高中数学公式定理定律概念大全

１.1 集合的概念与运算
（1）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；
（2）常用数集： 自然数集：N 正整数集：*N 或N +
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1.2 子集
（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，
注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ （2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆； ③若A B B A ⊆⊆,则A =B ；
1.3 真子集 （1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：
（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；
（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}A
B x x A x B =∈∈
性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}A
B x x A x B =∈∈
性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 (1)U U A
B A A B B A B
C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆
（2）含n 个元素的集合的所有子集有n
2个
2.1 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系:
3.1 简易逻辑
真值表：p 或q ，同假为假，否则为真； p 且q ，同真为真, 否则为假； 非p ，真假相反。

3.2 四种命题
（1）命题的四种形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝
q ；
逆否命题：若⌝q 则⌝
p ； 注意：
①互为逆否的两个命题是等价的；②“命题的否定”与“否命题”
不同；
（2）利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系 设满足条件p 的元素构成集合A ， 满足条件q 的元素构成集合B
①若A B ⊆，则p 是q 成立的充分条件； ②若A B =，则p 是q 的充要条件；
③若A B ⊂，则p 是q 的充分不必要条件；
④若,且A B B A ⊄⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

a 为任意实数
1.
2.
第四章 基本初等函数（Ⅱ）
1、角的换算
(1)换算关系:8157)180(1)(180'≈==
π
π弧度弧度
(2)弧长公式:r l ⋅=
α 扇形面积公式:22
1
21
r lr S α=
= 2
3、任意角的三角函数
r y =αsin ，r x =αcos ，x
y
=αtan ，
三角函数值的符号规律：“一全二正弦，三切四余弦”
4、诱导公式：“
α
π
±⋅
2
k ，奇变偶不变，符号看象限”
5、同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；；
②商式关系αα
α
tan cos sin =；
6、两角和与差公式
()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ
ααα±==−→−−−=- 令222 ()tan tan tan tan tan αβαβαβ
±=
±1 · =-=-⇒211222
cos sin αα
tan tan tan 2212αα
α
=
-
cos cos sin cos 22
122
122
αα
αα=
+=
-
注意：
1.x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反．一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）．
2.)sin(
ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=T ．
3. )sin(
ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；
)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2
1ππ+k ）；
8.正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===， ==A bc S sin 21
；
余弦定理：
2
a =A bc c
b cos 22
2
-+ cosA=bc
a c
b 22
22-+
第五章 立体几何
1、.空间两条直线的位置关系： 平行、相交、异面
2、直线与平面
2.1、位置关系：在面内、相交、平行 2.2、直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.3、直线与平面垂直
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 3、平面与平面
3.1、位置关系：平行 ，相交 3.2、两个平面平行
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行．
另：垂直于同一条直线的两个平面平行．
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
另：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另
一个平面．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另
一个平面
3.3、两个平面垂直
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、简单几何体
Sh V =棱柱 Sh V 31=棱锥 球V ＝3
4
πR 3 第六章 平面向量
1.两个向量共线的充要条件：
①向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． ② 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-⇔y x y x ． 2、向量的数量积：
(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则
a ·
b =︱a ︱·︱b ︱cos θ．
其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影． (2) 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ﹒b =2121y y x x +
（3）性质：⊥⇔·=0⇔02121=+y y x x （，为非零向量）;
︱︱=2
121y x a a +=⋅;
cos θ
=
2
2
2
22
12
12121y x y x y y x x +⋅++．
（3）若点),(),(2211y x B y x A ，则212222)()(y y x x AB -+-=
第七章 平面解析几何
1、直线和圆
1.１ 直线的倾斜角与斜率：
直线的倾斜角范围是[0,π]，
直线的斜率：B
A k x x y y k k -
=--=
=,,
tan 1
21
2α 1.２ 直线方程的几种形式：
点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=
1.３ 两条直线的位置关系
（1）平行： 若斜率存在：l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2有
l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2；
（2）垂直：若斜率存在：l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2有
l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1
1.4 点到直线的距离公式
点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：
2
2
00B
A C
By Ax d +++=
1.5 两平行直线间的距离：
两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：
2
2
21B
A C C d +-=
1.6 圆的方程
（1）圆的标准方程:222
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++=(2
2
4D E F +-＞0). 1.7 直线与圆的位置关系： 相离、相切和相交。

判断方法（几何法）：圆心到直线的距离⎪⎩
⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<相离相切相交
r d r d r d
弦长问题：利用垂径定理，构造直角三角形解决
2.圆锥曲线 一、椭圆
1．椭圆方程的定义：为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆2121212
1212121,2,2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+<=+>=+
平面内与两定点F1，F2的距离的和为常数(大于
2
1F F )的点的轨迹。

其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

（1）①椭圆的标准方程：
i ．中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12
222
>>=+b a b
y a x ．
ii ．中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12
2
22>>=+b a b
x a
y ．
几何性质
①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±．②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2．
③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -．④焦距：2221,2b a c c F F -==． 二、双曲线
1．双曲线的定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==->=-<=-
平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）双曲线标准方程：)0,(1),0,(122
222222>=->=-b a b x a y b a b y a x ．
（2）①i ．焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a -，焦点：)0,(),0,(c c -，
渐近线方程：0=±b y
a x 或02222=-b
y a x
ii ．焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -．焦点：),0(),,0(c c -．渐
近线方程：0=±b x
a y 或02222=-b
x a y ．
②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c ．③离心率a
c
e =
． （3）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为
x y ±=，离心率2=e ．
三、抛物线
设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）判定方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得关于x （或y ）的一
元二次方程，求出∆，根据∆ 判定直线与圆锥曲线的位置关系
（2）弦长公式：直线y=kx+b 和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2)
则弦长P 1P 2=||1212
x x k -+]4))[(1(212212x x x x k -++=
第八章 不等式
1、不等式的基本性质：此类选择题多采用取特殊值法处理
2、均值不等式：
若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+（当且仅当b a =时取等号） 若0,>b a ，则
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号） 第九章 数列
1.等差数列的性质：
①．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ②.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

2.等差数列的通项公式
等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d 时，该数列的通项公式是a n =a 1+(n
1)d.
3.等差数列{a n }的前n 项的和的公式
等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d 时，该数列的前n 项的和的公式是
4.等比数列的通项公式
等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q 时，该数列的通项公式是a n =a 1q n-1
5.等比数列的性质：
⑴． m n m n q a a -=
⑵.若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 6.数列的求和方法： (1)等差与等比数列 (2)裂项相消法： 常用裂项公式①
111(1)1n n n n =-++，②1111()()n n k k n n k
=-++， (3)错位相减法：n n n c b a ⋅=, {}{}成等比数列成等差数列，
n n c b。