初二升初三暑期衔接课《二次函数3》

第八讲 二次函数3
一、知识梳理
1.求二次函数解析式的表示方法；
2.二次函数y=ax 2+bx+c 的a.b.c 的符号的确定；
3.二次函数的最值问题；
4.二次函数与一元二次方程的关系；
5.二次函数的面积问题；
二、课堂精讲：
要点一：求二次函数解析式的表示方法 1. 待定系数法求解二次函数解析式
（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式的几种特殊形式. （1） ， ⑵ ， ⑶ ，（4） 注
意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
例1 根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。

(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。

(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式。

【难度分级】 A
【选题意图】理解用待定系数法求二次函数的解析式。

【随堂演练】
【A类】1.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
=-1，且图象过（0，7）
（1）当x=3时，y
最小值
（2） 图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2
3
要点二：二次函数y=ax 2+bx+c 的a.b.c 的符号的确定 抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与字母系数a ，b ，c 之间的关系： (1)当a>0时，开口____，当a<0时，开口____；
(2)若对称轴在y 轴的左边，则a ，b____，若对称轴在y 轴的右边，则a ，b____； (3)若抛物线与y 轴的正半轴相交，则c____0，若抛物线与y 轴的负半轴相交，则c____0，若抛物线经过原点，则c____0;
(4)当x=1时，y=ax 2+bx+c=a+b+c ；当x=-1时，y=ax 2+bx+c=a-b+c ；当x=2时，y=ax 2+bx+c=4a+2b+c ；当x=-2时，y=ax 2+bx+c=4a-2b+c ；…; (5)当对称轴x=1时，x=-a b 2=1，所以-b=2a ，此时2a+b=0；当对称轴x=-1时，x=-a
b
2=-1，所以b=2a ，此时2a-b=0；判断2a+b 大于或者等于0，看对称轴与1的大小关系；判断2a-b 大于或者等于0，看对称轴与-1的大小关系; (6)b 2-4ac>0二次函数与横轴有两个交点；b 2-4ac=0二次函数与横轴有一个交点；
b 2-4ac<0二次函数与横轴无交点.
例2 （1）已知y=ax 2+bx+c 的图象如下，则：a+b+c_______0，a-b+c__________0。

2a+b________0
第5题
x
y
O
1
（2）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc ＞0，②b ＝2a ；③a ＋b ＋c ＜0，④a －b ＋c ＞0，正确的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C. 2个 D ．1个
【难度分级】 B
【选题意图】理解二次函数y=ax 2
+bx+c 的a.b.c 的符号。

【随堂演练】 【B 类】
1、已知抛物线y=ax 2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )
Ａ、一二三象限 B 、一二四象限 C 、一三四象限 D 、一三四象限 2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ， △ <0，画出函数的大致图象。

3、y=ax 2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax 2+bx+c>0的解是____________; ax 2+bx+c<0的解是____________
4、（杭州月考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值。

③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
5、（厦门湖里模拟)如图，二次函数 322-+=x ax y 的图像与x 轴有一个交点在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）
Ａ．3
1
>
a Ｂ．10<<a Ｃ．1>a Ｄ．03
1
≠->a a 且
图2
6、(厦门湖里模拟)抛物线)0(2>++=a c bx ax y 对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
7、（河南中考模拟题）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列条件正确的是（ ） A ．ac ＜0 B.b 2 －4ac ＜0 C. b ＞0 D. a ＞0、b ＜0、c ＞0
要点三：二次函数的最值问题
例3 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．
（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
【难度分级】 A
【选题意图】 理解二次函数由一般式化为顶点式，并求出最值； 【随堂演练】 【A 类】
1、如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC+BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？
2、用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
要点四：二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系：
(1)如果抛物线与x轴___交点，那么一元二次方程___实数根；(2)如果抛物线与x轴只有___个交点，此时的交点就是抛物线的顶点，那么一元二次方程有两个___的实数根；(3)如果抛物线与x轴有___个交点，那么一元二次方程有两个___的实数根，此时，抛物线与x轴两个交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程的两个实数根.
例4 （1）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
（2）(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x
1=1，x
2
=-1 B.x
1
=1，x
2
=2 C.x
1
=1，x
2
=0 D.x
1
=1，x
2
=3
（3）(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4
（4）抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为___
（5）二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A.x＜-1
B.x＞2
C.-1＜x＜2
D.x＜-1或x＞2
例5在体育测试时，初三（2）班的高个子张成同学推铅球，已知铅球所经过的路线是抛物线y=ax2+bx+c的一部分（如图所示），且知铅球出手处A点的坐标为（0，2）（单位：m，后同），铅球路线中最高处B点的坐标为（6,5）
（1）求该抛物线的解析式；（2）张成同学把铅球推出多远？（精确到0.01m）
【难度分级】 A
【选题意图】理解实际问题二次函数的解析式的求法，理解二次函数与一元二次方程的关系。

【随堂演练】
【A类】
1、(黔东南中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2 014的值为( )
A.2 012
B.2 013
C.2 014
D.2 015
2、(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是( )
A.x＜2
B.x＞-3
C.-3＜x＜1
D.x＜-3或x＞1
3、(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，ax2+bx+c=m 有实数根的条件是( )
A.m≤-2
B.m≥-2
C.m≥0
D.m＞4
【B类】
4、(济南中考)二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
A.t≥-1
B.-1≤t＜3
C.-1≤t＜8
D.3＜t＜8
5、(济宁中考)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且a<b，则a、b、m、n的大小关系是( )
A.m<a<b<n
B.a<m<n<b
C.a<m<b<n
D.m<a<n<b
6、抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为 .
7、(南京中考)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
要点五：二次函数的面积问题
例6 已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
例7 如图，在平面直角坐标系中，点A C 、
的坐标分别为(10)(0-，点B 在x 轴 上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．
三、课后巩固练习
【A 类】
1.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（2）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3
（3）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）
2、用一个长为6分米的铁丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分米,求①y关于x的函数关系式②当边长为多少时这个矩表面积最大？
3、在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地，已知砖墙在地面上占地总长度
160m，问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。

4、某种商品的进价为30元/件，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（200-x）件，问应如何定价才能使利润最大？
5、(龙岩中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.a>0
B.c>0
C.ac>0
D.bc<0
6、(兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是( )
A.abc＜0
B.2a+b=0
C.b2-4ac＞0
D.a-b+c＞0
7、(陕西中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.c>-1
B.b>0
C.2a+b≠0
D.9a+c>3b
8、(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞
4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y
1)，(5，y
2
)
是抛物线上的两点，则y
1＜y
2
.上述4个判断中，正确的是( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
【B类】
9、(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是
( )
10、(遵义中考)已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( )
11、已知二次函数y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A.k>-4
7
B.k>-4
7
且k ≠0
C.k ≥-4
7
D.k ≥-4
7
且k ≠0
12、(黔东南中考)如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc<0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0.其中正确的结论有( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
13、(齐齐哈尔中考)如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线
x=21
，且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y 1)，(2
5
，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是( )
A.①②④
B.③④
C.①③④
D.①②
14、已知关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0，1)，且与x 轴交于不同的两点A,B ，点A 的坐标是(1，0). (1)求c 的值;
(2)求a 的取值范围.
15、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？。