(优辅资源)广西南宁市高三第二次适应性考试数学理试卷 Word版含答案

2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合{}|310A x x =+<，{}
2|610B x x x =--≤,则=B A A. 11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3
2．复数1
1i
a +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是
A. 0<a
B. 10<<a
C. 1>a
D. 1-<a
3．若椭圆C ：122
22=+b
y a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆
的离心率为 A.
2
1
B. 33
C. 22
D. 42
4．在ABC ∆中，5
3
cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A.
2524 B. 2516 C. 25
9 D. 257
5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A.
31 B. 3
2
C. 1
D. 4
3
6．已知向量）
，（01=a ，），（21=b ，向量c 在a
方向上的投影为2. 若c //b
，则c 的大小为
A.. 2
B. 5
C. 4
D. 52
7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是
A. 28
B. 36
C. 45
D. 55
8．若以函数()0
sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的
三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为
A.1
B. 2
C. π
D. π2
第7题图
9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为
A.
4
B. 3
C.1
2
D. 2 10.定义,,min{,},>,
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线
=2x 所围成的封闭图形的面积为
A.
712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1
+ln 26
11．函数11
()33
x f x -=-是
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.
5
16 C. 3 D. 25【
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.
13．设变量y x ,满足约束条件22
344x y x y x y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
,则目标函数2z y x =-的最大值是
14若锐角βα,满足54sin =
α，3
2
)tan(=-βα，则=βtan ▲ ． 15. 过动点M 作圆:
2
2
221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ .
16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得
()()f x g x ≥
对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:
①函数()2g x =-是函数ln ,0,
()1,0x x f x x >⎧=⎨
≤⎩
的一个承托函数;
②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;
③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ▲ .
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：1
6n T <.
18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表：
（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温X ~2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P
X <<.
附:
①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1
22
1
()()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-.
X ~2
(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1AB AD ，,3==CD CB 60BCD ∠=，31=CC . （1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,
求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；
（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.
20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点
(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.
(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;
(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆
1C 的长轴长的最小值.
21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
已知函数ax x x f -=ln )(，a x
x g +=
1
)(. （1）讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；
（2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，以极点为原点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，[0,2))θπ∈.若倾斜角为34
π
且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A(A 点不是原点).(1)求点A 的极坐标;
(2)设直线m 过线段OA 的中点M ,且直线m 交圆E 于B ,C 两点,求||||||MB MC -的最大值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）解不等式4|3||1|<+++x x ；
（2）若b a ,满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++.
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷（理科）答案与评分标准
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．C 9．A 10.C 11．D 12．B
解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代
入
由
柯
西
不
等
式
得
如
下
不
等
式
222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++
有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5
160≤
≤e
所以，当56=
===d c b a 时，实数e 取得最大值.5
16 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13．14 14
176
15.
8
2
7 16．2
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）第一类解法： 当
n=1
时
，
13a =.........................................................................
...........................1分 当
2
n ≥时
1--=n n n S S a .................................................................
....................2分
222(1)2(1)n n n n =+----....................................................
............................3分
21n =+.......................................................................
.............................................4分 而
13
a =也满足
21n a n =+....................................................................
...............5分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............6分
第二类解法：
1--=n n n S S a .................................................................
.......................1分
222(1)2(1)n n n n =+----....................................................
.................2分
21n =+.......................................................................
...............................3分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............4分 第三类解法：
113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分
第四类解法： 由
S n
22n n
=+可知
{}
n a 等差数
列.........................................................................2分 且
13
a =，
212132d a a S S =-=--=......................................................
.........................4分 ∴
数
列
{}
n a 的通项公式为
12+=n a n ....................................................................
.............5分 （
2
）
∵12+=n a n ,∴111
(21)(23)
n n a a n n +=++....................................................7分
111()22123
n n =-++............................................................
..............8分 则
1111111[()().......()]235572123
n T n n =-+-++-++.................................
...............9分
111()2323
n =-+.........................................................................10分
11
646
n =
-
+...........................................................................11分
1
.6
<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1
22
1
()()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ∧
==-=
-∑∑,a y b x ∧∧
=-.
X ~2
(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.
解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)
∵
令
5n =,11357,5n i i x x n ===
=∑1145
95
n i i y y n ====∑,.........................................1分
【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴
1
()28757928.n
i i
i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................
................................2分
2221
()2955750.n
i
i x
n x =-=-⨯=∑ ................................................
...............................................3分 ∴28
0.5650
b ∧
-=
=- ....................................................................................................4分
【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴
9(0.56)712.92.
a y
b x ∧∧
=-=--⨯= （或者：
323
25
） ...............................................5分 ∴
所求的回归方程是
0.5612.92y x ∧
=-+ ......................................................
..............6分 (2)
由
0.560
b ∧
=-<知y 与
x
之间是负相
关， ....................................................................7分 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】
将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧
=-⨯+=(千克) （
或
者
：
239
2
5
） ............................................
........................8分
【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)
由
(1)
知
7
x μ==，又由
22
21[(27)5
s
σ==
-22
(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+-
10,
=得
3.2σ= ...................................................................
...................................................9分 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】
从而
(P X <<=(P X μσμσ-<<+ ...................................
.......................10分
