11 不定积分的概念与性质
不定积分的定义和性质
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctan
x
C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
不定积分的概念及性质
2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx
2
5
x2
C
.
5
（３）
dx 2gx
1 2g
dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ，所以 2x 的原函 数不是惟一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
5
x2
1
x2
x
1
2x2
C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x
2 x2
1 1
2
dx
1
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．
不定积分的概念与性质
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
“不定积分的概念与性质”教案
“不定积分的概念与性质”教案教案：不定积分的概念与性质一、教学目标1.理解不定积分的概念，能够正确地定义不定积分。
2.掌握不定积分的基本性质，能够正确地应用不定积分求解一些简单的函数积分。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点1.不定积分的概念和定义。
2.不定积分的基本性质。
三、教学难点1.不定积分的概念和定义的理解。
2.不定积分的基本性质的掌握和应用。
四、教学过程1.引入（5分钟）请学生回顾在微积分第一节课中所学的导数的概念和定义，提醒学生导数与积分的关系。
2.概念讲解（20分钟）解释不定积分的概念，即初等函数的原函数。
示意图解，帮助学生理解不定积分的几何意义。
引导学生注意不定积分的一般形式f(x)dx中，f(x)的变量是x，x是积分变量。
3.定义说明（25分钟）通过具体的例子和讲解，引导学生理解不定积分的定义并能够正确地定义不定积分。
4.基本性质的讲解（20分钟）讲解不定积分的一些基本性质，如线性性质、常数性质、分部积分法等。
通过具体的例子演示和讲解，引导学生掌握这些基本性质，并能够正确地应用。
5.练习（20分钟）布置一些基本性质练习题，让学生独立完成。
通过做题，巩固和拓展学生对不定积分的理解和掌握。
6.拓展延伸（10分钟）让学生思考不定积分与定积分的关系，引导学生思考什么条件下不定积分可以变成定积分。
7.总结与反思（10分钟）对本节课内容进行总结，检查学生对不定积分概念和性质的掌握情况。
针对学生可能存在的困惑和问题进行解答和引导。
五、作业布置1.完成课堂练习题。
2.预习下一节课内容。
六、板书设计不定积分的概念与性质概念：不定积分的定义性质：1.线性性质2.常数性质3.分部积分法七、教学反思本节课通过引入导数和积分的关系，让学生能够更容易理解不定积分的概念。
通过具体的例子和讲解，引导学生正确地定义不定积分，并能够掌握不定积分的基本性质。
通过练习题的布置，巩固和拓展学生对不定积分的理解和应用能力。
不定积分的概念和性质教案
注意：原函数和不定积分是个体与全体的关系（强调常数 的重要性）.
三、举例利用定义求简单积分
例1：求 .
解：由于 ,所以 是 的一个原函数.因此
例2：求 .
结论：微分运算与积分运算是互逆的（给出基本积分表）.
例4：求 .(积分表的应用)
解：
五、不定积分的性质
（1）性质1：设函数 的原函数存在,则 .
性质2：设函数 的原函数存在, 为非零常数,则 .
（2）利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
例4：求
解：
例5：求
解：
四、根据微分运算与积分运算是互逆的性质给出基本的积分,并尝试应用其求一些积分.
定理1：……
定理2：……
例4：求
例5：求
例6：求
课堂小结:……
不定积分
已知 ,求函数 ,使得 .
定义1：（原Leabharlann 数的定义）…….（1）（2） 与 的关系？
的全体原函数
定义2：（不定积分的定义）……
例1：求 .
例2：求 .
