时域仿真法暂态稳定分析知识分享

8时域仿真法暂态稳定分析
8.1 引言
电力系统暂态稳定分析的主要目的是检查系统在大扰动下(如故障、切机、切负荷、重合闸操作等情况)，各发电机组间能否保持同步运行，如果能保持同步运行，并具有可以接受的电压和频率水平，则称此电力系统在这一大扰动下是暂态稳定的。

在电力系统规划、设计、运行等工作中都要进行大量的暂态稳定分析，因为系统一旦失去暂态稳定就可能造成大面积停电，给国民经济带来巨大损失。

通过暂态稳定分析还可以研究和考察各种稳定措施的效果以及稳定控制的性能，因此有很大的意义。

当电力系统受到大扰动时，发电机的输入机械功率和输出电磁功率失去平衡，引起转子的速度及角度的变化，各机组间发生相对摇摆，其结果可能有两种不同情况。

一种情况是这种摇摆最后平息下来，系统中各发电机仍能保持同步运行，过渡到气个新的运行状态，则认为系统在此扰动下是暂态稳定的。

另一种情况是这种摇摆最终使一些发电机之间的相对角度不断增大，也就是说发电机之间失去了同步，此时系统的功率及电压发生强烈的振荡，对于这种情况，我们称系统失去了暂态稳定。

这时，应将失步的发电机切除并采取其他紧急措施。

除此以外，系统在大扰动下还可能出现电压急剧降低而无法恢复的情况，这是另一类失去暂态稳定的形式，也应采取紧急措施恢复电压，恢复系统正常运行。

这两大类暂态稳定问题分别称为功角型和电压型暂态稳定问题，并且常互相影响，互相关联。

为了防止在大扰动下系统失去暂态稳定，在电力系统中需要根据预想的典型大扰动，分析系统在这些典型扰动下的暂态稳定性，这就是电力系统暂态稳定分析的基本任务，其中最大量的分析是功角稳定问题。

现代电力系统一方面采用了先进技术和装置来改善系统的暂态稳定性，如快速高顶值倍数的励磁系统、快关汽门、制动电阻、静止无功补偿装置、高压直流输电技术等等；但另一
X 方面又出现了一些对暂态稳定不利的因素，例如：大型机组参数恶化，其相应的暂态电抗
d T相对减少；超高压长距离重负荷输电线路的投入；同杆并架线路的
增大和惯性时间常数
J
增加等等。

此外，有些措施对第一摇摆稳定有利，但对系统后续摇摆中的阻尼性能及相应的系统稳定性带来不利影响，因此要注意稳定措施的全局规划及协调。

电力系统暂态稳定分析目前主要有两种方法，即时域仿真(time simulation)法，又称逐步积分(step by step)法，以及直接法(direct method)，又称暂态能量函数法(transient energy function method)。

时域仿真法将电力系统各元件模型根据元件间拓扑关系形成全系统模型，这是一组联立的微分方程组和代数方程组，然后以稳态工况或潮流解为初值，求扰动下的数值解，即逐步求得系统状态量和代数量随时间的变化曲线，并根据发电机转子摇摆曲线来判别系统在大扰动下能否保持同步运行，即暂态稳定性。

时域仿真法由于直观，可适应有几百台机、几千条线路、几千条母线的大系统，可适应各种不同的元件模型和系统故障及操作，因而得到广泛应用。

本章介绍时域仿真法暂态稳定分析，而直接法暂态稳定分析在下一章中介绍。

8.2 简化模型时域仿真法暂态稳定分析
本节采用简化的元件模型来介绍时域仿真法暂态稳定分析的基本原理、步骤，并提出采用复杂元件模型时会出现的问题。

电力系统基本上是由发电机、励磁系统、原动机及调速器以及网络和负荷组成的。

其相互联系示于图8-1。

其中发电机分为二部分，即转子运动方程部分和电磁回路方程部分。

转子运动方程反映了当发电机输入机械功率m P 和输出电功率e P 不平衡时引起发电机转速ω和转子角δ的变化。

发电机转速信号送入调速系统和参考速度比较，其偏差作为调速器的控制输入量，以控制原动机的输出机械功率m P 。

发电机转子角δ则用于进行发电机dq 坐标下电量和网络xy 同步坐标下电量间的接口。

发电机的电磁回路方程即发电机定子、转子绕组在dq 坐标下的电压方程，它以励磁系统输出励磁电压f E (文献中常用fd E )为输入量，发电机端电压和电流经坐标变换，可跟同步坐标下网络方程接口，并联立求解。

