第3章 通信原理 随机过程

第3章随机过程
3.1 随机过程基本概念
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：
(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。

(2) 随机过程：没有确定的变化形式。

每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。

数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。

随机信号和噪声统称为随机过程。

1. 随机过程的分布函数
随机过程定义：
设S k(k=1, 2, …)是随机试验。

每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。

无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。

在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。

随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。

设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。

随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率
记为F1(x
1, t
1
)，即
如果F
1对x
1
的导数存在，即
ξ (t)
样本函数的总体（随机过程）
11
{()}
P t x
ξ≤
11111
(,){()}
F x t P t x
ξ
=≤
(,)
(,)
111
111
1
¶
=
¶
F x t
f x t
x
称为ξ(t)的一维概率密度函数。

同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为
为ξ(t)的n 维概率密度函数。

2. 随机过程的数字特征
用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

数字特征是指均值、方差和相关系数。

是从随机变量的数字特征推广而来的。

(1) 数学期望（均值）
表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。

积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。

(2) 方差
表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度，即均方值与均值平方之差。

(3) 协方差函数和相关函数
反映随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度 自协方差函数： 自相关函数(反映同一过程的相关程度)
111(,)f x t 121,2121212(,...;...,)(,...,;,...,)
...¶=抖 n
n n n n n n
F x x t t t f x x x t t t x x x 1212(,,;,,) n n n F x x x t t t P =1122{(),(),()} n n t x t x t x ξξξ≤≤≤1()[()](,)x ¥
-
==
ò
a t E t xf x t dx
[][]{}[]{}
2
2
2
2
()()()()()()s
x x x x x 轾==-
=-犏臌
t D t E
t E t E t E t 22
1(,)[()]
¥
-
=
-ò
x f x t dx a t [][]{}
121122(,)()-()()-()x x =B t t E t a t t a t 11222121212
[()][()](,;,)ゥ
-?
=
--蝌
x a t x a t f x x t t dx dx []1212122121212
(,)()()(,;,)x x ゥ
-?
==
蝌
R t t E t t x x f x x t t dx dx 121212(,)(,)()()
=-B t t R t t a t a t
关系：
互协方差函数互协方差函数
互协方差及互相关函数
这里，将相关函数的概念引伸到两个随机过程，也可以引伸到多个随机过程。

3.2 平稳随机过程 1. 平稳随机过程的定义
任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，则该随机过程称为严平稳过程。

分析数学意义！
定义中n 和τ是任意的，因此，一维分布与t 无关，二维分布只与t 1，t 2间隔有关。

平稳随机过程的数字特征： 均值：
均值与时间无关(在某一时刻对随机变量x 求平均)。

方差：
相关函数：
结论：①均值，方差与时间无关。

②相关函数只与时间间隔有关。

同时满足①和②的过程称为广义平稳随机过程，简称为平稳过程。

严平稳必然是广义平稳的，但广义平稳并不一定的严平稳的。

通信系统中的信号和噪声，大多为严平稳随机过程，简称为平稳过程。

(即任何时刻噪声信号的平均值、方差是相同的)
平稳随机过程是随机过程中非常重要的过程之一，它具有许多突出的特性，并且提供了一类分析问题的方法。

2. 各态历经性
平稳过程在一定条件下具有一个非常有用的特性，称为各态历经性：具有各态历经性的过程，其数字特征完全由随机过程的任一实现的时间平均值来代替。

{}
12112
2(,)()-()()-()xh x h x h 轾轾=犏臌臌B t t E t a t t a t []
1212(,)()()xh x h =R t t E t t (,)()
(,;,)(,;)
1111121211212t ==f x t f x f x x t t f x x [()](,)()E t xf x t dx xf x dx a
x ゥ
-?
=
=
=蝌
[()()]()
(,)()
()2
2
2
2
E t a t x a f x t dx x a f x dx x s
ゥ
-?
-=
-=
-=蝌
(,)(,;,)()()
1212212121212t ゥ
-?
==-=蝌
R t t x x f x x t t dx d x R t t R (,,;,,,)
1212n n n f x x x t t t (,,;,,,)
1212n n n f x x x t t t t t t =+++
设x (t)是平稳过程ξ(t)的任意一个样本，则其时间均值和时间相关系数分别定义为：
是对某一任意样本x(t)对时间求平均。

