2025届广东省珠海市高考数学倒计时模拟卷含解析

2025届广东省珠海市高考数学倒计时模拟卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为3
4
y
x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22
1916
x y -=
B ．22
1169x y -
= C ．22
134
x y -
= D ．22
143
x y -
= 2．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20
B ．50
C ．40
D ．60
3．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）
A ．100
B ．1000
C ．90
D ．90
4．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ C ．1212,()()p p E E ξξ>>
D ．1212,()()p p
E E ξξ<<
5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<或a e =
B ．1a e <<
C ．01a <<或
1
e a e =
D ．01a <<
6．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．2
7．复数12i
2i
+=-（ ）． A ．i
B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布(
)2
80,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）
附：若()2
~,X N μσ，则()0.6826P X
μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.
A ．0.6826
B ．0.8413
C ．0.8185
D ．0.9544
9．函数2()1cos 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥
11．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）
A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
12．已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1
(())f f e =（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．-1
D ．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ⋅=，则实数a 满足的取值范围是__________．
14．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.
15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a C b C c B =+，则C =________. 16．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13
CD CB =，若1
tan 2DAB ∠=，
则BAC ∠的正切值为_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID —19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅.
（1）根据散点图判断，y c dt =+与 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给
出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间
1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据
1975
2744
4515
5974
7111
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
参考数据：其中 1.5i
t i ω=，10
1
110i i ωω==∑.
t
y
ω
10
21
i
i t
=∑
10
21
i
i ω
=∑
10
1
i i
i t y
=∑
10
1
i i
i y
ω=∑ 111.5 121.5 131.5 141.5 151.5
5.5 390 19
385 7640 31525 154700 100 150 225 338 507
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点,O 焦点在x 轴上，右顶点()2,0A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为1
2
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若,M N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设()4,0P -，连接PM 交椭圆C 于另一点E ．求证：直线NE 过定点,B 并求出点B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于,S T 两点，求OS OT ⋅的取值范围． 19．（12分）在平面直角坐标系
中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：
，
直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II ）设
，若
，
，
成等比数列，求的值．
20．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.
（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；
（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.
21．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点P ，Q 分别为1AB ，1CC 的中点.求证：
（1）PQ //平面ABC ； （2）PQ ⊥平面11ABB A .
22．（10分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，
12AB BC BB ===，1AD =，3CD =，160ABB ∠=︒.
（1）求证：1AB B C ⊥；
（2）若平面ABCD ⊥平面11ABB A ，求二面角1D B C B --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
试题分析：由题意得
34b
a
，222
25c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169
x y -=． 考点：双曲线方程. 2、B 【解析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】
由题意，30=150015001000
n
⨯+，解得50n =.
故选：B. 【点睛】
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题. 3、A 【解析】
利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解 【详解】
由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为
34
(0.010.024)100.34,1000.34
n +⨯=∴=
=． 故选：A 【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 4、A 【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A. 点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 5、C 【解析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x
a x =；构造函数()ln x g x x
=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】
由log a x x =得，ln ln x
a x
=. 令()ln x
g x x =
， 则()2
1ln x
g x x
-'=
， 令()0g x '=，解得x e =，
所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1
e g e e e
==， 则()ln x
g x x
=
的图象如下图所示：
由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e
=， 解得01a <<或1
e a e =. 故选：C 【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 6、A 【解析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】
由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 7、A 【解析】
试题分析：
12(12)(2)242
2(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 8、C 【解析】
根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】
由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=，
所以()()1
85900.95440.68260.13592
P X <=
⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 9、B 【解析】
判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】
解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫
=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 所以()()111()cos cos cos 111x x x
x x x
e e e
f x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭
， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ； 又当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题. 10、D 【解析】 试题分析：
m α⊥，
,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系. 11、C 【解析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】
由BD xAB yAC =+，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13
y =
，又,,B D C 共线，则1111,,233
x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 12、A 【解析】
由函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1
(())f f e 的值，得到答案.
