东莞市名校2022届数学高二(下)期末考试试题含解析

东莞市名校2022届数学高二(下)期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在直角坐标系中，若角α的终边经过点22(sin
,cos )33
P ππ
，则sin()πα-=（ ） A ．
1
2
B
C ．12
-
D
． 【答案】C 【解析】
分析：由题意角α的终边经过点22(sin ,cos )33P ππ，
即点1
)2
P -，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.
详解：由题意，角α的终边经过点22(sin
,cos )33P ππ
，即点1
)2
P -，
则1r OP ===， 由三角函数的定义和诱导公式得1
sin()sin 2
y r παα-==
=-，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．椭圆2241y x +=的长轴长为（ ）
A ．1
B ．2 C
．
2
D
【答案】B 【解析】 【分析】
将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求a ，进而可得长轴2a . 【详解】
解：因为2
2
41y x +=，
所以2
2
11
4
x y +=，即21a =，2
14
b =， 所以1a =，故长轴长为22a = 故选：B
本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题．
3． “3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分条件也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是
求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。

【详解】
由圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a 的距离是
== 可得 3.a =± 所以“3a =”是“圆O ：22
2x y +=与圆
C ：()()22
8x a y a -+-=外切”的充分不必要条件。

【点睛】
本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。

属于中档题。

4．已知函数()3
31f x x x =--，若对于区间[]
3,2-上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t
的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0
【答案】A 【解析】 【分析】
对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】
对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1）， ∵x ∈[﹣3，2]，
∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20，
∴实数t 的最小值是20， 故答案为A 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．
5．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 由题意得1()12f x x '=
-+，1()10,()ln(2)2
f b f b b b c b =-==+-=+'，解得1,1,b c =-=由于是等差数列，所以0a d b c +=+=，选B. 6．函数()x f x x a
=+的图象关于点()1,1对称，()
()lg 101x
g x bx =++是偶函数，则a b +=（ ） A ．
1
2
B ．12
- C ．32 D ．32-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据()f x 图像关于()1,1对称列方程，解方程求得a 的值.利用()()11g g -=列方程，解方程求得b 的值，由此求得+a b 的值. 【详解】
由于()f x 图像关于()1,1对称，也即(),x y 关于()1,1的对称点为()2,2x y --，故
()2222x y f x x a --=-=
-+，即12a y x a =+-+，而1x a x a x a -=+++，故2a a
x a x a
-=-++，化简得
22a =-，故1a =-.由于()g x 是偶函数，故()()11g g -=，即()()1
lg 101lg 101b b -+-=++，故
121,2b b =-=-.所以3
2
a b +=-，故选D.
【点睛】
本小题主要考查已知函数的对称性、函数的奇偶性求解析式，属于中档题.
7．若
2
n x dx π
π⎛
⎫=+ ⎪，则2n
y ⎛⎫+ ⎪
的展开式中常数项为
A ．8
B ．16
C ．24
D ．60
【答案】C 【解析】
因为ππ
π
2
2
00
π)d 2(sin cos )d 2(sin cos )|44n x x x x x x x =
+=+=-=⎰
所以42()y y
+
的通项公式为42142k k k k T C y -+=⋅⋅ 令420r -=，即2r =
∴二项式4
2y y ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中常数项是22
4224C ⋅=，故选C.
8．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0
200,x x R e
x ∃∈>
C ．0
200,x x R e x ∃∈≤
D ．2,x x R e x ∀∈<
【答案】C 【解析】 【分析】
命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定. 【详解】
命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：∀为限定词，x ∈R 为条件，2e x x >为结论；而∀的否定为∃，2e x x >的否定为2x e x ≤， 所以2
,x
x R e x ∀∈>的否定为0
200,x x R e x ∃∈≤
故本题正确答案为C. 【点睛】
本题考查了命题的否定,属于简单题.
9．已知点P(x ，y)的坐标满足条件1
1350x y x x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为
( ) A ．2 B ．1
C ．
95
D ．
115
【答案】A 【解析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线34130x y --=的最小值，即可求解． 【详解】
由约束条件1
1350x y x x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
作出可行域，如图所示，
由图可知，当P 与(1,0)A 重合时，
点P 到直线34130x y --=的距离最小为
2
2
23(4)
d ==+-．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
10．若直线1223x t
y t
=-⎧⎨=+⎩ （t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k=（ ）
A ．83
B ．-6
C ．6
D ．83
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k. 【详解】
由参数方程可求得直线斜率为：13
2k =-
，另一直线斜率为：24k k
=-， 由直线垂直可得：12
34·12k k k ⎛⎫
=-⨯-=- ⎪⎝⎭
，解得：6k =-.
【点睛】
本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.
