2018《单元滚动检测卷》高考数学(文)(人教A版全国通用)：精练检测八 立体几何全国通用含解析

单元滚动检测八立体几何
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·银川质检）若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2016·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为( ）
A．1∶1B．2∶1
C．2∶3D．3∶2
3．（2016·东北三省四市联考）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是( )
①若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
②若n⊥α，m⊥β，且n⊥m,则α⊥β；
③若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α；
④若m,n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β。

A．1B．2C．3D．4
4．（2016·辽宁重点协作校第一次模拟)如图，正方体ABCD－
A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )
5．已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2，SB＝SC ＝4，则该三棱锥的外接球的半径为（)
A．36B．6C．3D．9
6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β,则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β；
③如果m⊂α,n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中正确的是( ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC＝2，则此三棱锥的体积为（)
A。

错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!
8．空间中四点可确定的平面有（）
A．1个B．3个
C．4个D．1个或4个或无数个
9。

如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面
A′DE;③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①B．①②C．①②③D．②③
10．(2016·山西四校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（)
A.错误!B。

错误!C.错误!D．πa3
11.如图所示,四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a,PB＝PD＝错误!a，则它的5个面中，互相垂直的面有（）
A．3对B．4对
C．5对D．6对
12．（2016·太原模拟二）已知平面α∥β,且α与β的距离为d（d>0），m⊂α，则在β内与直线m的距离为2d的直线共有（)
A．0条B．1条C．2条D．无数条
第Ⅱ卷（非选择题共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，四棱锥A －BB1D1D的体积为6，则AA1＝________.
14.如图所示，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°,AB＝a，BC＝b，CD＝c，且a2＋b2＋c2＝1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．
15．如图，直线PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的圆上,M为PB 的中点,O为AB的中点，有以下结论：①△PCB为直角三角形；
②OM∥平面PAC；③点B到平面PAC的距离为线段BC的长．其中所有正确命题的序号是________．
16．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2,E是边BC的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分)(2017·海口一中质检）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．
(1)请在图2中补充完整该几何体的直观图，并求它的体积；（2)证明:A1C⊥平面AB1C1;
（3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论。

18.（12分)（2016·江西师大附中第一次月考)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF
的重心．
（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（2)求证：PM∥平面AFC。

19。

(12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D,E,F分别是B1A，CC1,BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC;
（2）求证：B1F⊥平面AEF；
(3)设AB＝a,求三棱锥D－AEF的体积.
20。

（12分)（2016·北京海淀区期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD,又AD∥BC，AD⊥DC,且BC＝PD＝3AD＝3。

（1）画出四棱锥P－ABCD的正视图；
(2）求证：平面PAD⊥平面PCD；
(3)求证棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求错误!的值.
21.(12分)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点．
求证：(1)BC1⊥平面AB1C;
(2）DE∥平面AB1C。

22。

(12分)如图,三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠ABC＝错误!，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2,PD＝PC＝4,点F 在线段AB上，且EF∥BC.
（1）证明：AB⊥平面PFE；
（2)若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长.
答案精析
1．B 若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能,所以充分性不成立;若m⊥β,m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.] 2．A 由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的错误!，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的错误!，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等,即正视图与侧视图的面积之比是1∶1，故选A.]
3．C 根据线面平行及面面垂直的性质判定知①是错误的;根据线面垂直的性质与面面垂直的判定知②是正确的；根据面面垂直、线面垂直的性质及线面平行的判定知③是正确的；根据面面平行的判定知④是正确的．]
4．C 根据题目中的条件，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后剩下的部分如图所示AEC1F－A1B1C1D1的空间几何体，则该剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．］
5．C 三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝2,SB＝SC＝4，则该三棱锥的外接球就是三棱锥扩展为长方体的外接球，因为长方体的体对角线的长度为错误!＝6，所以该三棱锥的外接球的半径为3.］6．D 根据面面垂直的判定定理知①正确;②若m∥n，则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确．］
7．A 在直角三角形ASC中，AC＝1,∠SAC＝90°，SC＝2,所以SA ＝错误!＝错误!;同理SB＝错误!。