()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+
1()2P X μσμσ=
-<<+1
(22)2
P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分
【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】
0.8185= ....................................................................
....12分
【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解:(1) 解法(一):
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠=,2= C A .. ...............1分（没有这一步扣一分）
∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标
系. ...............2分 设
M 是BD 的中点,连接
1MC ..........................................................................
...............................2分
C C 1⊥平面ABC
D , ,3==CD CB ∴11C D C B =.
M 是BD 的中
点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分
），（43
0,1E ,3(4M ,)33,0(1，C ,
∴13(,44MC =-,(1,0,4
DE =. ................................................ ..........4分
13100444
MC DE =-⨯++=,∴1MC ⊥DE ........................
......................5分 （证得1MC ⊥ME 或BE 也行）
DE 与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .
1
MC 在平面
BD
C 1内, ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1..............................................................6分
解
法
(
二
):
设
M 是BD 的中点,连接EM 和
11,MC EC ..............................................................1分 ,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .
EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,
∴
∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角...........................................................2分
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠=,13
,22
MA MC ==...............................................
.3分(正确计算出才给这1分)
AE E A 3
1=,31=CC ,∴142
EM C M =
=………………4分(至少算出一个)
1C E =
.............................................................................................5分
∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴
平
面
EBD ⊥平面
BD C 1.........................................................................
.............................6分 解法(三):
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2= C A .
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分
设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..
,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥
CA
且,,C A M 共
线. ........................................................2分
EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .
∴∠
1
EMC 是二面角
1
C B
D
E --的平面
角.............................................................................3分
则），（430,1E ，)33,0(1，C ,3(4M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)
∴1(,444ME =-
,13(,44MC =-.
∴113()()044444
ME MC ∙=
⨯-+-⨯+=................................5分
∴ME ⊥1MC ,∠190EMC =,
二
面角
1
C B
D
E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面
BD C 1................................................6分
解法四: 连结AC ,11A C ,11B D ,交点为O 和N ，如图
.
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB
∴90CDA ∠=,2= C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y
轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是BD 的中点.
C C 1⊥平面ABC
D , ,3==CD CB O 是BD 的中点,
∴
11C D C B
=. O
是BD 的中
点,∴1OC ⊥BD ............3分
1,2E -（0，
,
0)B ，
,
13(0,2
C
∴
13
(0,2
OC =
,
1(,,224
BE =-
-
. 13310()02224
OC BE =-
⨯+⨯-+=,∴1OC ⊥BE .........................................5分
BE 与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD .
1
OC 在平面
BD
C 1内, ∴平面EB
D ⊥平面
BD C 1..............................................................6分
(2) 解法一: (若第1问已经建系)
(1,0,0)A ，
DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分
32
B
（,1C ，
3(2DB =，1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z
=,则10,0
m DB m DC ⎧
=⎪⎨=⎪⎩
，3020
x y ⎧+=⎪⎨+=，
取1,x =
得y z ==.平面
BD
C 1的法
量
(3,3)m =...................................10分
【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是
ME
=1(,444
-
】
cos ,||||
DA m
DA m DA m ∙
<>=
⨯...................................................
..........................................11分
=
∴由图可知二面角1C C D
B --的平面角的余弦值
为
....................................12分 解法二: (第1问未建系)
60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2= C A
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1
DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分
(1,0,0)A ,DA ⊥平面1C DC ， ∴
(1,0,0)
DA =是平面
1
C D
C
的法向
量.....................................................................................8分
3
2B
（
,1C ， 3(
2DB =，1DC =, 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =,则10,0m DB m DC
⎧=⎪⎨=⎪
⎩
，3022
x y ⎧+=⎪
+=
， 取
1,x =得
y
z ==.
平面
BD
C 1的法量
(3,3)m =.......................................10分
cos,
||||
DA m
DA m
DA
m
∙
<>=
⨯
................................................... ..............................................11分
7
=.∴由图可知二面角
1
C C
D B
--的平面角的余弦值为7
.......................................12分
解法三: (几何法)
设N是CD的中点,过N作NF⊥D
C
1
于F,连接FB,如图.......................................................7分
60
BCD
∠=,,3
=
=CD
CB∴ NB⊥CD .
侧面D
C
1
⊥底面ABCD, ∴ NB⊥侧面D
C
1
..........8分
NF⊥D
C
1
,∴BF⊥D
C
1
∴∠BFN是二面角
1
C C
D B
--的平面角 (9)
分
依题意可
得NB=
3
2
,NF
=,BF
=
4
..................11分
∴cos∠BFN=
NF
BF
=
7
∴二面角
1
C C D
B
--的平面角的余弦值为7
....................12分
20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为
24
y
x
=....................................................................... 1分
设直线l的方程
为
4x my =+....................................................................
....................................2分 令
2
11(,),4y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <.由||4||MB AM =,得
214y y =-................................3分
联立
2
4,4,
y x x my ⎧=⎨
=+⎩可得
24160y m y --=,
12211
216,
4,4y y y y y y m
=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得
12y =-,28y =,..................4分 ∴3
2
m =
.........................................................................................................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
...............................6分 解
法
二
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =.......................................................................
..............1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-...................................................................
................................2分 令
2
11(,),4y A y 22
2(,),4
y B y 其中
10
y <.由||4||MB AM =,得
214y y =-................................3分
联立
24,(4)
y x y k x ⎧=⎨
=-⎩可得
2
4160k
y y k --=,
1221124,4,16y y k y y y y ⎧
+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩
解得
12y =-,28y =,................4分 ∴2
3
k =
.........................................................................................................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
..............................6分 解
法
三
:
由
题
意
得
抛
物
线
方
程
为
24y x =.......................................................................
..........1分 设
直
线
l
的方程为
(4)y k x =-...................................................................
................................2分
令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分
联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222
(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16
k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
解
得
11x =,216x =,................................................................
...............................................4分
∴2
.3
k =......................................................................
............................................................5分
∴直线
l
的方程为
2380x y --=.................................................................
........................6分
第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。