11．记I 为虚数集，设,a b ∈R ，,x y I ∈．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A ．由a b R ⋅∈，类比得x y I ⋅∈ B ．由20a ≥，类比得20x ≥
C ．由222()2a b a ab b +=++，类比得222()2x y x xy y +=++
D ．由0a b a b +>⇒>-，类比得0x y x y +>⇒>- 【答案】C 【解析】
选项A 没有进行类比，故选项A 错误；选项B 中取212x i x i =+⇒= 不大于0 ，故选项B 错误；选项D 中取1,120x i y i x y =+=-⇒+=> ，但是,x y - 均为虚数没办法比较大小，故选项D 错误，综上正确答案为C.
【点睛】本题考查复数及其性质、合情推理，涉及类比思想、从特殊到一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中等难题.本题可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取212x i x i =+⇒= 不大于0，排除B,再取1,120x i y i x y =+=-⇒+=> ，但是,x y - 均为虚数没办法比较大小，排除D ，可得正确选项为C.
12．4名老师、2位家长以及1个学生站在一排合影，要求2位家长不能站在一起，学生必须和4名老师中的王老师站在一起，则共有（ ）种不同的站法． A ．1920 B ．960 C ．1440 D ．720
【答案】B 【解析】 【分析】
先将学生和王老师捆绑成一个团队，再将团队与另外3个老师进行排列，最后将两位家长插入排好的队中即可得出． 【详解】
完成此事分三步进行：（1）学生和王老师捆绑成一个团队，有2
22A =种站法；（2）将团队与另外3个老师进行排列，有4424A =种站法；（3）将两位家长插入排好的队中，有2520A =种站法，根据分步计数原
理，所以有22420960⨯⨯=种不同的站法，故选B ．
本题主要考查分步乘法计数原理、捆绑法以及插空法的应用． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ． 【答案】()1,+∞ 【解析】
试题分析：因为1
()101f x x x
'=->⇒>，所以单调递增区间是()1,+∞ 考点：导数应用
14．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(1)0.2P ξ<=，(12)0.3P ξ≤<=，则(3)P ξ<=． 【答案】0.8 【解析】
分析：先根据正态分布曲线对称性求(3)P ξ>，再根据()()313P P ξξ<=-≥求结果.
详解：因为正态分布曲线关于2x =对称，所以(3)?
(1)0.2P P ξξ>=<=, 因此()()31310.20.8P P ξξ<=-≥=-=
点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.
15．设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，
处的切线方程为___________． 【答案】y x = 【解析】 【分析】
首先根据奇函数的定义，得到10a -=，即1a =，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果. 【详解】
因为函数32
()(1)f x x a x ax =+-+是奇函数， 所以()()f x f x -=-，从而得到10a -=，即，
所以3
()f x x x =+，所以(0)0f =，所以切点坐标是(0,0)，
因为2
()31x f 'x =+，所以'(0)1f =，
所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为y x =，
该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.
16．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为真，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】1
(,2)2
【解析】
分析：命题p q ∧为真，则p q ，都为真，分别求出取交集即可. 详解：命题p q ∧为真，则p q ，都为真，
对p ，[]
1,1x ∃∈-，使得2x a <成立，则1
2
a >；
对q ，()0,x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则1a x x
<+， 又11
22x x x x
+
≥⋅=（当且仅当1x =时取等）
， 2a ∴<，
故
1
22
a <<. 故答案为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 点睛：本题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．
（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望和方差． 【答案】（1）
121；（2）ξ的分布列见解析；数学期望为9；方差为9
【分析】
首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率． 由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为
3
4
，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为3
4
，再计算即可． 【详解】
(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人； 记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件A .
由题意得()321441233
161619121
1114070140
C C C P A C C ⨯=--=--= (2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为
3
4
，ξ的可能取值为0,1,2,3, 显然33,
4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
则()3
110464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1331914464P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；
()2
23312724464P C ξ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭；()3
327
3464
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 所以ξ的分布列为
()344
E ξ=⨯
= ()319
134416
D np p ξ=-=⨯⨯=
【点睛】
本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题．
18．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.
（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；
（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：
5
1
25,
i i
i x
===∑5
1
5.36,i i
i y
===∑5
1
()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：
51
52
1
()()
ˆ,()
i i i
i i i
i x x y
y b
x x ====--=-∑∑ˆˆa y bx
=-. 【答案】 (1) $0.0640.752y x =+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 【解析】