例3:设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
五、尝试利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
教学过程
例6：求
解：
六、课堂小结
（1）原函数及不定积分的概念
（2）能够利用不定积分的定义求简单积分
（3）基本积分表
（4）不定积分的性质
六、与教师一起进行总结
板书设计
;
由于 是 的原函数,则有
不定积分基本概念
不定积分基本概念数学中的积分是微积分的重要概念之一。
在求解函数的不定积分时，我们会遇到一些基本概念，本文将对这些概念进行详细介绍。
1. 不定积分的定义不定积分是求解一个函数的原函数的过程。
若函数F(x)在区间[a, b]上可导，且对于该区间上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则F(x)就是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
我们将F(x)称为原函数，而f(x)称为被积函数。
不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分运算。
2. 不定积分的性质不定积分具有如下几个重要的性质：- 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx。
即不定积分具有可分配律。
- 求导与积分的关系：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，同时也可以推出f(x)是F(x)的一个原函数。
- 积分的逆运算：对于连续函数f(x)，如果它在区间[a, b]上的一个原函数存在，那么∫(f'(x))dx = f(x) + C，其中C表示常数项。
3. 常见的不定积分公式在求解不定积分时，我们常常会用到一些常见的不定积分公式，下面列举一些常见的例子：- 常数函数的不定积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
- 幂函数的不定积分：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数项。
- 正弦函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，其中C为常数项。
- 余弦函数的不定积分：∫cosxdx = sinx + C，其中C为常数项。
4. 换元积分法换元积分法是求解复杂函数不定积分的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
换元积分法的基本步骤是：- 选择适当的变量代换，将不定积分转化为新变量的积分表达式。
- 对新变量进行积分运算，得到结果。
不定积分的概念及性质
f (x) d x F(x)C
其中C是任意常数 称为积分常数
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例4.3 计算 x2dx.
解： (1 x3) ' x2, 3
1 x3是x2的一个原函数，于是 x2dx . 1 x3 C.
F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx
则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数
例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足
F (x)(x2)2x 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数
同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数
f (x) sin x cosx. x
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例4.7 计算（3x 2x2 )dx.
解：（3x 2x2)dx 3xdx 2x2dx
3 xdx 2 x2dx
3 x2 2 x3 C. 23
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§4.1 不定积分的概念和性质
一、原函数 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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一、原函数
例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数
一个相反问题是 已知物体运动的速度v是时间t的函数 vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数 v(t)
例4.8 计算 (1 3 2ex )dx.
不定积分的概念和性质
不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定 积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质 性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确 定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.
不定积分的概念和性质
医用高等数学
三、基本积分表
1 x x 实例 C ( 1). x x d x 1 1
1
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
3
医用高等数学
解
( x 1) x 3x 3x 1 dx 2 x2 d x x 3 1 ( x 3 2 )d x x x 1 1 x d x 3 1 d x 3 d x 2 d x x x 2 x 1 3 x 3ln | x | C． 2 x
1 d x 2 x C． x
医用高等数学
1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
1 例 2 求 d x． x
医用高等数学
例3
设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点
横坐标的两倍，求曲线的方程．
dy 2 x， 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知： dx 2 f ( x) 2 x d x x C ． 则
而曲线过点(1, 2) 可知 C 1，
因此所求曲线方程为
分，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
由定义2，我们有
x x dx 3 C
不定积分的定义和性质(精)
d f ( x), f ( x ) dx dx
d [ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C,
dF ( x) F ( x) C.
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 1 1 x x 实例: x x dx C. ( 1) 1 1 结论：既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
例1
求
5 x dx.