所解得的机端电压t U 反馈回励磁系统，励磁系统将机端电压和参考电压ref U 比较，以控制发电机励磁电压f E 。

而发电机的输出电磁功率e P 将影响转子运动的功率平衡及转子速度和角度的变化。

网络一般表示为节点导纳阵形式，网络除和发电机相连外，还和负荷相连。

图8-1中只画出了实际网络和一台发电机、一个负荷之间的联系。

实际的电网有许多发电机和负荷，通过网络互相联系和互相影响，造成了电力系统暂态稳定分析的复杂性。

图8-1 电力系统基本组成部分及相互联系示意图
暂态稳定分析由于主要研究发电机转子摇摆特性，主要和网络中的工频分量有关，故发电机可忽略定子暂态而采用实用模型，而网络采用准稳态模型，负荷则采用第4章所介绍的静态模型或(和)计及机械暂态或机电暂态的动态模型。

为了突出电力系统暂态稳定分析的基
本原理和步骤，本节对发电机采用经典二阶模型，忽略凸极效应，并设暂态电抗d
X '后的暂态电动势E '幅值恒定，从而忽略励磁系统的动态，以简化分析。

应当指出，E '恒定已计及
了励磁系统的一定作用，即认为励磁系统足够强，从而能保证d
X '后的暂态电动势E '恒定。

另外，本节中忽略调速器和原动机动态作用，即认为机械功率m P 为定常值。

在上述模型及相应假定下，发电机忽略定子绕组内阻时的定子电压标幺值方程为
G
d G I X j E U &&&'-'= （8-1） 式中，G U &，G
I &为发电机端电压及流出的电流，均为同步坐标下的复数量；δ∠'='E E &为暂态电动势，E '=const.。

式(8-1)是同步坐标下的复数线性代数方程。

发电机的转子运动方程为(标幺值，下同)：
⎪⎩⎪⎨⎧-=-= 1ωδωdt
d P P dt d T
e m J （8-2） 式中
) Re(*
G G
e I U P &= m P =const.
当将式(8-1)、式(8-2)和网络方程联立求解时，可解出G U &,G
I &,ω,δ。

对于负荷，设采用最简单的线性负荷模型，从而对于三相对称负荷有 L L L I Z U &&= 或 L L L U Y I &&= （8-3）
式中，L L Y Z ，分别为负荷等值阻抗和导纳；L
L I U &&，分别为负荷电压及其吸收的电流。

若设网络节点导纳阵方程为
I U Y &&= （8-4)
式中，I U &&和分别为节点电压和各节点注入网络的电流。

对于发电机节点，I &相应元为G
I &；对于负荷节点，I &相应元为L
I &-；对于网络节点，I &相应元为零。

式(8-1)~式(8-4)构成了系统的基本方程。

这是一组联立的微分方程组和代数方程组。

暂态稳定时域仿真分析的核心是当n t 时刻的变量值已知时，如何求出1+n t 时刻的变量值，以便由0t 时的变量初值(一般是潮流计算得的稳态工况下变量值)，逐步计算出,,21t t …时刻的变量值，并在系统有操作或发生故障时作适当处理。

下面先介绍上述简化模型下，n t ~1+n t 时段的计算方法。

对于式(8-1)~式(8-4)的简化模型电力系统，可将负荷阻抗并入导纳阵，这只要修正负荷接点对应的导纳阵对角元，从而负荷接点转化为网络节点，式(8-4)中相应节点的注入电流化为零。

