河北省定州中学2016-2017学年高二上学期周练(二)数学试题Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若直线m l ,与平面α、β、γ满足,l l βγ=I ∥α，,m m αγ⊂⊥，则有（ ） A ．m ∥β且l m ⊥ B ．α⊥γ且l m ⊥ C ．α⊥β且m ∥γ D ．α∥β且α⊥γ 【答案】B 【解析】
试题分析：,m m αγ⊂⊥Q ,αγ∴⊥.,m l γλ⊥⊂Q ,m l ∴⊥.故B 正确. 考点：线线垂直,线面垂直.
2．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a ．点E 为侧棱PC
的中点，又作DF ⊥PB 交PB 于点F ．则PB 与平面EFD 所成角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 【答案】D 【解析】
考点：直线与平面所成的角．
3．在长方体1111CD C D AB -A B 中，AB ＝BC ＝2，11AA =，则1C B 与平面11D D BB 所成角的正弦 值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5
【答案】D 【解析】
试题分析：连11A C 与11B D 交与O 点，再连BO ，∵AB BC =，∴1111D B A C ⊥，且11DD B B ⊥平，平面1111A B C D ，所以1C O ⊥平面11DD B B ，则1OBC ∠为1BC 与平面11BB D D 所成的角，
所以11111
cos ,OC OBC OC BC BC ∠=
==1cos OBC ∠=D ．
考点：直线与平面所成的角的求解．
4．在正三棱柱111C C AB -A B 中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1C A B 的距离为（ ）
A ．
4
B ．
2 C ．4
D 【答案】B 【解析】
考点：点到直线的距离．
5．如图所示，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，M 、N 分别为1A B 和AC 上的点，
13
a A M =AN =
，则MN 与平面11C C BB 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定 【答案】B 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
12233MN MB BC CN A B BC CA =++=++()()
11122
33
A B B B BC CD DA =++++ 122
33
BB BC DA =
++，又CD 是平面11BB C C 的一个法向量，且122
033
MN CD B B BC DA CD ⋅=++⋅=,∴MN CD ⊥，∴//MN 平面11BB C C ，选B ．
考点：直线与平面平行的判定．
6．已知m n 、是两条不重合的直线，αβγ、、是三个不重合的平面，则//αβ的一个充分条件是 （ ）
A ．//,//m m αβ
B ．,αγβγ⊥⊥
C ．,,//m n m n αβ⊂⊂
D ．m n 、是异面直线，,//,,//m m n n αββα⊂⊂ 【答案】D 【解析】
考点：充要条件；平面与平面平行的判定. 7．下列命题中，错误．．
的是（ ） （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行
（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】B 【解析】
试题分析：按顺序考察，对A ，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行，故A 正确；对B ，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行，B 错误， C 、D 是线面垂直的判定与性质定理，故选B ． 考点：线面平行与垂直的判定与性质．
8．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ．则这个球的
表面积为（ ）
A ．2
2a π B ．2
3a π C ．2
4a π D ．2
5a π 【答案】B 【解析】
2222
2()R r d r R PO '=+=+-，可求得R =，∴2244S R a ππ==，选B ．
考点：球的表面及球的性质．
9．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ） A ．若l//α，l//β，则α//β B ．若l//α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l//α，则l ⊥β 【答案】B 【解析】
考点：空间线面平行垂直的判定与性质．
【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．
10．在正三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；
③AB ⊥平面PDE ，其中错误的结论个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B 【解析】
试题分析：如图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正三角形ABC 的中心．①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC PB ⊥；②//AC DE ，可得//AC 平面PDE ；③AB 与DE 不垂直，故选B ．
考点：线面位置关系的判定．
11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//CD AB ，正方体的六个面所在的
平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m n +=（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 【答案】A 【解析】
考点：空间几何体的结构特征．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了正方体和三棱锥的结构特征和相应的线面位置关系，着重考查了学生的空间想象能力和推理能力，属于中档试题，本题的解答中由于CE 与正方体底面各线都相交，所以CE 与正方体各侧面相交，即4m =，由于上下底面，正面与后面都与两侧面相交，所以EF 与它们相交，即4n =是解答的关键． 12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】
试题分析：构造一个正方体，将各选项中的条件对应于正方体中的线和面，不难知道，A ，B ，C 是典型错误命题，选D ．
【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平
行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．沿对角线AC 将正方形A B C D 折成直二面角后，A B 与C D 所在的直线所成的角等于 ． 【答案】060 【解析】
所以θ=060.
