2022年精品解析沪科版八年级数学下册第19章 四边形章节测评试题(含详细解析)

沪科版八年级数学下册第19章 四边形章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，54B ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，则ACD ∠的度数是（ ）
A ．18︒
B ．36︒
C ．54︒
D ．72︒
2、下列命题是真命题的是（ ）
A ．五边形的内角和是720°
B ．三角形的任意两边之和大于第三边
C ．内错角相等
D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
3、如图，已知E 为邻边相等的平行四边形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE =∠B =80º，那么∠CDE 的度数为（ ）
A．20ºB．25ºC．30ºD．35º
4、下列说法不正确
．．．的是（）
A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角
B．四边形的内角和与外角和相等
C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条
D．全等三角形的周长相等，面积也相等
5、下列新冠疫情防控标识图案中，中心对称图形是（）
A．B．C．D．
6、如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（）
A．24 B．48 C．D．
7、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）
A ．测量对角线是否互相平分
B ．测量两组对边是否分别相等
C ．测量对角线是否相等
D ．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
8、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分BAC ∠，E 是AD 中点，若BD a =，则CE 的长为（ ）
A ．13a
B ．12a
C ．2
3a D ．34
a 9、下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A ．正方形
B ．正五边形
C ．正七边形
D ．正九边形
10、如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A ．当▱ABCD 是矩形时，∠ABC ＝90°
B ．当▱ABCD 是菱形时，A
C ⊥B
D C ．当▱ABCD 是正方形时，AC ＝BD D ．当▱ABCD 是菱形时，AB ＝AC
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为对角线AC 上与A ，C 不重合的一个动点，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，连接DE ，FG ，下列结论：①DE ＝FG ；②DE ⊥FG ；③∠BFG ＝∠ADE ；④FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__．
2、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos∠EFG 的值为________．
3、如图，平面直角坐标系中，有()3,4A ，()6,0B ，()0,0O 三点，以A ，B ，O 三点为顶点的平行四边形的另一个顶点D 的坐标为______．
4、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．
5、如图，在正方形ABCD 中，9AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将△BMA 沿BM 对折至△BMN ，连接DN ，则DN 的长是________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E
1
2
∠A；
（拓展应用）
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．
2、正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．
（1）如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；
（2）在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF 的面积为y，用含x的代数式表示y；
（3）如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．
3、如图，在ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=5，AE=6，ABCD的面积为36，求DF的长．
4、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
时，猜想BC与CD的数量关系，并证明你的结论．
（2）当CF平分BCD
5、如图，在ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：DEF是等腰三角形；
（2）若60
∠=︒，2
A
DE=，求BC的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2、B
【分析】
利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．
3、C
【分析】
依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．
【点睛】
考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．
4、C
【分析】
根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．
【详解】
∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，
∴A不符合题意；
∵四边形的内角和与外角和都是360°，
∴四边形的内角和与外角和相等，正确，
∴B不符合题意；
∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，
∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，
∴C符合题意；
∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，
∴D不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．
5、A
【分析】
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：选项B 、C 、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、C
【分析】
根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得28AC OA ==，进而勾股定理求得BC ，再根据AB BC ⨯即可求得矩形的面积．
【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，
12
OA AC ∴=，90ABC ∠=︒ AB ＝6，OA ＝4
BC ∴
∴矩形ABCD的面积为：6
⨯=⨯
AB BC
故选C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
7、D
【分析】
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两组对边分别相等是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．
8、B
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=1
2
∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD=a，
在Rt△ACB中，E是AD中点，
∴CE=1
2AD=
1
2
a，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
9、A
【分析】
根据使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面，即可求解．
【详解】
解：A、∵正方形的内角和为360︒，
∴正方形的每个内角为90°，
而904=360
︒⨯︒，
∴正方形能够铺满地面，故本选项符合题意；
B、正五边形的每个内角为()
52180
108
5
-⨯︒
=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项
不符合题意；
C、正七边形的每个内角为()
72180900
77
-⨯︒⎛⎫
=︒
⎪
⎝⎭
，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选
项不符合题意；
D、正九边形的每个内角为()
92180
140
9
-⨯︒
=︒，不能被360°整除，所以不能够铺满地面，故本选项
不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了用正多边形铺设地面，熟练掌握给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面是解题的关键．
10、D
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.