同时将各发电机方程(8-1)改写为导纳方程形式，即
G G G G G G d G d
G U Y I U Y E Y X j U X j E I &&&&&&&-'-'='-''==def (8-5) 式中，d
G X j Y '=1，为发电机暂态导纳，式（8-5）的等值电路如图8-2所示。

显然可把G Y 并入网络导纳阵，即修正发电机节点相对应的导纳阵对角元，则联立求解发电机和网络方程的
问题就转化为在发电机节点有注入电流E Y I G G '='&&时，网络方程(已将G Y 和L Y 并入导纳阵)
的求解问题。

网络方程的求解本质上是求解一组复数线性代数方程，可用高斯消去法。

由于系统无操作时，导纳阵不变，故可预先对导纳阵作三角分解，存储因子表，然后每一时步根
据各节点注入的电流求解各节点电压。

在计算每一时步各发电机的等值注入电流G I '&时，由
于E
'&的相角δ随时间而变，需由转子运动方程计算确定，故实用中可根据n t 时刻的n n n e n m P P δω,,,,,，先用某种微分方程的数值求解法来估算1+n t 时刻的1+n ω和1+n δ，如设n n t t h -=+1，由式(8-2)取
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-++≈-+=+≈+++ 12/)(11,,1h T P P h h n n n n J n e n m n n n n ωωδδωωωω& （8-6） 式(8-6)又称作是微分方程(8-2)在n t ~1+n t 时段上的差分代数方程，从而可得11++∠'='n n E E δ&，
则各发电机1+n t 时刻等值电流源1,+'n G I &可求，
可进而求解网络方程得1+n U &，然后可根据式(8-5)计算发电机端电流G I &，并计算发电机的电磁功率) Re(G *
I U P G
e &=。

这样计算得的1+n t 时刻的变量精度可能较差，必要时可进行校正和迭代计算，以改善精度。

图8-2 经典模型发电机等值电路图
简化模型的电力系统暂态稳定分析的步骤和流程框图见图8-3。

下面对其作简要说明。

(1) 暂态稳定分析首先输入原始数据，这包括系统元件的模型、参数、网络拓扑信息、扰动过程信息、稳定分析要求(如计算步长、仿真总时间、失稳判据等)、打印输出要求，另外还应输入暂态分析的初始稳态工况，一般为潮流计算结果。

此即流程框图中框①。

(2) 然后根据潮流及原始数据计算各代数变量和状态变量的初值，及E '和m P 的稳态值，采用简化模型时E '和m P 在暂态过程中保持不变。

此即流程框图中框②。

对于负荷节点，
潮流中已计算得负荷有功功率0L P 、无功功率0L Q 、及负荷母线电压0
L U &，则由 20
00L L L L U Y jQ P &=+ (8-7) 可计算负荷等值导纳L Y 。

对于发电机节点，潮流中已计算得发电机发出的有功0G P 、无功
功率0G Q 及端电压0
G U &，则由 0*
000G G G G I U jQ P &=- (8-8) 计算0G I &，再由式(8-1)计算0000G d G I X j U E E &&&'+=∠'='δ，得E '及0δ，电磁功率
G0*
00) Re(m G e P I U P ==&，E '和0m P 在暂态中保持不变。

此外10=ω(p.u)，至此系统暂态分析的初值计算毕。

(3) 根据网络元件参数及网络拓扑关系形成网络稳态工况下节点导纳阵，也可直接从潮
流输出中读入。

将负荷等值导纳L Y 及发电机内部暂态导纳d
G X j Y '=
1并入导纳阵，对导纳阵作因子表计算。

此即流程框图框③。

(4) 将时钟指针n t 置零，根据扰动过程参数，判别当前有无扰动发生。

若有扰动则需要根据扰动参数修改导纳阵及微分方程，并设n t 时刻状态量不突变，据扰动后系统代数方程计
算+n t 时刻的代数量，作为1~++n n t t 时步的初值，此即流程框图中框④和⑤；若n t 时刻无扰
动则直接转入框⑥。

