(固体材料结构学)15-空间群2
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主轴方向 非主轴方向
布拉菲点阵符号
方向、顺序和 同态点群一致
主轴的垂直方向
非主轴方向的垂直方向
同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号。
晶系
对称素及其排列
举例
三斜
P1 P1
单斜 主轴、垂直于主轴的对称面
P2 Pb C2 / m
正交 三个方向依次排列
Pmma Pba2 C222
主轴、垂直于基面边的对称面或平行
国际表 全称：International Tables for X-ray Crystallography
Volume I: Symmetry Groups 国际表是由著名学者撰写的，如引言就是劳厄执 笔，是晶体、材料科学工作者的得力工具。
要求： 1、国际符号中的信息； 2、由国际符号导出对称素、点系； 3、由点系归纳对称素、国际符号； 4、查国际表。
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3. 作出 P41 的对称素、点系
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4. 作出 P64 的对称素、点系
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去掉不合理的和重复的
将该晶系最高对称性的点群放到阵点上，然后去掉一部 分对称性，可得到本晶系的所有空间群。
晶系 数目 点阵类型
点群（含同态滑移反射、螺旋转动）
三斜 2
P
1
1
单斜 8 5 30
正交 15 6 8
P C P C I F
2
21
222
222 1 22121 212121
m
2m
c n 21
mm2
2 3
5. 找出点系中的对称素、国际符号
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1
4
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P212121
1
4
6. 找出点系中的对称素、国际符号
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Pna21
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7. 找出点系中的对称素、国际符号
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P 21 21 21 nma
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，
21 21 21
Pm n b
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特殊位置等价点系：对称素上的点及其在布拉菲格子格点 上的等价点。
ns h 特殊点的阶 hsite Fd3m 金刚石中C原子位置的点群 43m，hsite 24 ns 192 24 8
等价点系的意义： 晶胞中相同原子的数目。
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
空间群的命名（国际符号）
作业
mcac2211
cc2 nc2
ma2 nn2
mn 21 ba2 na21
m 21 mmn
mcnmn2nm1ccnm
bcm mmabam
nnm cca mna
nna bca ban
dd 2
ccn bcn
四方 49 19
P I
42m 4 4 m 4 4mm 422 4 mmm
三角 25 六角 27
R
3
3
mp2??????????????????mmmi4m24????第一种放法1222nm24mi41414121????21212121?21?21?21?21????????????第二种放法22cm121222222mi24414121????21212121?21?21?21?21????????????4121????????????????????????????????????????????21212121?21?21?21?21????????????????21212121?21?21?21?21????????????一般位置等价点系
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ห้องสมุดไป่ตู้
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第四章：晶体的对称性
§4.1 对称性的概念 §4.2 空间变换 §4.3 对称群的类型和性质 §4.4 晶体学点群 §4.5 晶系 §4.6 空间群和国际表
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
230种空间群的推导
排列
格子
（平移对称性） P
C
I
F
R
H
× 同晶系点群 螺旋转动 滑移
原子、分子团 （基元）
四方 于基面边的对称轴、垂直于对角线的 P42 / mcm I 41
对称面或平行于对角线的对称轴
三角 同上
六角 同上
立方
坐标轴方向、体对角线方向、基面对 角线方向
Fm3m
P432
→
1 → 高次n → 高次n → 高次n q
原点选取顺序：
滑移面← 21 ← m ← 2
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
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8. 找出点系中的对称素、国际符号
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P 21 2 2 c ca
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Pc cb
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Pcca
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1
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《结晶学》 p.66: 6-9
1. 作出 C222的对称素、点系
格子 晶系 同态点群 平移群 特征方向的对称要素 一般位置等价点系 特殊位置等价点系 推测晶体结构
2. 作出 C2mm的 对称素、点系
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作出 A2mm的 对称素、点系
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第一种放法→ I 4m2