二、填空题
1、①②③
【分析】
①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段
最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为
【详解】
解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ＝45°．
在△ABE 和△ADE 中，
AE AE BAC DAC AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△ADE （SAS ）．
∴BE ＝DE ．
∴DE ＝FG ．
∴①正确；
②延长DE ，交FG 于M ，交FB 于点H ，
∵△ABE ≌△ADE ，
∴∠ABE ＝∠ADE ．
由①知：OB ＝OF ，
∴∠OFB ＝∠ABE ．
∴∠OFB ＝∠ADE ．
∵∠BAD ＝90°，
∴∠ADE +∠AHD ＝90°．
∴∠OFB +∠AHD ＝90°．
即：∠FMH ＝90°，
∴DE ⊥FG ．
∴②正确；
③由②知：∠OFB ＝∠ADE ．
即：∠BFG ＝∠ADE ．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC．
AC＝．
∴DE＝1
2
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
2
【分析】
根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，
BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，
∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE
从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．
2+
【详解】
解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴AE
∴AO=
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+
2=x2，
解得:
7
4
x=，
在Rt△AOF中，OF=
∴474
cos AFO ∠=
故答案为． 【点睛】 本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、（9，4）、（-3，4）、（3，-4）
【分析】
根据平行四边形的性质得出AD=BO =6，AD ∥BO ，根据平行线得出A 和D 的纵坐标相等，根据B 的横坐标和BO 的值即可求出D 的横坐标．
【详解】
∵平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、O 的坐标分别为（3，4）、（6，0）、（0，0），
∴AD=BO =6，AD ∥BO ，
∴D 的横坐标是3+6=9，纵坐标是4，
即D 的坐标是（9，4），
同理可得出D 的坐标还有（-3，4）、（3，-4）．
故答案为：（9，4）、（-3，4）、（3，-4）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边平行且相等．
4、8
【分析】
正方形边长相等设为a ，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．
【详解】
解：设边长为a ，对角线为4 24a =+28a ∴=
故答案为：8．
【点睛】
本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．
5【分析】
连接AN 交BM 于点O ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，根据正方形的性质可得AM =3，DM =6，从而得到
BM =AN ⊥BM ，AO =NO ，MN =AM =3，再由11
22ABM S AB AM AO BM =⋅=⋅，可得AO =2AN AO ==
2222AN AH MN MH -=-，从而得到125MH =
，进而得到95HN =，2718955DH =-= ，即可求证．
【详解】
解：如图，连接AN 交BM 于点O ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD =90°，AB =AD ，
∵9AB =， :1:2AM MD =． ∴AM =3，DM =6，
∴
BM =， ∵将△BMA 沿BM 对折至△BMN ， ∴AN ⊥BM ，AO =NO ，MN =AM =3， ∵1122ABM
S AB AM AO BM =⋅=⋅ ，
∴AO =，
∴2AN AO ==
在Rt AHN 中，由勾股定理得： 222HN AN AH =- ，
在Rt MHN 中，由勾股定理得： 222HN MN MH =- ，
∴2222AN AH MN MH -=-，
即()222233MH MH -+=- ，解得：125MH = ，
∴2735AH MH =+=
，95HN = ， ∴2718955
DH =-= ，
∴DN ==．
【点睛】 本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，轴对称图形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）①∠CDA ＝20°；②∠CAD +41°＝∠CBD ．
【分析】
（1）由三角形外角的性质可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD ＝∠E +∠EBC ；由角平分线的性质可得
1()2
ECD A ABC =∠+∠∠，12EBC ABC ∠=∠，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD =a ，根据已知条件得到∠ABC =180°-2a ，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．
【详解】
（1）证明：∵∠ACD 是△ABC 的外角
∴∠ACD ＝∠A +∠ABC
∵CE 平分∠ACD ∴1()2
∠=∠+∠ECD A ABC
又∵∠ECD ＝∠E +∠EBC ∴1()2ECD EBC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∵BE 平分∠ABC ∴12EBC ABC ∠=∠ ∴1
1()22∠+∠=∠+∠ABC E A ABC
∴
1
2
∠=∠
E A；
（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°
∵∠CBA＝40°
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°∵AD平分∠BAC
∴
1
30
2
CAD CAB︒∠=∠=
∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②∠CAD+41°＝∠CBD
设∠CBD＝α
∵∠ABD+∠CBD＝180°