此流程框图另作文件处理
图8-3 简化模型暂态稳定分析流程框图
(5) 作1~++n n t t 时段计算，求取1+n t 时刻的状态量和代数量，前面对此已作介绍，不予
重复。

此即框⑥的工作。

(6) 若本时步末要求打印输出结果，则转框⑦作相应处理，否则判别是否要停机：包括由于仿真总时间到而要求停机及据失步判据已判明系统失步不必继续计算而停机。

若要停机则作相应结尾处理而停机，否则表明系统还应继续仿真下去，则更新时标，转去下一步计算。

此即流程框图中框⑧一⑩的工作。

下面对实际的暂态稳定分析中的主要问题作一初步讨论，以便在后续章节中加以解决。

(1) 发电机凸极效应和采用高阶模型时的问题 当计及发电机凸极效应时，q d
X X '≠'，因此定子电压方程不能表示为与经典模型相似的同步坐标下的复数方程(8-1)，而需分别建立定子d 绕组、q 绕组的电压方程，并在联网时作特殊处理，这包括凸极效应处理和dq-xy 坐标变换。

此外发电机采用三阶及三阶以上实用模型时，要计及励磁系统动态，需将发电机和励磁系统微分方程联立作数值计算。

当进一步计及原动机和调速器动态时，还要加入其相应的微分方程一起作数值计算。

(2) 负荷采用非线性静态模型或动态模型时的问题 当负荷采用非线性静态模型时，在联网计算中需要求解非线性代数方程组，从而增加了分析计算的复杂性。

实用计算时，要对负荷和网络的接口作特殊处理，以便计算各时段的网络潮流。

当负荷采用动态模型时，联网计算需将其微分方程差分化，化为相应计算时步的差分代数方程，再和网络方程联立求解，动态负荷和网络接口时也要作适当处理。

(3) 微分方程求数值解的数值稳定性问题 暂态稳定分析要求求解联立的微分方程组和代数方程组，对于n t ~1+n t 时步计算通常将微分方程根据某种数值积分准则或根据泰勒级数化为差分代数方程，从而由n t 及过去时刻的系统变量求取1+n t 时刻的状态量和代数量。

若采用不同的数值积分方法(如改进尤拉法、龙格-库塔法、隐式梯形积分法等等)，则数值积分误差的传递规律，或者说数值稳定性将不同，有些方法在一定条件下会使分析结果严重畸变。

此外，采用不同的数值积分方法还会影响计算的处理过程以及计算的精度和时间。

(4) 微分方程和代数方程交替求解时的“交接误差”问题 在求解系统的微分方程组和代数方程组时，有些算法对微分方程和代数方程交替求解，即对于系统方程组
⎪⎩⎪⎨⎧==),( 0(z y g y z y,f dt
d ) (8-9)
式中，y 为状态矢量；z 为代数矢量；f 、g 为适当维数的函数。

若设n t 时刻的n y 和n z 已解
出，并据式(8-9)的第二式，用某种数值积分法估计状态量y 在1+n t 时刻的值)0(1+n y ，再将)0(1
+n y 代入式(8-9)的第一式通过求解代数方程计算)0(1+n z ，这样求得的)0(1+n y 和)0(1+n z 一般不能严格满足
式(8-9)的第二式。

为改善精度，可进一步根据n y ，n z ，)0(1+n y ，)0(1+n z 和式(8-9)第二式，作1+n y 的校正计算，得校正后的1+n y ，然后再代入式(8-9)第一式计算与校正后的1+n y 相对应的1+n z ，如此迭代直到计算收敛。