【详解】
由题意函数32,0
()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，
则11()ln 1f e e ==-，所以1313
(())(1)2(1)2
f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、⎡⎣
【解析】
问题转化为求直线l 与圆2
2
1x y +=有公共点时，a 的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．
【详解】 解：
直线:0l x y a -+=，点(1,0)A -，(1,0)B ，
直线l 上存在点P 满足0AP BP =，
P ∴的轨迹方程是22
1x y +=．
∴如图，直线l 与圆221x y +=有公共点，
∴圆心(0,0)O 到直线:0l x y a -+=的距离：
12d ≤，
解得22a -≤≤．
∴实数a 的取值范围为2,2⎡-⎣．
故答案为：2,2⎡-⎣．
【点睛】
本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题． 14、
1
4
【解析】
采用列举法计算古典概型的概率. 【详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为1
4
. 故答案为：14
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 15、
3
π 【解析】
利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.
【详解】
由正弦定理可知，2sin cos sin cos sin cos sin A C B C C B A =+= ()1
,0,,sin ,cos 2A C A C π∈∴≠=
，即3
C π=. 故答案为：3
π
. 【点睛】
本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题. 16、3 【解析】
在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1
tan tan()2
DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】
设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x
∠=
∠= 22
2
21
tan tan()1332
1x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠=
=
=⇒=++
， 故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1） 1.5t y a b =+⋅适宜（2）10201.5t y ∴=+⋅（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效 【解析】
（1）根据散点图即可判断出结果.
（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，求出b ，再由回归方程过样本中心点求出a ，即可求出回归方程.
（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当15t =时，10150y =，与真实值作比较即可判断有效. 【详解】
（1）根据散点图可知：
1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；
（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，()()()
1010
1
110
10
2
2
21
1
1010i
i
i i
i i i
i
i i y y y y
b ωωωωωωω
ω
====---=
=
--∑∑∑∑
2
1547001019390
207401019-⨯⨯=
=-⨯，
390201910a y b ω=-=-⨯=， 10201.5t y ∴=+⋅；
（3）（ⅰ）11t
=时，2010y =，
201019750.11975-<，
当12t =时，3010y =，
301027440.12744-<，
当13t =时，4510y =，
451045150.14515
-<，
所以（2）的回归方程可靠： （ⅱ）当15t =时，10150y =， 10150远大于7111，所以防护措施有效. 【点睛】
本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.
18、（1）22143
x y +=；
（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】
(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.
(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.
(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可.
【详解】
解：()1设椭圆C 的标准方程()22
2210,x y a b a b
+=>>焦距为2c ,
由题意得,2,a ＝
由21
2a c c a a a c
-==
-,可得1,c ＝
则2223b a c ＝﹣＝,
所以椭圆C 的标准方程为22143
x y +=；
()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,
由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,
联立22
(4)
14
3y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222
433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,
则11(,
)N x y ﹣． 所以22121222326412
,4343
k k x x x x k k -+=-=
++, 所以NE 的方程为()21
2221
y y y y x x x x +-=
--,
令0,y ＝得()
221221
y x x x x y y -==
+,
将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,
()121212248
x x x x x x x ++=++,
整理得
()()
22
2
2
128241281322432k k x k k
--=
=--++,
所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．
()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,,
此时5
4
OS OT ⋅=-
, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,
设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,
联立方程组22
(1)143y m x x y +⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
＝, 消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则(
)()()()2
22
22844341214410m
m
m m ++＝﹣﹣＝＞．
所以22343422
8412
,,4343
m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()2
2
2
34343432443
9111m y y m x x m x x x m x =++=++=-
++, 所以()
23423424512533
44343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-
=-++-, 由2
0,m ≥得54,4OS OT ⎡
⎫⋅∈--
⎪⎢⎣⎭, 综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题. 19、（I ），
；（II ）.