∴∠ABC＝180°﹣2α
∵∠ACB＝82°
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝1
2
∠CAB＝α﹣41°
∴∠CAD+41°＝∠CBD．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．
2、
（1）见解析
x2-3x+18（0＜x＜6）
（2）y=1
2
（3）
【分析】
（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，
△ADE≌△DCM即可解决问题；
（2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题；
（3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，
EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题．
（1）
证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，
∵CM∥FG，DE⊥FG，
∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE，
∴CM=FG，∠CKD=90°
∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠DCM，
∴△ADE≌△DCM（ASA），
∴CM=DE，
∴DE=FG．
（2）
如图2中，
∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF=x，
∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB
=1 2×（x+6）×6-1
2
×6×x-1
2
×x（6-x）
=3x+18-3x+1
2
x2-3x
=1
2
x2-3x+18（0＜x＜6）．
（3）
如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．
则四边形DGFN是平行四边形，
∴∠EDN=∠GHD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，
∴∠NDE=∠NDM，
∵DN=DN，DE=DM，
∴△NDE≌△NDM（SAS），
∴EN=NM，
∵AB=6，BE=2AE，
∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，
在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，
∴（x+2）2=（6-x）2+42，
∴x=3，
在Rt△DCN中，DN
，
∴FG=DN=
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3、（1）见解析；（2）2.5．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；
（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AF//BE
∴∠FBE=∠AFB，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
又∵AB//EF，AF//BE
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，∵AE=6，
∴AO=3，
∴BO4
==
∴BF=8，
∴S菱形ABEF=1
2AE·BF=1
2
×8×6=24，
∴BE·AH=24，
∴AH=24
5
;
∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，
∴BC=15 2
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC=15 2
∴FD=AD-AF=15
2
-5=2.5．
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．
4、（1）证明见解析；（2）2BC CD =，证明见解析
【分析】
（1）由题意可得Rt CDE Rt FAE ≌，CD AF =，进而可说明四边形ACDF 是平行四边形；
（2）CF 平分BCD ∠，45DCF DEC ∠=︒=∠，CD DE =，2BC DE =进而可得到BC 与CD 的数量关系．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形
∴AB CD ，90B DAB BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒
∴90FAE CDE ∠=∠=︒
∵E 是AD 的中点
∴AE DE =
在Rt CDE △和Rt FAE 中
90FAE CDE AE DE
CED FEA ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()Rt CDE Rt FAE SAS ≌
∴CD AF =
又∵CD AF ∥
∴四边形ACDF 是平行四边形．
（2）解：2BC CD =
证明：∵CF 平分BCD ∠ ∴1452
DCF BCD DEC ∠=∠=︒=∠ ∴CD DE =
∵2BC DE =
∴2BC CD =．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键与难点是灵活综合运用几何图形的性质．
5、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得1802BFE EBF ∠=︒-∠，
1802DFC DCF ∠=︒-∠，进而证得DFE ∠=60°，则△DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质求得2DE DF EF ===即可求解．
【详解】
（1）证明：∵BD ，CE 分别是AB 、AC 边上的高，
∴90BDC BEC ∠=∠=︒，
∵点F 是BC 中点， ∴1
2EF BC =，12
DF BC =，12BF CF BC == ∴EF DF BF CF ===，
∴DEF 是等腰三角形；
（2）解：∵EF DF BF CF ===，
∴EBF BEF ∠=∠，FDC DCF ∠=∠
∴1802BFE EBF ∠=︒-∠，
同理1802DFC DCF ∠=︒-∠，
∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，
∴180120ABF ACF A ∠+∠=︒-∠=︒，
∴()180DFE BFE DFC ∠=︒-∠+∠
()18036022EBF DCF =︒-︒-∠-∠
218060EBF DCF =∠+∠-︒=︒（）
又DEF 是等腰三角形，
∴DEF 是等边三角形．
∴2DE DF EF ===，
∴24BC EF ==．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。