显然这种计算方法对代数方程和微分方程交替求解，计算结果不能同时满足式(8-9)中的两组方程，从而造成所谓的“交接误差”，若多次迭代又会增加机时。

为了消除“交接误差”，可把式(8-9)中的代数方程和差分化的系统微分方程联立求解，但求解过程较复杂，因为一般要求解一组非线性代数方程组。

(5) 故障及操作的处理问题 当系统发生故障或操作(切机、切负荷、切除线路等等)时，系统节点导纳阵和微分方程组要作相应的修正。

由于系统状态量在过程中不发生突变，而代数量则在操作瞬间要发生突变，故还要根据操作后的系统代数方程求解突变后的代数量。

还应指出，在发生不对称操作和故障时，还要根据序网理论和故障分析理论作相应处理，在复杂故障时，处理更为复杂。

下面几节将分别介绍上述问题的实际处理方法，然后再在此基础上介绍采用复杂元件模型时系统暂态稳定分析的典型计算方法和步骤。

8.3 发电机节点的处理和机网接口计算
发电机节点的处理和机网接口计算与发电机采用的模型有关，也和联网计算采用的方法有关。

目前的发电机节点处理方法大体上可分为以下4类。

(1) 发电机采用经典模型时的处理方法。

这一类处理方法已在上一节简化模型暂态稳定分析中作了介绍，即化为图8-2所示发电机等值导纳d
G X j Y '=1和发电机等值电流源E Y I G G '='&&相并联的形式。

将G Y 并入导纳阵，无操作时导纳阵不变，而每时步据发电机转
子角δ更新发电机注入网络的等值电流源G I '&，即可求解网络方程，计算节点电压。

(2) 考虑凸极效应的直接解法。

其实质是将网络复数线性代数方程实、虚部分开，增阶化为xy 同步坐标下的实数线性代数方程，并将发电机方程由dq 坐标化为xy 坐标，再和网络方程联立求解，最终是在实数域内求解线性代数方程。

这种解法对负荷非线性适应能力差，且发电机方程由dq 坐标据转子角δ转化为xy 坐标，引起导纳阵中发电机节点相应的对角 (2×2)子块由于δ变化而为非定常元素，每一时步要重新计算因子表，机时多且内存要增加一倍，目前在实用的暂态稳定分析程序中已不再采用此法，但这种方法物理概念清楚，不需迭代，求解网络方程为求解实线性代数方程组，也有一定优点。

后面将对之作简单介绍。

(3) 考虑凸极效应的迭代解法。

该方法特点是力求在复数域中求解线性代数方程来实现网络方程求解，并要求导纳阵元素在无操作时保持定常，而不随发电机转子角δ而变化，从而克服了直接解法的缺点。

但发电机的凸极效应及转子角变化对机网接口计算的影响，都要通过修正发电机注入网络的电流源来计及，而电流源计算还同1+n t 时刻的节点电压值有关。

由于1+n t 时刻的节点电压正待计算，而不预知，因此1+n t 时刻相应的电流源也不能预先准确计算，故要通过迭代，逐步逼近准确值，这就是迭代解法的本质。

迭代解法相对于直接解法有节省内存、因子表定常、计算速度快、便于适应非线性负荷模型等特点，但计算中每时步计算需要迭代，并有迭代误差。

迭代解法在一些实用暂态稳定分析程序中仍在使用，并常和改进欧拉法求解微分方程相结合。

后面将对此方法作进一步介绍。

(4) 考虑凸极效应的牛顿法。

牛顿法是求解非线性代数方程组的优良方法，有良好的收敛性能，已广泛用于电力系统潮流计算。

当发电机计及凸极效应，负荷计及非线性，系统中元件微分方程化为差分代数方程后，全网的代数方程联立，实质上是要求解一组非线性代数方程，故也可采用牛顿法求解。

相对于直接解法和迭代解法，用牛顿法进行机网接口计算编程复杂，因为要计算雅可比矩阵元素，而雅可比矩阵元素随时间而变化，故计算机时也较多。

但其最大优点是对非线性元件模型的适应性好，可将微分方程的差分代数方程和系统代数方程联立求解，无“交接误差”，故计算精度高、累计误差小，因而在暂态稳定分析中广泛应用。