过A点作SC的垂线交SC于D点，连
接DB，因为△SAC≌△SBC,所以BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因为∠ASC＝30°，所以AD＝错误!SA＝
错误!，则△ABD的面积为错误!×1×错误!＝错误!，则三棱锥的体积为错误!×错误!×2＝错误!。

]
8．D 当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面
时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个
平面，此时可确定4个平面．］
9．C ①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
所以点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②中BC∥DE，
根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③中当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．]
10．A 由三视图可知该几何体为一个圆锥的1
4
，其中圆锥的底面圆的半径为a,高为2a，所以该几何体的体积V＝错误!×πa2×2a×错误!＝错误!。

故选A。

]
11．C 底面ABCD是边长为a的正方形，
侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，
可得PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，
可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD；
AB⊥平面PAD，可得平面PAB⊥平面PAD；
BC⊥平面PAB,可得平面PAB⊥平面PBC；
CD⊥平面PAD，可得平面PAD⊥平面PCD.］
12．C 由题意得平面β内与直线m的距离为2d的直线为以直线m 为中心线,半径为2d的圆柱面与平面β的交线，易知交线有2条，故选C。

］
13．2
解析连接AC，设AC∩BD＝O，则AO是四棱锥的高．
由题意可得BD＝AC＝3错误!，
则AO＝错误!，
所以四棱锥A－BB1D1D的体积V＝错误!·S矩形BB1D1D·AO＝错误!·BD·BB1·AO＝错误!×3错误!×BB1×错误!＝6,解得BB1＝2，所以AA1＝2.
14．π
解析因为球心到球面的点的距离相等,可以找出一点到ABCD四个点的距离相等,在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等,可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,因为AD＝1，所以S ＝4π（错误!）2＝π。

15．①②③
解析因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又由题中条件可知BC⊥AC,BC∩AC＝C，
所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC，即△PCB为直角三角形，即①正确；
因为OM∥PA,且PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC，即②正确；
因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离为线段BC的长，即③正确．
16.错误!＋错误!
解析取SC的中点M,CD的中点N，
连接ME，EN，MN，连接AC，BD且交于点O,
连接SO，则SO⊥平面ABCD,SO⊂平面SBD，
由面面垂直的判定知平面SBD⊥平面ABCD,
因为M，N，E均为中点，故MN∥SD，ME∥SB，
又MN∩EM＝M，故平面EMN∥平面SBD，
则有平面EMN⊥平面ABCD,
因为AC⊥EN，
所以AC⊥平面EMN，
故P是△EMN的边上任一点（除E点外），
易知MN＝ME＝错误!SD＝错误!错误!＝错误!,EN＝错误!，
故轨迹的周长为错误!＋错误!。

17．（1）解由三视图得几何体的直观图如图．
四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝错误!，BC＝1，
四边形AA1C1C是边长为错误!的正方形，且垂直于底面BB1C1C，
∴其体积V＝错误!×1×错误!×错误!＝错误!。

(2）证明∵∠ACB＝90°,∴BC⊥AC。

∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥A1C,
∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C。

∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1。

∵B1C1∩AC1＝C1,∴A1C⊥平面AB1C1。

（3）解DE∥平面AB1C1.证明如下：
如图，取BB1的中点F,连接EF，FD，DE。

∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,
∴EF∥平面AB1C1。

同理可得FD∥平面AB1C1.
又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1。

18．证明(1）∵平面ABCD⊥平面ABEF,且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，
又AF⊂平面ABEF,∴CB⊥AF，
∵AB＝2AF，设AF＝a，则AB＝2a.
又∠BAF＝60°，根据余弦定理得BF＝3a，
∴AB2＝AF2＋BF2，从而AF⊥BF，
又CB∩BF＝B,∴AF⊥平面CBF，
又AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.
（2）取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ.
∵P，O，Q分别是CB,AB，BF的中点，
∴PO∥AC，PQ∥CF，
又PO⊄平面AFC，PQ⊄平面AFC，
从而PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，
又PO∩PQ＝P，AC∩CF＝C，
∴平面POQ∥平面AFC，
∵M为底面△OBF的重心，∴M∈OQ,
从而PM⊂平面POQ，∴PM∥平面AFC。