【解析】
（I ）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II ）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案. 【详解】
（I ）曲线：，两边同时乘以
可得
，化简得）
；
直线的参数方程为
（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0； （II ）将
（为参数）代入
并整理得
韦达定理：
由题意得 即 可得 即
解得
【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题. 20、（1）证明见解析；（2）154
. 【解析】
（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；
（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C
⋅=计
算即可. 【详解】
（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==， 所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =，
所以1B ABC A B ≌.
所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .
又AB
平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .
（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=， 则1BCC 为正三角形，
取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.
以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系B xyz -，则
()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()
123,2,0C .
设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =， 且()
23,2,2AC =--，()10,4,0CC =. 由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得23220,
40,
x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =.
由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥； 又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥； 又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()
1=23,6,0B C -. 所以111231
cos ,4
432n B C n B C n B C
⋅=
=
=⨯.
故sin θ=. 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
21、（1）见解析（2）见解析 【解析】
（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD .根据线面平行的判定定理即得；（2）先证1BB CD ⊥，CD AB ⊥，AB 和1BB 都是平面11ABB A 内的直线且交于点B ，由（1）得CD PQ ∥，再结合线面垂直的判定定理即得. 【详解】
（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD . 在1ABB ∆中，
P ，D 分别为1AB ，AB 中点，
∴1PD BB ∥，且11
2PD BB =.在直三棱柱111ABC A B C -中，11CC BB ，11CC BB =.Q 为棱1CC 的中点，
∴1CQ BB ∥，且11
2CQ BB =.
∴PD CQ ∥，PD CQ =.
∴四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥.
又
CD ⊂平面ABC ，PQ ⊄平面ABC ，∴PQ ∥平面ABC .
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC .又CD ⊂平面ABC ，1BB CD ∴⊥.CA CB =，D 为AB 中
点，CD AB ∴⊥.
由（1）知CD PQ ∥，1BB PQ ∴⊥，AB PQ ⊥. 又
1AB
BB B =，AB 平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，
PQ ⊥平面11ABB A .
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大. 22、（1）证明见解析（2）105
35
- 【解析】
（1）取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，1AB ，根据线段关系可证明ABC ∆为等边三角形，即可得AB OC ⊥；由1ABB ∆为等边三角形，可得1AB OB ⊥，从而由线面垂直判断定理可证明AB ⊥平面1OB C ，即可证明1AB B C ⊥. （2）以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面1BB C 和平面1B CD 的法向量，即可由法向量法求得二面角1D B C B --的余弦值. 【详解】
（1）证明：取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，如下图所示：
因为1AD =，3CD =，90ADC ∠=︒，
所以2AC =，故ABC ∆为等边三角形，则AB OC ⊥. 连接1AB ，因为12AB BB ==，160ABB ∠=︒， 所以1ABB ∆为等边三角形，则1AB OB ⊥. 又1OC
OB O =，所以AB ⊥平面1OB C .
因为1B C ⊂平面1OB C ， 所以1AB B C ⊥.
（2）由（1）知AB OC ⊥， 因为平面ABCD
平面11ABB A AB =，OC ⊂平面ABCD ，
所以OC ⊥平面11ABB A ，
以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求13OC OB =，则()0,1,0B ，)1
3,0,0B ，(3C ，330,2D ⎛- ⎝⎭
，
则(0,3BC =-，(
13,0,3B C =-，330,,2CD ⎛=-
⎝⎭
. 设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =，
则1110,0,n BC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111130,330,
y z x z ⎧
-+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则13y =11z =， 故()
11,3,1n =.
设平面1B CD 的法向量()2222,,n x y z =，
则2210,0,n CD n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则2
222330,2
330,
y z x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
令21x =，则233y =-，21z =，故231,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以
121212
105cos ,357
53n n n n n n ⋅==
=⨯
.
由图可知，二面角1D B C B --为钝二面角角，
所以二面角1D B C B --的余弦值为【点睛】
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.。