它常和隐式梯形积分法求解微分方程相结合，后面将对隐式梯形积分法作进一步介绍。

8.3.1考虑凸极效应的直接解法
当发电机计及暂态凸极效应，即q d
X X '≠'时，发电机定子方程就不能用式(8-1)的简单复数关系来表示，必须对d 轴、q 轴等值绕组分别列方程。

当发电机采用四阶(或三阶)实用
模型时，定子电压方程为 (三阶模型时，下列方程中q d
X E '=',0为q X ) ⎩⎨⎧-'-'=-'+'=q a d d q q d a q q d d I r I X E U I r I X E U （8-10)
当发电机采用五阶、六阶实用模型时，定子电压方程为
⎩⎨⎧-''-''=-''+''=q a d d q q
d a q q d d I r I X E U I r I X E U （8-11) 由于式(8-10)和式(8-11)有相同形式，故下面将以发电机三阶、四阶实用模型为例，即用式(8-10)讨论机网接口计算问题。

将式(8-10)写成导纳阵形式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-q d a d q a q d a d q d d a d q a q d E E r X X r X X r U E U E r X X r I I ''211 （8-12) 为了和网络方程接口，需将dq 坐标化为xy 同步坐标，对式(8-12)二边右乘坐标变换阵
T ：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=δδδδsin cos cos sin T ，则dq xy Tf f =，从而式(8-12)化为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'''+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-y y x x y y x x y y x x a d q a q d a y x U E U E G B B G U E U E r X X r X X r I I def 121T T （8-13） 式中
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'-'+'+'-''+='-'+''+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'+'+'''+='-'-''+='+'-=''+'='2/2cos )()(211 ]2/2sin )([12/2cos )()(211 ]2/2sin )([1 sin cos cos sin 2222δδδδδδδδd d q d q d a y q d a q d a y
q d q d q d a x
q d a q d a x
q d y
q d x X X X X X X r B X X r X X r G X X X X X X r B X X r X X r G E E E E E E （8-14) 显然式(8-13)中导纳阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y y x x G B B G 是转子角δ的函数，且y x y x B B G G -≠≠,，不具备⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-G B B G 形式，无法直接将式(8-13)化为复数方程，然后与网络方程联立，在复数域中求解。

为了便于机网接口，直接解法中先把n 个节点的网络复数线性代数方程I U Y &&=增阶化
为2n 维的实线性代数方程。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡yn xn yi xi y x nn nn nn nn ni ni ni ni n n n n in in in in ii ii ii ii i i i i n n n n i i i i yn xn yi xi y x U U U U U U G B B G G B B G G B B G G B B G G B B G G B B G G B B G G B B G G B B G I I I I I I M M ΛΛM M M M M ΛΛM M M M M ΛΛM M 1111111111111111111111111111 式中，ij ij ij Y jB G =+为Y 阵中i 行j 列元素，i yi xi I jI I &=+和i
yi xi U jU U &=+分别为U I &&,中第i 个元素。

为不失一般性，设式(8-13)所描写的发电机接于网络第i 个节点，则式(8-13)中⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x I I 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x U U 即为式(8-15)中⎥⎦⎤⎢⎣⎡yi xi I I 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡yi xi U U ，
将式(8-13)代入式(8-15)中第i 个节点方程，消去⎥⎦⎤⎢⎣⎡yi xi I I ，并将i 节点方程整理为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑=≠=yi xi y ii y ii
x ii x ii yj xj n i j j ij ij ij ij y x y y x x yi xi U U G G B B B B G G U U G B B G E E G B B G I I 1''def ''
(8-16) 显然，当根据系统微分方程预估本计算时步末的δ,,q d
E E ''等状态量的值后，则可根据
式(8-14)计算y x y x B B G G ,,,及y x E E '',；
然后根据式(8-16)可计算发电机注入网络的等值电流源⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
'yi xi I I ；再用发电机2×2等值导纳阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡y y x x G B B G 根据式(8-16)修正网络导纳阵i 节点相应的2×2子块⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-ii ii ii ii G B B G ，并将式(8-16)代替式(8-15)中的第i 号节点方程，对各个发电机节点均作相似处理后，便可求解网络方程。

