为…．
（2），即，
∵，
∴，
∴
=
=…．
点评：本题考查三角恒等变换的应用及同角三角函数间的关系式的应用，考查正弦函数的性质及两角差的正弦，考查转化思想．
20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：综合题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c值，由离心率可得a值，再由b2=a2﹣c2可得b值；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）
x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l2得纵坐标，由中点在直线l1上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；
解答：解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，
又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：
（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
因此，，
所以AB中点M（，），
又M在直线l1上，得3×+=0，
因为m≠0，所以k=1，故，，
所以|AB|==•=，
原点O到AB的距离为d=，
得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检
验△＞0成立．
所以△OAB的面积S的最大值为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查弦长公式、点到直线的距离公式及用不等式求函数最值，考查函数思想．
21．已知函数f（x）=e x﹣kx2，x∈R
（1）若k=，求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1；
（2）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，试求k的取值范围；
（3）求证：（+1）（+1）（+1）…（+1）＜e4（n∈N*）．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）k=时，利用导数可判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而可得f（x）＞f（0）
=1；
（2）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，等价于f′（x）=e x﹣2kx≥0（x＞0）恒成立，分k≤0，0＜k≤，k＞三种情况进行讨论，前两种情况易作出判断，k＞时，利用导数求出最值解不等式即可；
（3）由（1）知，对于x∈（0，+∞），有f（x）=e x＞x2+1，则e2x＞2x2+1，ln（2x2+1）＜2x，从而有ln（+1）＜（n∈N*），于是ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）+…+ln （+1）＜+…+＜++…+，整理可得结论；
解答：解：（1）f（x）=e x﹣x2，则h（x）=f′（x）=e x﹣x，
∴h′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），
∴h（x）=f′（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）＞f′（0）=1＞0，
∴f（x）=e x﹣x2在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）＞f（0）=1．
（2）f′（x）=e x﹣2kx，下求使f′（x）≥0（x＞0）恒成立的k的取值范围．
若k≤0，显然f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
记φ（x）=e x﹣2kx，则φ′（x）=e x﹣2k，
当0＜k≤时，∵e x＞e0=1，2k≤1，∴φ′（x）＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，于是f′（x）=φ（x）＞φ（0）=1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当k＞时，φ（x）=e x﹣2kx在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增，
于是f′（x）=φ（x）≥φ（ln2k）=e ln2k﹣2kln2k，
由e ln2k﹣2kln2k≥0，得2k﹣2kln2k≥0，则≤k≤，
综上，k的取值范围为（﹣∞，]．
（3）由（1）知，对于x∈（0，+∞），有f（x）=e x＞x2+1，∴e2x＞2x2+1，
则ln（2x2+1）＜2x，从而有ln（+1）＜（n∈N*），
于是：ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜+…+＜
++…+=2+2（1﹣+…+﹣）=4﹣＜4，
故：（+1）（+1）（+1）…（+1）＜e4．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，对能力要求很高．。