导数中含全参数单调性及取值范围

应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 一．
含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方
法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）
例1（2012西2）已知函数2221
()1
ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．
（1a =22()1
x
f x x =
+22(1)(1)()2
(1)x x f x x +-'=-+
(0)2f '=()y f x =20x y -=
2()(1)
()2
1x a ax f x x +-'=-+
0a =2
2()1
x
f x x '=+．所()f x (0,)+∞(,0)-∞ 0a ≠2
1
()()
()21x a x a f x a x +-'=-+
^
0a >()0f x '=1x a =-21
x
=
()f x ()f x '
~
)(x f (,)a -∞-1
(,)a
+∞1(,)a a -
0a <()f x ()f x '
：
()f x 1
(,)a
-∞1(,)a a --(,)a -+∞
0a =
0a >)(x f 1(0,)a 1(,)a +∞)(x f (0,)+∞21
()0f a a =>
0x )(x f 2012a x a -=01
x a
<0x x >()0f x >0x x <()0f x <
)(x f [0,)+∞(0)0f ≤11a -≤≤
0a >)(x f [0,)+∞a (0,1]
0a <)(x f (0,)a -(,)a -+∞)(x f (0,)+∞()1f a -=- )(x f [0,)+∞(0)0f ≥1a ≥1a ≤-
0a <)(x f [0,)+∞a (,1]-∞-
《
a (,1](0,1]-∞-
例2 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间. 【()f x (1,)-+∞'1()(1),1
ax f x a x -=≥-+
10a -≤≤'()0,f x <()f x (1,)-+∞
0a >'()0,f x =1.x a
=
'()f x
x
1(1,)x a
∈-'
()0,f x <()f x 1(1,)a -
1(,)x a ∈+∞'()0,f x >()f x 1
(,)a
+∞
>
10a -≤≤()f x (1,)-+∞0a >()f x 1(1,)a -()f x 1(,)a
+∞
已知函数3
2
2()1,a f x x x
=++其中0a >.
（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.
3332222()
()2a x a f x x x x -'=-=0x ≠
3(1)2(1)0f a '=-=1a =
(1)4f =(1,(1))f 4y =1y = a
()0f x '=x a =0a >
01a <≤()0f x '>(1,2]()y f x =[1,2]
—
()f x [1,2]3(1)22f a =+
12a <<
()y f x =[1,2]2()31f a a =+
2a ≥()0f x '<[1,2)
()y f x =[1,2]
()f x [1,2]3(2)5f a =+
01a <≤()y f x =[1,2]3(1)22f a =+12a <<()y f x =[1,2]2()31f a a =+2a ≥()
y f x =[1,2]3(2)5f a =+
~
；
练习 1 已知函数211
()ln (0)22
f x a x x a a =-+∈≠且R . (2012海淀一模） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤若存在 ，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
2（2012顺义2文）（.本小题共14分）
已知函数2
()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数()
2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .
'
（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.
二参数范围
有单调性时分离常数法
例（东2）已知函数2
1()2e 2
x f x x x a =-
+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.