这种机网接口求解方法称为直接解法，其主要优点是物理概念清楚，不需迭代。

网络方程求解为求解一组实线性代数方程。

其主要问题是增阶处理使内存要增加一倍；,,x x B G y y B G ,非定常，从而网络方程系数矩阵经修正后也非定常，因此每一时步要作三角分解，计算量较大；另外，这种方法对非线性负荷适应性略差。

因此，这种解法目前逐步为下面介绍的方法所取代。

8.3.2 考虑凸极效应的迭代解法
设发电机采用3~6阶实用模型，与直接解法相似以式(8-10)为基础进行讨论，将之化为式(8-13)和式(8-14)表达的导纳参数形式。

观察式(8-14)可知，y y x x B G B G ,,,中的定常部分
具有⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-G B B G 形式，其中)(2)(,22q d a q d q d a a X X r X X B X X r r G ''+'+'-=''+=。

故可用复数形式G +jB 表示；而y y x x B G B G ,,,中随δ变化部分，可同电动势一起用非定常的电流源表示，从而引出相应的联网迭代解法。

下面作具体推导。

将式(8-13)改写为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''+'-'+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2211def 2 2sin 2cos 2cos 2sin )(21y x y x y x y y x x q d a q d y y x x y x I I U U G B B G I I U E U E X X r X X U E U E G B B G I I δδδδ (8-17)
式中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''+'+'=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'-=''+'='''+'+'-=''+=y y x x q d a q d y x y x y x q d y
q d x q d a q d q d a a U E U E X X r X X I I E E G B B G I I E E E E E E X X r X X B X X r r G δδδδδδδδ2sin 2cos 2cos 2sin )(21 sin cos cos sin )(2)(,2221122
可以用复数形式表示T y x I I ),(11及T y x I I ),(22为(“*”表示复数取共轭)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'=-'''
+'-'=+=''=+=),,()()(21 2**2222111U E f e U E X X r X X j jI I I E Y jI I I j q d a q d y x G y x &&&&&δδ (8-18) 式中
q d a q d a G X X r X X j r jB G Y ''+'+'-=+='22/)(
故式(8-17)可用复数表示为：
U Y I I I G &&&&'-+=21 (8-19)
式中，G
Y I I ',,21&& 定义见式(8-18)；I &和U &为发电机端电流和端电压。

相应的发电机等值电路如图8-4所示。

显然，G Y '可并入导纳阵，G Y '为定常值；1I &在据微分方程预估状态量
q d E E '',,δ的值后，亦可计算；2I &则由于是节点电压U &的函数，而U &正是网络方程要求解
的，故需要进行迭代计算。

设1~+n n t t 无操作，1,1,1,,+++''n q n d
n E E δ已预报，从而各时步中计算步骤如下：
(1) 用上一时步末的发电机电压n U 作为本时步末的电压预估值)
0(1+n U (也可用更精细的预报方法)； (2) 则可根据式(8-18)计算1I &，2
I &注入电流； (3) 若设G
Y '已并入网络导纳阵(通过修改相应节点导纳阵对应元素)，且因子表已计算毕，则以1I &+2
I &为发电机注入网络的电流，求解网络方程，可得全网络节点电压； (4) 若计算得发电机电压1
+n U &与预估值接近，则本时步计算结束，否则进行迭代，即更新电压预估值，并更新注入电流2
I &，重解网络方程，直到迭代收敛。

图8.-4 考虑凸极效应发电机等值电路
迭代解法对于发电机和负荷的非线性适应能力良好，计算速度快，无操作时，迭代计算收敛很快，该方法目前仍在实用的暂态稳定分析程序中应用。

采用牛顿法时发电机方程的处理在8.8节中介绍。