分析：（1）由题意，计算x ，y ，求出ˆb
，ˆa ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算12x =时ˆy
的值即可. 详解：（1） 月份x 3 4 5 6 7 均价y 0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
计算可得()3456755x =
++++=，()0.950.98 1.11 1.12 1.20 1.0725
y =++++=，()
5
2
1
10i i x x =-=∑，
所以0.640.0641ˆ0
b
==， 1.07ˆˆ20.06450.752a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为0.06405ˆ.72y
x =+. （2）将12x =代入回归直线方程得0.064120.752 1.5ˆ2y
=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.
点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键. 19．设函数()221f x x x =-++.
(Ⅱ)求证:()2f x ≥，并求等号成立的条件. 【答案】 (Ⅰ) 4{|0}3
x x ≤≤ (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】
(Ⅰ)利用零点分类法，进行分类讨论，求出不等式的解集；
(Ⅱ)法一：()22111111f x x x x x x x x =-++=-+-++≥-++，
当且仅当1x =时取等号，再根据三角绝对值不等式，可以证明出11(1)(1)2x x x x -++≥--+=，当且仅当11x -≤≤时取等号，最后可以证明出()2f x ≥，以及等号成立的条件；
法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的x 的值. 【详解】
解:(Ⅰ)当1x ≥时，2213x x -++≤，解得413
x ≤≤ 当11x -<<时，2213x x -++≤，解得01x ≤< 当1x ≤-时，2213x x ---≤，x 无实数解
∴原不等式的解集为4
{|0}3
x x ≤≤
(Ⅱ)证明:法一:()22111111f x x x x x x x x =-++=-+-++≥-++， 当且仅当1x =时取等号
又11(1)(1)2x x x x -++≥--+=，当且仅当11x -≤≤时取等号
()2f x ∴≥，等号成立的条件是1x =
法二:31,
1()2213,
1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪
=-++=--<<⎨⎪-+≤-⎩
()f x ∴在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增 ()(1)2f x f ∴≥=，等号成立的条件是1x =
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.
20．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，
45岁以下的占
2
3
，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人. （1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望. 【答案】（1）291
494
；（2）440 【解析】 【分析】
（1）先计算出选取的3人中，全都是高于45岁的概率，然后用1减去这个概率，求得至少有1人的年龄低于45岁的概率.（2）首先确定“销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数”满足二项分布，求得销售额的表达式，然后利用期望计算公式，计算出销售额的期望. 【详解】
（1）设事件A 表示至少有1人的年龄低于45岁，
则()3
30340291
1494
C P A C =-=.
（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为
603
1005
=. 设X 表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
， 设Y 表示销售额，则()40501050010Y X X X =+-=-， 所以销售额Y 的数学期望3
5001050010104405
EY EX =-=-⨯⨯=（元）. 【点睛】
本小题主要考查利用对立事件来计算古典概型概率问题，考查二项分布的识别和期望的计算，考查随机变量线性运算后的数学期望的计算.
21．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学
123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.
【答案】（1）13
；（2）2
15.
【解析】
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有
453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151
.453
P =
= （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个. 因此
1A 被选中且1B
未被选中的概率为2
15
P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.
22．已知直线l 的参数方程为42
2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建
立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． (1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
(2)动点P 在圆C 上(不与A
，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值． 【答案】（1）(x
－2)2＋y 2＝4；（2）2＋【解析】 【分析】
（1）圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程代入圆C 的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；
（2）要求△ABP 的面积的最大值，只需求出点P 到直线l 距离的最大值，将点P 坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解. 【详解】
(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x ＝0， 所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线l 的参数方程代入圆C ：
(x －2)2＋y 2＝4，并整理得t 2＋＝0，
解得t 1＝0，t 2＝－
所以直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为|t 1－t 2|＝. (2)由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0. 圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩ (θ为参数)，
可设圆C 上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离
d |2cos()
4π
θ=+，
当cos()4
π
θ+
＝－1时，d 取得最大值，且d 的最大值为2.
所以S △ABP ＝
1
2
×)＝2＋
即△ABP 的面积的最大值为2＋【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题.。