如果x(t)是周期函数，则公式中的T 取为周期T 0即可，不需要再求极限。

如果平稳过程使下式成立：
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。

第一式表明的是：任一样本的时间平均值与任一时刻的统计平均值相等。

意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。

具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

求解各种统计平均时，无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。

例：设一个随机相位的正弦波为 其中A 和ωc 均为常数，θ是在(0，2π)内均匀分布的随机变量，讨论ξ(t)是否具有各态历经性。

计算结果(p41)：
统计平均值与时间平均值相等。

随机相位余弦波是各态历经的。

3. 平稳过程的自相关函数
在平稳过程中，均值、方差、自相关、互相关函数这四个数学特征中，自相关函数是最重要的一个。

基本性质：
(1) R(0)为ξ(t)的平均功率 (2) R(τ)为τ的偶函数
(3) R(0)是自己和自己相关，为相关系数中的最大值 (4) 统计独立，平稳过程的均值与时间无关，为常数
(5) 证明：
lim
()()
221
-
==òT
T T x t dt a x t T lim
()()()
2
2
1
t t +
-+=ò
T T T x t x t dt R T =a a
()()
t t =R R ()cos()
x w q =+c t A t 0
==a a (,)()cos 2
122
t w t
==
c A
R t t R ()()(
)(),,121212
R E t t x x f x x dx dx t x x t t ゥ
-?
轾=+=
臌蝌
()()2
0R E t S x 轾==犏臌
()()
R R t t =-()()
0R R t £()
()
()2
2
R E t
R a
x 轾??臌()(),, t t t x t x +()()2
0R R s
-?
4. 平稳过程的功率谱密度
随机过程中的任一样本只能是一个确定的功率型信号。

对于确定功率信号f(t)，功率谱密度定义为
F f (f )是f (t )的截短函数f T (t )所对应的频谱函数(P43图)。

f (t )是平稳过程ξ(t )的任一样本，因此P f (f )是每个样本的谱密度。

过程谱密度为对所有样本功率谱密度的统计平均：
上式为平稳过程ξ(t )的功率谱密度P ξ(f )的定义！
可证，平稳过程的功率谱密度的P ξ(f )与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶关系。

写为 结论1: 对功率谱密度积分，可得到平稳过程的总功率
结论2: 各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数。

结论3: 功率谱密度的非负且对于f 具有偶对称性。

3.3 高斯随机过程
()(){
}()(){}()()()()()()
2
2
22
22
2
2
220200s x x x x x x 轾轾轾轾==-=
-+=
-+犏臌臌臌臌
=-?=-=- D t E t a
E t a t a
E t aE t a R a a
a R a R R ()()lim
2
=T f T F f P f
T
()
()()lim 2
x
轾==犏臌T f T E F f P f E P f T
()()wt
x t t ¥
--
=
ò
j P f R e
d ()()wt
x t ¥
-
=
ò
j R P f e
df
()()
x t ÛR P f ()()0x ¥
-
=
ò
R P f df
()()
x =f P f P f ()()()
0x x x ³=-P f P f P f
高斯过程(正态随机过程)：通信领域中最重要的一种过程，大多数噪声都是高斯型的。

1.定义：如果随机过程ξ(t )的任意n 维分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

(P45)
2. 高斯过程的重要性质：
(1) 对于高斯过程，只需要研究它的数字特征。

(2) 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。

(3) 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。

(4) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的。

3. 高斯随机变量
高斯过程在给定任一时刻上，其取值是一个正态分布的随机变量，称为高斯随机变量，其概率密度函数为：
高斯随机概率密度特性：
(1) f(x)对称于x=a 这条直线，在a 处为最大，等于 (2) (3)
计算高斯随机变量ξ小于或等于某一取值x 的概率P(ξ≤x)
也可写成 (,,...;,,...,)(,)(,)...(,)
12121122=n n n n n f x x x t t t f x t f x t f x t (
)()~exp ~~2
2
2
1
2x a f x a e s s 轾-犏=
-犏犏臌
üïïýïïþ
均值常量，　以为底的指数函数方
差()1
f x dx ¥-
=ò
()()f x dx f x dx ¥-
=
=
蝌
2
(
),,2
012
a x f x s ==轾犏=
-犏臌若　称为标准高斯密度函数
(
)()x
z a F x dz s -
轾-犏=
-犏犏臌ò
2
2
2
()1122
=
+F x
erf 2
x
-t
()=
e dt
ò
误差函数：erf x
3.4 平稳随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。

