解二元函数最值问题的常用方法

解二元函数最值问题的常用方法
作者：朱冬平徐益萍
来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期
二元方程下的二元函数的最值是一类常见问题,在各类考试中屡见不鲜,但许多同学对此类问题往往感到比较棘手.本文通过一个典型例子,介绍求解这类问题的常用方法,供大家参考.
【例】已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,求a2+b2的最小值.
解:(消元法)将a=4-b代入所求式中,得
a2+b2=(4-b)2+b2=2(b-2)2+8,
而b>0,a=4-b>0,∴0
评注:该解法充分体现了数学中的消元思想,将二元函数的最值转化为一元函数的最值.但在处理过程中要特别注意变量的取值范围,否则很容易出错.
解:(基本不等式法)∵a+b=4,∴(a+b)2=16,∴a2+2ab+b2=16,即2ab=16-(a2+b2).而
2ab≤a2+b2,∴16-(a2+b2)≤a2+b2,即(a2+b2)≥8.当且仅当a=b=2时,a2+b2取到最小值8.
评注:该解法充分体现了数学中的构造思想,根据二元方程的结构特征,运用均值定理构造包含所求式子的不等式,从而得其最值.
解:(判别式法)设a2+b2=t,∵a>0,b>0,∴方程组必有正实数解,消去a得
2b2-8b+16-t=0,该一元二次方程一定有正实数根,所以Δ=(-8)2-8(16--t2>0,解之可得8≤t
评注:该解法充分体现了数学中的方程思想,引入参数后,根据条件和结论之间的内在联系,将问题转化为方程必有正实数解从而得最值.
解:(三角换元法)∵a+b=4,∴a4+b4=1,又a>0,b>0,所以可设a4=sin2θ,b4=cos2θ,θ∈(0,π2),
则a2+b2=16sin4θ+16cos4θ=16[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]=16(1-12sin22θ)=12+4cos4θ
,所以当cos4θ=-1时,a2+b2取到最小值8.
评注:该解法充分体现了数学中的换元思想,巧妙地运用了“1”,从而将所求式子经过三角换元转化为一元函数最值问题.
解:(几何法)因为满足a+b=4,a>0,b>0的点(a,b)的轨迹是一条线段(如下图),即为线段AB,
而a2+b2的几何意义是原点到点(a,b)的距离的平方,所以a2+b2的最小值为原点到线段AB 的距离的平方,即-4|2)2=8.
评注:该解法充分体现了数学中的数形结合思想,充分利用了所求式子的几何意义,当然前提是二元方程对应的曲线能够容易得到.
本文从五个方面介绍了求二元函数最值的方法,但在具体求解中,我们还需要根据所给二元方程的结构特征,灵活选用上述几种方法来达到快速、准确解题的目的.
(责任编辑金铃)。