（2）设出直线l 方程，得1分
（3）求出A ，B 两点横纵标关系（12420x x -=）或纵坐标关系（214y y =-），得1分 （4）联立方程组，求出纵坐标（12y =-，28y =）或横坐标（11x =216x =），得1分 （5）求出待定的字母，得1分
（6）下结论，写对直线l 方程，得1分。

（若学生得两种结果，不得分） (2)设00(,)P x y ,直线:4,
l x my =+点P 在抛物线2C 上,
∴直线l 的斜率存在,0.m ≠…………………………………7分
,
O P 关于直线:4l x my =+对称,所以0
000
4,2211,x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪
⎨
⎪⨯=-⎪⎩.解得02
028,18,1x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
...............8分 故
22
88(,)11m
P m m
-++代入抛物线
2
C :
24y x
=,可得
11,m =21m =- ...................9分
直
线
l
的方程为4x y =+或
4x y =-+.....................................................................
..........10分
设椭圆为
2
211x y λλ+=-,(1)λ>. 联立直线和椭圆,消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-
=0,∆≥
∴
2264(1)4(21)(1716)0.
λλλλ-+--+≥解
得
17
2λ≥
.....................................................11分 则
217
,2
a ≥
即a ≥
.∴椭圆
1C 的长轴长的最小值为
分
第二问得分点分析：
（1）点P 坐标算对，得2分，若点P 坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分 （2）利用对称关系，得到点P 坐标与待定字母之间关系，得1分。

、 （3）将点P 坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。

（4）写出直线方程，得1分。

（5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 （6）求出长轴长的最小值，得1分
(另外:若设直线方程为(4)y k x =-,则222
88(,)11k k P k k -++代入抛物线2C :2
4y x =,得1,k =±直线l 的方程为(4)y x =±-.也对应给分)
21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）a x
ax x x g x f x F --
-=-=1
ln )()()(,(0)x >. '211
()F x a x x
=
-+.................................................................................................................1分
①若0≤a 时，0)(>'x F ，则)()()(x g x f x F -=在），（∞+0上是增函数.................2分
②若 0>a 时，则)()()(x g x f x F -=在），（a
a
24110++上是增函
数...........................3分
)()()(x g x f x F -=在
）
，（∞+++a
a 2411上是减函
数.....................................................4分 （说明：（1）)(),(x g x f 分别求导正确没有作差也给1分求导分， （2）忘记讨论0=a 且0<a 单调性正确，不扣分，这1分也给。

