2021创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第五章 平面向量 5-2 Word版

5-2
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．(2021·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)
【解析】 方法一：设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →
的坐标． 设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，
从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．
故选A.
方法二：利用BC →＝AC →－AB →
求解． AB →
＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A. 【答案】 A
2．(2021·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
【解析】 方法一：将(2a ＋b )·a 开放后再进行坐标运算． ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.
方法二：将2a ＋b 看做一个向量并求出其坐标后再与a 计算数量积． ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，
∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.
【答案】 C
3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】 ∵MA →＋MB →＋MC →
＝0，∴M 为△ABC 的重心， 连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．
∴AM →＝23
AD →.
又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，
即AB →＋AC →＝3AM →
，∴m ＝3，故选B. 【答案】 B
4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →
，则( )
A ．x ＝23，y ＝13
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝34
D ．x ＝34，y ＝1
4
【解析】 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →
， 所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)
＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝1
3. 【答案】 A
5．(2021·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【解析】 依据共线向量定理列方程组求解． ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，
1＝2t ，
解得⎩⎨⎧λ＝1
2，
t ＝12
.
【答案】 1
2
6．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b 的值为________．
【解析】 AB →＝(a －2，－2)，AC →
＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝1
2.
【答案】 1
2
7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．
【解析】 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →
不共线． ∵AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 【答案】 k ≠1
8．(2021·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →
，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →
的取值范围是________．
【解析】 由于AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°， 所以∠ABC ＝30°，AB ＝43
3.
由于BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.
设BP →＝tBC →
，则0≤t ≤1， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →， 又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，
所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎫AB →＋34BC →
＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →
2
＝
163＋t ×4×433cos 150°＋34×4×433cos 150°＋3
4
t ×42 ＝4t －23，由于0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，
即AP →·AE →
的取值范围是⎣⎡⎦⎤－23，103. 【答案】 ⎣⎡⎦
⎤－23，10
3 9．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →
，求点C 的坐标．
【解析】 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →
＝(a －1，b －1)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →
， ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC →＝2AB →
，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4b －1＝－4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)． 10．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．
(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →
表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →
，证明：1x ＋1y 是定值．
【解析】 (1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →
) ＝(1－λ)OP →＋λOQ →
.
(2)证明：一方面，由(1)，得
OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →
；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，
∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13
OB →.②
而OA →，OB →
不共线，∴由①②，得
⎩⎨⎧（1－λ）x ＝1
3
，
λy ＝13.
解得⎩
⎨⎧1
x ＝3－3λ，1
y
＝3λ.∴1x ＋1y ＝3(定值)．
B 组 专项力量提升 (时间：20分钟)
11．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1 【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →
，
即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt
，∴λμ＝1. 【答案】 D
12．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，12
B.⎝⎛⎭⎫0，13
C.⎝⎛⎭⎫－12，0
D.⎝⎛⎭
⎫－1
3，0 【解析】 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.
又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →
不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 【答案】 D
13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，
则λ1＋λ2的值为________．
【解析】 利用平面对量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →
表示出来，对比已知条件，求出λ1，λ2的值即可． 由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12
BA →
＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →
， 于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.
【答案】 1
2
14．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →
＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋
1b 的最小值为________．
【解析】 由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →
＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →
，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，
即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ（b ＋2），－2＝－4λ，
整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝1
2(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥1
2⎝
⎛⎭
⎫3＋2 2a b ·b a ＝3＋222. (当且仅当b ＝2a 时，等号成立)． 【答案】
3＋22
2
15．(2021·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →
|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．
(1)若x ＝34
π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →
|的最小值；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →
，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．
【解析】 (1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝
⎛⎭
⎫
－
22，
22，
所以OC →＋OD →
＝⎝⎛⎭⎫－22
＋t ，22，
所以|OC →＋OD →
|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1
＝⎝⎛⎭⎫t －2
22
＋12(0≤t ≤1)， 所以当t ＝
22时，|OC →＋OD →
|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →
＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2 x ＋sin 2 x －2sin x cos x
＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，
所以当2x ＋π4＝π
2
，
即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4取得最大值1，
所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。