是对确知信号分析的推广。

线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率响应H(f)来表示。

设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为ξi (t)，则输出为ξ0(t) ，则输入与输出可表示成卷积关系。

对线性系统，当输入ξi (t)是平稳过程时，输出响应ξ0(t)，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主要结论：
(1) 输出过程的均值是一个常数。

a 是输入过程的均值，H(0)是线性系统在f=0时的频率响应。

(2) 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

系统的输出ξ0(t)的自相关函数只与时间间隔τ有关，与时间起点无关。

(3) 线性系统输出平稳过程ξ0(t)的功率谱密度P 0(f)是输入平稳过程ξi (t)的功率谱密度P i (f)与传递函
数模的乘积平方。

(4) 高斯过程经线性变换后的输出过程仍为高斯过程。

3.5 窄带随机过程
窄带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。

如果这时的信号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。

在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带的假设。

窄带随机过程的一个样本波形如同一个包络和随机相位缓变的正弦波。

()1-12=故：F x
erf 2
-t
x
c(x)=1-erf(x)=
e dt
¥
互补误差函数：erf erf(0)=0 erf()=1ert(-x)=-erf(x)
¥性质：，
，2
-t /2
x
1Q Q ()=e
dt (x 0)
x ¥
³ò
定义函数
：1 Q ()=2关系：x ()()()()()0i i t h t t h t d x x t x t t
¥
-
=*=
-ò
()()()()=a i E t E t H H x x 轾轾=臌臌
000()()
,R t t R t t +=0110()()() f f f 2
0×＝i P H P
窄带过程表达式 ：
振幅和相位的变化相对于载波的变化要缓慢得多。

窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式：
其中同相分量：
正交分量：
1. ξ(t)c 和ξs (t)的统计特性
讨论均值为零的平稳高斯窄带过程的统计特性，即讨论以下量的统计特性：
结论1：一个均值为零、方差为 的窄带高斯过程，假定它是平稳的，则它的
也平稳，而且均值均为零，方差也相同，有：
结论２：一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程 ，其包络 的一维分布为瑞利分布，相位 的一维分布是均匀分布。

并且就一维分布而言， 与
是统计独立的。

随机包络的概率密度函数服从瑞利函数分布 ：
()()()
()cos 0
c
t a t t t a t x x
x x w j
轾=+ 臌窄带随机过程的频谱密度和波形
载波频率
信号频谱
调制后的时域信号
P(f) x(t)
()()cos ()sin c c s c t t t t t
x x w x w =-()()cos ()c t t t x x x a j =()()sin ()s t t t x x x a j =a ()()()()
x x
j
x x ，，，c s t t t t 2
x s ()()c s t t x x 、()()()()()cs sc ()
c
s
c s E t E t E t R R x
x x x x x s
s
s
轾轾轾===臌臌臌====2220
000互相关系数()exp ,
2
2
2
2a a f a a x x
x x x
x s
s 轾犏=
- 犏犏臌
2
x s ()t x ()t x j ()a t x ()t x j ()a t x
随机相位的概率密度函数服从均匀函数分布
窄带高斯过程的随机包络、随机相位的波形图：
对一维分布， 与
统计独立的，有：
3.6 正弦波加窄带高斯噪声
是通信中常遇到的一种情况：比如从带通滤波器输出正弦波已调信号与窄带高斯噪声信号的混合。

混合信号的数学形式：
n(t)为窄带高斯噪声，均值为0。

正弦波加窄带高斯过程：
其中：
可以证明，正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度函数为
该概率密度函数称为广义瑞利分布，又称Rice （莱斯）密度函数。