2 21 2
nm
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第二种放法→ I 42m
2
21
2
2 21
2 2
m
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c
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一般位置等价点系：不在对称素上的点及其在布拉菲格子 格点上的等价点。
h 点群阶(h) 布拉菲格子阵点数 (n)
Fd3m 点群：
m3m, h 48
格子阵点数：n 4(FCC)
h 48 4 192
3m
32
32m
H 6 6 622 6 m 6mm 62m 6 mmm
16
P
立方 10
I
23 432
m3m
10
F
本征点群(点群×平移群)：73 非本征点群(滑移、螺旋)：157
共230。
P2 m
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I 4 m mm
42m
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布拉菲点阵符号
方向、顺序和 同态点群一致
主轴的垂直方向
非主轴方向的垂直方向
同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号。
晶系
对称素及其排列
举例
三斜
P1 P1
单斜 主轴、垂直于主轴的对称面
P2 Pb C2 / m
正交 三个方向依次排列
Pmma Pba2 C222
主轴、垂直于基面边的对称面或平行
国际表 全称：International Tables for X-ray Crystallography
Volume I: Symmetry Groups 国际表是由著名学者撰写的，如引言就是劳厄执 笔，是晶体、材料科学工作者的得力工具。
要求： 1、国际符号中的信息； 2、由国际符号导出对称素、点系； 3、由点系归纳对称素、国际符号； 4、查国际表。
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3. 作出 P41 的对称素、点系
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4. 作出 P64 的对称素、点系
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去掉不合理的和重复的
将该晶系最高对称性的点群放到阵点上，然后去掉一部 分对称性，可得到本晶系的所有空间群。
晶系 数目 点阵类型
点群（含同态滑移反射、螺旋转动）
三斜 2
P
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1
单斜 8 5 30
正交 15 6 8
P C P C I F
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222 1 22121 212121
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5. 找出点系中的对称素、国际符号
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6. 找出点系中的对称素、国际符号
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7. 找出点系中的对称素、国际符号
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特殊位置等价点系：对称素上的点及其在布拉菲格子格点 上的等价点。
ns h 特殊点的阶 hsite Fd3m 金刚石中C原子位置的点群 43m，hsite 24 ns 192 24 8
等价点系的意义： 晶胞中相同原子的数目。
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
空间群的命名（国际符号）
作业
mcac2211
cc2 nc2
ma2 nn2
mn 21 ba2 na21
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bcm mmabam
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四方 49 19
P I
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三角 25 六角 27
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第四章：晶体的对称性
§4.1 对称性的概念 §4.2 空间变换 §4.3 对称群的类型和性质 §4.4 晶体学点群 §4.5 晶系 §4.6 空间群和国际表
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
230种空间群的推导
排列
格子
（平移对称性） P
C
I
F
R
H
× 同晶系点群 螺旋转动 滑移
原子、分子团 （基元）
四方 于基面边的对称轴、垂直于对角线的 P42 / mcm I 41
对称面或平行于对角线的对称轴
三角 同上
六角 同上
立方
坐标轴方向、体对角线方向、基面对 角线方向
Fm3m
P432
→
1 → 高次n → 高次n → 高次n q
原点选取顺序：
滑移面← 21 ← m ← 2
第四章：晶体的对称性
§4.6 空间群和国际表
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《结晶学》 p.66: 6-9
1. 作出 C222的对称素、点系
格子 晶系 同态点群 平移群 特征方向的对称要素 一般位置等价点系 特殊位置等价点系 推测晶体结构
2. 作出 C2mm的 对称素、点系
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一般位置等价点系：不在对称素上的点及其在布拉菲格子 格点上的等价点。
h 点群阶(h) 布拉菲格子阵点数 (n)
Fd3m 点群：
m3m, h 48
格子阵点数：n 4(FCC)
h 48 4 192
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H 6 6 622 6 m 6mm 62m 6 mmm
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立方 10
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本征点群(点群×平移群)：73 非本征点群(滑移、螺旋)：157
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