考点：直二面角的定义，异面直线所成角的求法.
14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0
190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线
1A B
与AC 所成角的余弦值是____________．
【解析】
试题分析：由于AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11
BA C ∆
中，
1A B =11
1AC =，1BC =，11cos BAC ∠==． 考点：异面直线所成的角．
15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0
190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线
1A B
与AC 所成角的余弦值是____________．
【答案】6
【解析】
考点：异面直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的结构特征、空间中异面直线所成角的求解，其中涉及到余弦定理和解三角形的相关知识，着重考查了学生的推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题，解答中根据AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角是解答的关键．
16．设m,n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： （1）若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n
（2）若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ （3）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中真命题的序号是 ． 【答案】（1）（2） 【解析】
试题分析： 因为m α⊥，所以m 垂直于α任意直线.l 因为//n a ，所以可得n 平行于α内某条直线.n '所以,.m n m n '⊥⊥（1）正确；因为m α⊥，所以m 垂直于α任意直线.l 过l 作平面分别交平面,βγ于直线12,.l l 因为//,//αββγ，所以12////.l l l 因此2.m l ⊥由于l 的任意性，所以.m γ⊥（2）正确；两条直线平行于同一平面，它们的位置关系不定，所以（3）不正确；两相交平面可同时垂直于同一平面，所以（4）不正确. 考点：线面平行与垂直关系判定．
【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平
面BCDE ，2=AB ，4=AD ．
（1）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG ； （2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥EFC B -的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】
（2）∵平面⊥ABC 平面BCDE ，BC DC ⊥ ∴⊥DC 平面ABC ，∴AC DC ⊥,∴3222=-=AC AD DC 8分
又∵F 是AB 的中点，ABC ∆是正三角形， ∴AB CF ⊥，∴2
3
21=
⋅=
∆CF BF S BCF ， 10分 又平面⊥ABC 平面BCDE ，BC EB ⊥， ∴⊥EB 平面BCF ，∴13
1
=⋅==∆--EB S V V BCF BCF E EFC B -12分 考点：线面平行；面面垂直；棱锥的体积.
18．如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱⊥PA 底面
ABCD ，
且2=PA ，Q 是PA 的中点． （1）证明：//PC 平面BDQ ； （2）求三棱锥BAD Q -的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
3
. 【解析】
试题解析：（1）证明：连结AC ,交BD 于O
因为底面ABCD 为正方形, 所以O 为AC 的中点.又因为Q 是PA 的中点, 所以PC OQ //
因为⊂OQ 平面BDQ ,⊄PC 平面BDQ , 所以//PC 平面BDQ 6分 （2）因为侧棱⊥PA 底面ABCD ，所以三棱锥Q BAD -的高为11
2122
QA PA ==⨯=，而底面积为1
2222
BAD S ∆=
⨯⨯=，所以3
2
123131=⨯⨯=⨯⨯=∆-QA S V BAD BAD Q 13分. 考点：空间中的平行关系；空间几何体的体积.