式中为零阶修正贝塞尔函数。

()
1 ,
022f x j
j
p
p
=
＃()a t x ()t x j (a ,)=(a )()
x x x x j j f f f ()cos()()()()cos ()sin c c c r t A t n t n t x t t y t t
w q w w =++=-()()()
()()()()()()()()()cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos c c c s c c c s c c c s c c r t f t n t A t n t t n t t
A n t t A n t t z t t z t t z t t t w q w w q w q w w w w j =+轾=++-臌轾轾=+-+臌臌=-轾=+臌()
()()()
arctan
002s c z t z z t t z t j j
p
= =＃()()exp z z A z f z z A I s
s s 骣轾÷ç犏=
-+ ÷ç÷ç犏桫臌
22
02
22102
当信号很小，即A 趋于0时，信号功率与噪声功率的比值：
则莱斯分布化为瑞利分布。

当信噪比很大时即
莱斯分布化为高斯分布。

正弦波加窄带高斯相位分布f (φ) 也与信噪比有关，小信噪比时，f (φ)接近于均匀分布，反映这时窄带高斯噪声为主；大信噪比时，f (φ) 主要集中在有用信号附近。

随机包络的概率密度f(z)图：
随机相位概率密度f (φ)图：
３.7 高斯白噪声和带限白噪声
既然有窄带随机过程，必然也存在宽带随机过程。

一个理想的宽带过程的例子是白噪声，通信系统中最常见的热噪声近似为白噪声。

1. 白噪声
所谓白噪声是指它的平均功率谱密度函数在整个频率域内是常数，服从均匀分布。

修正的贝塞尔函数图
22n
A =
2g s
®22
n
A =1
2g s
>
>
其功率谱：
称作白噪声，是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。

有色光：只包括可见光的部分频率。

有色噪声：只包括部分频率。

实际中，热噪声频率范围 Hz ，功率谱密度在 Hz 内基本均匀分布，近似为白噪声。

白噪声的自相关函数：
平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系
白噪声的功率谱和自相关函数图：
如果白噪声的取值的概率分布服从高斯分布，则称为高斯白噪声。

2.低通白噪声
如果白噪声被限制在（-f H ，f H ）之内，则这样的白噪声称之为低通白噪声（带限白噪声）。

低通白噪声的谱密度：
自相关函数：
带限白噪声只在 上得到的随机变量不相关。

()n (-<<+
) n w
P f f H z
=
ゥ02
()n 0
(0<<+) w
P f n f H z
= 双边功率谱密度 单边功率谱密度
~13010~13
010
()()()() 1 2j j P R e
d R P e
d wt
x wt
x w t t
t w w
p
¥
--
¥
- ==
ò
ò
()()
0001
1122222
j j n n n R e
d e
d wt
wt
t w w
d t p
p
ゥ
-?
\
=
=?
蝌
R()=0=0表明：对于所有的0，都有，即白噪声仅在时才相关。

t t t ¹()n H n f f P f ìïï£ïïï=í
ïïïïïî
2
0其
它
()()H sin 22H H
H
H
f j j f f j f H H f n R P e d e
d n f e
df f n f wt
wt
x p t
t w w w
p
p
p t p t
¥
-?-==
=
=蝌
ò
0200
11222
2
/(=1,2,3,...)2t =H k f k
3. 带通白噪声
白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，其输出的噪声为带通白噪声。

设理想带通滤波器的带通特性为：
则其输出噪声的功率谱密度为：
自相关函数为：
带通滤波器通带宽度B<<fc ，因此带通滤波器是窄带滤波器，带通白噪声称为窄带高斯白噪声。

带通白噪声与一般窄带随机过程相同，写为：
N(t)的平均功率为：Ｎ=n 0B
-
() 1220ìï
ï＃+
ï=í
ï
ïïî
其他c c B B f f
f H f -
() 0222
0ìïï＃+
ï=íï
ïïî
Ｐ　其他c c n n B B f f f
f -----()()sin cos 22
2
2200002
2
22
2
p t
p t
p t
t p t p t
p t
¥
¥
+
+
=
=
+
=ò
蝌
c c c c j f n B B f f j f j f B B f f R P f e
df n n B e
df e
df n B
f
B ()()cos -()sin [()][()][()]2
220w w s
s s
======c c s c c s n
c
s
n t n t t n t t E n t E n t E n t。