&
1a =21()2e 2x f x x x =-
+-3(1)e 2
f =- ()2e x
f x x '=-+-
(1)1e f '=-
3
(e)(1e)(1)2
y x --=--2(1e)210x y --+=
21
()2e 2
x f x x x a =-+-()2e x f x x a '=-+-
)(x f R
()0f x '≥2e 0x x a -+-≥
2
e
x
x a -+≤
2(),e x x g x -+=3().e x x g x -'=
@
,(),()x g x g x '
3(3)e a g a
-≤-=，即(3
,e
-⎤-∞-⎦
练习1（2012怀柔2）设a ∈R ，函数2
33)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数()()x
g x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．
2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
)
2x =()y f x =(2)0f '=6(22)0a -= 1a =1a =2x =()y f x =
1
a =
'322()(336)x g x e ax x ax x =-+-0x e >
(0,2]x ∀∈3223360
ax x ax x -+-≤
2322363633x x x a x x x x ++≤=++(0,2]
x ∈
236
()3x h x x x
+=+(0,2]
x ∈
22'
2222
3(46)3[(2)2]()0
(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++
()h x 0,2]
（
()h x 6
(2)5
h =
|
65a ≤
a 6(,]5
-∞
2（2012石景山1）已知函数2
()2ln f x x a x =+．
（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数2
()()g x f x x
=
+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围． 分类讨论求参数
例2（2012昌平1）已知函数.ax x
x x f ++=1
ln )(（a 为实数） （I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；
（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围
^
0>x
0=a 21
)(x
x x f -=
' 10<<x 0)(<'x f 1>x 0)(>'x f
1)1()(min ==f x f
2
221
11)(x x ax a x x x f -+=+-='
0=a 2
1
)(x x x f -=
'),2[+∞0)(>'x f
0<a 1)(2-+=x ax x g
)(x f ),2[+∞
)2(≤'f 04124≤-+a 4
1
-≤a
0>a )(x f ),2[+∞0
)2(≥'f ,04124≥-+a 4
1
-≥a <
0>a
),0[]4
1
,(+∞⋃--∞∈a
根据性质求范围 ）
（零点例（2012昌平2）已知函数2
()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数）， 且2x =为()f x 的一个极值点． (Ⅰ) 求a 的值； —
(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．
624
-+ax x
06422=-+='a )(f b x x x x f +-+=6ln 4)(2
x
x x x x x x x )1)(2(24626242--=+-=-+
,
5611ln 4)1(-=+-+=b b f
b b f +-=+-+=82ln 41242ln 4)2(
⎩
⎨
⎧<+-=>-=082ln 4)2(0
5)1(b f b f 2ln 485-<<b
最值 例（2012海2）已知函数22
()3x a
f x x a +=+（0a ≠，a ∈R ）.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.222()(3)
'()(3)
x a x a f x x a --+=
+
'()0f x =x a =3x a =-
0a >'()f x ()f x x
《
x (,3)a -∞-
3a -
(3,)a a -
a
(,)
a +∞
'()
f x
-
,
+
-
()
f x
()f x (3,)a a -()f x (,3)a -∞-(,)a +∞
`
0a <'()f x ()f x x
x (,)
a -∞
a
(,3)
a a -
3a -
(3,)
a -+∞
'()f x -。

+
-
()f x
、
()f x (,3)a a -()f x (,)a -∞(3,)a -+∞
1a =()f x (3,1)-(1,)+∞ 1x >2
1
()03
x f x x +=
>+
()f x [3,)-+∞1(3)6f -=-
1(1)2
f = 12,[3,)x x ∈-+∞122
()()(1)(3)3
f x f x f f -≤--= 12,[3,)x x ∈-+∞12()()f x f x m -≤m
23
不等式例3（2012房山1）设函数3
221()23()3
f x x ax a x a a R =-
+-+∈.
$
（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 极值例4（2012丰台1）已知函数3
21()13
f x x ax =
-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．
（单调性）已知函数133
1(223
+-+=
x m mx x x f ）(0)m >. （Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；
\
（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．
1=m 1331(23+-+=x x x x f ）
3
5
164382(=+-+=）f 32('2-+=x x x f ）53442('=-+=）f
)2(53
5
-=-
x y 025315=--y x 2232('m mx x x f -+=）
0('=）x f m x m x =-=或3
0>m )(x f ')(x f
)(x f (,3)m -∞-(,)m +∞ )(x f (21,1)m m -+
1+m m 3-12-m m
m 4
1
-m 1
（
0m >121m m +>- 12m <
m {}21<≤m m
三．基本性质
（2012朝2）设函数2
2()ln (0)a f x a x a x
=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-． 单调区间（2012门头沟2）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-． （I ）求实数b a ，的值； %
（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．
（2012东1）已知1=x 是函数()(2)e x
f x ax =-的一个极值点． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤
实用
(2012西城一模）如图，抛物线2
9y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ． （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若
||
||
CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值． C x C 29C y x =-+
B B x 2
90B
x -+=3B x =3B x =-
2211(||||)(223)(9)(3)(9)22
C S C
D AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+ C 03x <<
S x 2(3)(9)S x x =+-+03x << 03,,3
x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩01k <<03x k <≤ 2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤ 2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+ ()0f x '=1x =
13k <11
k <<()f x '()f x 1x =()f x (1)32f =
13k ≥103
k <≤()0f x '> ()f x 2(3)27(1)(1)f k k k =+- 113k ≤<S 32103
k <<S 227(1)(1)k k +-。