） （2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当0)(≤x f ，0)(≥x g 同时恒成立时，
由x
x a ax x x f ln 0ln )(≥
≤-=，恒成
立 (5)
分 得
：
1
e
a ³
...............................................................................................................................6分 ∵
由
1
,0)(≥+≥a x
x g 恒
成
立
得
：
0≥a .∴1
e
a ³
...............................................................7分 ②
当
0)(≥x f ，
0)(≤x g 同时恒成立时，
a
不存
在；..........................................................8分 ③当0<a 时，∵
ax x x f -=ln )(为增函数，a x
x g +=
1
)(为减函数, ............................9分 若
它
们
有
共
同
零
点
，
则
)()(≤⋅x g x f 恒
成
立........................................................................10分 由
0ln )(=-=ax x x f ，
01
)(=+=
a x
x g ,联立方程组解得：
e a =-..............................11分
综
上
：
1e
a ³
或
e a =-........................................................................
..........................................12分 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解: (1) （解法一）
直线l 的倾斜角为
34
π
,∴点A 的极角34
π
θ=
.........................1分 代入圆E 的极坐标方程得
ρ=..................2分
∴点A 的极坐标
3
)4
π......................................................................................................3分
（解法二）由已知得直线的l 的直角方程为y x =-①，
圆E 的直角坐标方程为
2240x y y +-=②.....................................................1分
（写对其中一个方程均给1分）
联立①②得A 点直角坐标为
（-2,2），.... ........................... ................................2分
由tan y x ρθ=
=得A 点极坐标
A 34π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
...........................3分 （不写公式不扣分）
(2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4
π, ∴M 的直角坐标
为(-......................................................................................................4分
圆E 的极坐标方程为θρsin 4=,
∴圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=........................................................................5分
设直线m 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).........................................................6分
代入2240x y y +-=得22(sin cos )20t t αα-+-=.
24(sin cos )80αα∆=++> ,设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+..........................................................7分
∴||||||MB MC -12||||||t t =-12||t t =+...................................................................................8分
2|sin cos |αα=+sin()|4
π
α=+...................................................................................9分
∴||||||MB MC -的最大值为|(此时直线m 的倾斜角为4
π)........................................10分 （解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)………………1分
222+=+=ME MB man …………………………3分
222-=-=ME MC mIn ……………………………5分
22min max =-≤-MC MB MC MB ………………6分
（解法三）由（1）A 点直角坐标为（-2,2），M 是OA 中点，所以M 点坐标为（-1,1）......4分
圆E 的极坐标方程为θρsin 4=,
∴圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=..........................................................5分 当BC⊥x 轴时，直线BC 方程为1x =-............................6分(会分类就给1分) {{
221402x x x y y y ==-⇒+-==+{2x y ==
不妨设(1,2(1,2B C ---+
||||||2121112MB MC -=---+=
--=....................
....7分 当BC 与x 轴不垂直时，设直线BC 方程为1(1)y k x -=+,1122(,),(,)B x y C x y
{221(1)40
y k x x y y -=++-=消y 得()()222121230k x k k x k k ++-+--= ()
21212222123,,11k k k k x x x x k k ---+=-=++
...............................................8分
设1122(,),(,)B x y C x y ,121,1MB MC =+=+
12||||||11MB MC -=++...................................
..........................9分
12
12
||||||11
2
MB MC x
x
-=+-+
=++
（若会用两点间距离公式给1分）
=
()()
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
k
k
k
k
k
k
+
+
=
+
+
-
-
+…………………8分
=
k
k
k
k
1
2
1
2
1
2
1
2
2
+
≥
+
+………………………9分
=2
2……………………10分
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当3
x<-时|1||3|
x x
+++13244
x x x
=----=--<,
解得4
x>-.所以43
x
-<<-.
当31
x
-≤<-时|1||3|
x x
+++1324
x x
=--++=<,
解得31
x
-≤<-
当1
x≥-时|1||3|13
x x x x
+++=+++244
x
=+<
解得0
x<所以10
x
-≤<..................................................................... ..........................4分
（分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分）
不等式4
|3
|
|1
|<
+
+
+x
x的解集为{}0
4
|<
<
-x x；..................................................6分
（2）证明：（解法一）()()2
22
2
4b
a
ab
b
a+
+
-
-……………………7分
=ab
ab
b
a
b
a16
4
42
2
2
2+
+
+…………………8分
=())4
(
4+
+a
b
ab>0………………………………9分
∴()()2
22
2
4b
a
ab
b
a+
+
-
-
∴b
a
ab
b
a2
2
2+
+
<
-
……………………10分
（解法二）40,40
a b
-<<-<<......................................................... ......................7分
则
)4
(,b
ab
<
+4,0
<
b
a
a-
2-
-
<
2
-
-...................................
a
ab
b
a2
2
..................8分
同理2
2-
+
+,.........................................................
<
ab2
b
a
b
a
2 ....................................9分
所以-< 2a b
........................................................ ..................................10分。