19．如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，
OF EC ⊥．
（1）求证：OE FC ⊥；
（2）若
2
AC AB =时，求二面角F CE B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1
3
-． 【解析】
试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空
间
想
象
能
力
、
又因平面ABC ⊥平面ABEF ，故OC ⊥平面ABEF ， 2分
于是OC OF ⊥．又OF EC ⊥，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥， 4分 又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥． 6分
（2）由（1），得2AB AF =，不妨设1AF =，2AB =，取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC k =，则
(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(F E B C k -，
在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -从而(2,1,1),(0,2,0),C E E F =-=-设平面
FCE 的法向量(,,)n x y z =，由0
CE n EF n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，得(1,0,2)n =， 9分 同理可求得平面CEB 的法向量(1,2,0)m =，设,n m 的夹角为θ，则1
cos 3
n m
n m =
=θ，由于二面角F CE B --为钝二面角，则余弦值为13
- 13分 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法． 20．如图，在四棱锥
P ABCD -中，PA ⊥底面A B C ，
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，
PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
（3）求二面角A PD C --的正弦值的大小．
A
B
D
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4
． 【解析】
试题分析：（1）证明线线垂直，往往通过线面垂直转化求证．在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥
底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A C D ⊥ AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平
面PAC 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴；（2）证明线面垂直，通常利用线面垂直判定定理进行论证．由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA = E ∵是PC 的中点，
AE PC ⊥∴由（1）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴ PA ⊥∵底面ABCD
PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴又AB
AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ；（3）求二面角，首
先
AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC
而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴
（2）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =
E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴
由（1）知，AE CD ⊥，且PC
CD C =，所以AE ⊥平面PCD
而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴
PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴
又AB
AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE
（3）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM 则（2）知，AE ⊥平面PCD ，
AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥
因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角 由已知，得30CAD ∠=° 设AC a =，
可得
PA a AD PD AE ==
==，，，
在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM
PD PA AD =∴··，
则
7a PA AD
AM a PD
=
==·
· 在AEM Rt △
中，
sin 4AE AME AM =
=
A
D
解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD
过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD 过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，
连结CM ，故CM PD ⊥ 因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，
可得
13326PA a AD PD CF a FD ==
===，，，，
FMD PAD ∵△∽△，
FM FD
PA PD =
∴
于是，3a
FD PA FM a PD ===··
在CMF Rt △
中，1
tan a
CF CMF FM ===
A
B
D
考点：线面垂直判定与性质定理，二面角的平面角．
21．如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ， 90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是
SB 的
中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；
（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.
【答案】（1）证明见解析；（
2）1
36
. 【解析】
试题解析：（1）证明：
SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥，
BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，
又
SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥，
AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥，
又已知SC AN ⊥，
⊥∴SC 平面AMN ；
（2）
SC ⊥平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ，
而1SA AB BC
===，
AC ∴=
SC =
考点：直线与平面垂直；等体积法求三棱锥的体积．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明、等体积法求解三棱锥的体积，重点考查了直线与平面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式的应用，着重考查了学生的转化与化归思想和学生的推理与运算能力，其中熟记直线与平面垂直的判定定理和性质定理，以及等体积的转换思想是解答本题的关键．
22．如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知
2AE DE ==，
F 为线段DE 的中点．
（1）求证：//BE 平面ACF ； （2）求四棱锥ABCD E -的体积．
A
C
B
E
F
【答案】（1）证明见解析；（2
． 【解析】
试题分析：（1）注意做辅助线，连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，根据O 为BD 中点，
F
为DE 中点，得到BE OF //， 即证得//BE 平面ACF ；（2）分析几何体的特征，注意发现“底面”、高是否已存在？如果没现成的要注意“一作，二证，三计算”．
试题解析：（1）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， 1分
ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，
BE OF //∴， 4分
BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF
//BE ∴平面ACF ． 5分
（2）作EG AD ⊥于G
O
A
C
B
E F G
考点：直线与平面、平面与平面垂直，几何体体积计算．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定与证明，几何体体积计算，其中解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到线线、线面的垂直关系，属于中档试题，平时注意总结和积累．
23．如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知
2AE DE ==，
F 为线段DE 的中点．
（1）求证：//BE 平面ACF ；
（2）求二面角C BF E --的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2
）【解析】
试题解析：证明：（1）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， 1分
ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，
BE OF //∴， 3分
BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF
A
C
B
E
F
//BE ∴平面ACF ． 4分
（2）⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，
,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，
⊥∴CD 平面DAE ，
DE ⊂平面DAE ，CD DE ∴⊥ 6分 ∴以D 为原点，以DE 为x 轴建立如图所示的坐标系，
则(2,0,0)E ，(1,0,0)F ，(2,0,2)A ，)0,0,0(D
1(0,1,n ∴= 8分
设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =，
(2,0,2)BC =--
，(1,CF =-
由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令21y =
，则2x =
，2z =-
2(22,1,n ∴=- 10分 设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则 12121212cos cos(,
)cos ,||
||n n n n n n n n θπ⋅=-<>=-<>=-
⋅51
==- ∴二面角C BF E --的平面角的余弦值为 12分
考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.
24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，
所以AB ∥平面CDEF ． 4分 因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，
所以AB ∥EF ． 7分
（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以DE ⊥BC ． 9分 因为BC ⊥CD ，CD DE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，
所以BC ⊥平面CDEF ． 12分 因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． 14分
考点：线面平行与垂直关系．。