19．（1）证明取AB中点O,连接CO，DO。

∵DO∥AA1，DO＝错误!AA1，
∴DO∥CE，DO＝CE，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∴DE∥CO，DE⊄平面ABC，CO⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
（2）证明等腰直角△ABC中F为斜边的中点，连接AF，∴AF⊥BC。

又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AF⊥平面BB1C1C，∴AF⊥B1F，
设AB＝AA1＝1，
∴B1F＝错误!，EF＝错误!，B1E＝错误!，
∴B1F2＋EF2＝B1E2，∴B1F⊥EF，
又AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.
（3）解由于点D是线段AB1的中点，故点D到平面AEF的距离是点B1到平面AEF距离的错误!，B1F＝错误!＝错误!a，所以三棱锥D －AEF的高为错误!a，在Rt△AEF中，EF＝错误!a，AF＝错误!a，所以三棱锥D－AEF的底面面积为错误!a2，故三棱锥D－AEF的体积为错误!×错误!a2×错误!a＝错误!a3.
20．(1）解四棱锥P－ABCD的正视图如图所示．
（2)证明因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以PD⊥AD。

因为AD⊥DC，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD。

因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD。

（3）解当错误!＝错误!时，AE∥平面PCD。

理由如下：
分别延长CD，BA交于点O，连接PO.
因为AD∥BC，BC＝3AD，
所以错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!。

所以错误!＝错误!，
所以AE∥OP。

因为OP⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，
所以AE∥平面PCD.
21．证明（1）∵四边形AA1C1C为矩形,∴AC⊥C1C.
又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，
平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1,
∴AC⊥平面CC1B1B。

∵BC1⊂平面CC1B1B，
∴AC⊥BC1。

又四边形CC1B1B为菱形，
∴B1C⊥BC1.
∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C。

（2）取AA1的中点F，连接DF，EF.
∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C,AA1的中点,
∴EF∥AC.
∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
∴EF∥平面AB1C。

∵D，F分别为边A1B1，AA1的中点，∴DF∥AB1。

∵DF⊄平面AB1C,AB1⊂平面AB1C,
∴DF∥平面AB1C。

∵EF∩DF＝F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF,
∴平面DEF∥平面AB1C。

∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C.
22．(1)证明由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC＝AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB。

因为∠ABC＝错误!，EF∥BC，所以AB⊥EF。

从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PFE。

(2)解设BC＝x，则在Rt△ABC中，
AB＝AC2－BC2＝36－x2，
从而S△ABC＝1
2
AB·BC＝
1
2
x错误!.
由EF∥BC知，错误!＝错误!＝错误!,得△AFE∽△ABC，
故S△AFE
S△ABC＝（错误!）2＝错误!,即S△AFE＝错误!S△ABC。

由AD＝错误!AE知，S△AFD＝错误!S△AFE＝错误!×错误!S△ABC ＝错误!S△ABC＝错误!x错误!,
从而四边形DFBC的面积为
S四边形DFBC＝S△ABC－S△AFD
＝错误!x错误!－错误!x错误!
＝错误!x错误!。

由（1）知，PE⊥平面ABC，
所以PE为四棱锥P－DFBC的高．
在Rt△PEC中,PE＝错误!＝错误!＝2错误!。

所以V四棱锥P－DFBC＝错误!S四边形DFBC·PE
＝错误!×错误!x错误!×2错误!＝7,
所以x4－36x2＋243＝0，
解得x2＝9或x2＝27.
由于x>0，因此x＝3或x＝3错误!。

所以BC＝3或BC＝3错误!.。