6
解:
x 5 x , 6
6 x x5 dx C. 6
1 例2 求 dx. 2 1 x
解:
1 , arctan x 2 1 x
1 dx arctan x C. 2 1 x
二、不定积分的基本性质
1 1 1 dx tan x C. 2 2 cos x 2
四、不定积分的几何意义
若 y F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则称 y F ( x)的图形是
f ( x) 的积分曲线。 y
y f ( x) C
它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。 积分曲线族 y F ( x) C的特点是：
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
(12)
x a (13) a x dx C; ln a
dx 2 (8) sec xdx tan x C; 2 cos x
dx (9) 2 csc2 xdx cot x C; sin x
有一个导数公式就 相应地有一个不定 积分公式。
高数大一知识点不定积分
高数大一知识点不定积分高数大一知识点：不定积分不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是微积分学的基础知识之一。
它是对函数进行求积的过程，与导数的概念相对应。
在大一的高等数学课程中，学生通常会接触到不定积分的概念和基本的求积方法。
本文将介绍不定积分的定义、性质以及常见的求积方法。
一、不定积分的定义不定积分，也称为原函数，是函数的一个重要性质。
如果函数F(x)在区间[a, b]上具有导数f(x)，那么在该区间上的任意一点x，F(x)都是f(x)的一个不定积分。
不定积分用符号∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
不定积分的结果可以表示为F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：对于任意常数a、b，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 基本积分表：大部分常见的函数的不定积分都有对应的基本积分表。
例如，∫xdx = 1/2x^2 + C，∫s in(x)dx = -cos(x) + C，∫e^xdx = e^x + C等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是函数f(x)在[a, b]区间上的一个原函数，那么∫f(x)dx在区间[a, b]上的积分为F(b) - F(a)。
三、常见的求积方法1. 代入法：通过选择适当的变量代换，将被积函数转化为求解简单的不定积分。
例如，∫2x(1 + x^2)^3dx，可以通过代入u = 1 + x^2，将原积分转化为∫2(u)^3du，然后再进行求积。
2. 分部积分法：通过对乘积的导数进行积分，可以将被积函数转化为求解简单的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
例如，∫x*sin(x)dx，可以选择u = x，dv = sin(x)dx，然后再根据公式进行计算。
不定积分与定积分的概念与性质
不定积分与定积分的概念与性质在微积分学中，积分是一种重要的概念，可以分为不定积分和定积分。
不定积分通常用于求解函数的原函数，而定积分则可用于计算曲线下的面积。
本文将介绍不定积分与定积分的概念与性质，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、不定积分的概念与性质不定积分，也被称为原函数或反导数，是求解一个函数的幂函数的逆运算。
在符号上，不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中f(x)是待求函数。
不定积分的概念可以通过积分的定义与求导的逆运算来理解。
具体而言，如果函数F(x)的导函数为f(x)，则函数f(x)是函数F(x)的原函数。
不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
这意味着不定积分具有线性运算的特征。
2. 积分的基本性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为积分常数。
这是积分的基本性质之一，表明定积分的结果应包含一个积分常数。
3. 逐项积分法：如果一个函数可以表示为一系列函数的和，即f(x)= f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)，则该函数的不定积分为∫f(x)dx = ∫f1(x)dx +∫f2(x)dx + ... + ∫fn(x)dx。
二、定积分的概念与性质定积分是不定积分的一种特殊形式，用于计算曲线与x轴之间的面积。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中a和b分别是积分的下限和上限，f(x)是被积函数。
定积分的概念可以通过将曲线下的面积分割成无穷小的矩形来理解。
具体而言，我们可以将曲线下的面积近似为一系列矩形的面积之和，并通过取极限的方式得到准确的结果。
定积分具有以下性质：1. 区间可加性：对于任意的两个数a、b和一个函数f(x)，有∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
这意味着定积分具有区间可加的特征。
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念积分是微积分学中的一个重要概念，它具有广泛的应用。
在微积分学中，有两种主要的积分，分别是不定积分和定积分。
本文将介绍不定积分和定积分的概念、特点以及它们在数学和物理中的应用。
一、不定积分的概念不定积分又称为原函数或不定积分，是对一个函数进行积分的过程。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示对自变量x进行积分。
不定积分的过程是找到一个函数F(x)，使得它的导数等于被积函数f(x)，即F'(x) = f(x)。
这个函数F(x)就是不定积分∫f(x)dx的一个原函数。
例如，对于函数f(x) = 2x，它的不定积分为∫2xdx，可以求得F(x) =x^2 + C（C为常数）是f(x)的一个原函数。
因此，∫2xdx = x^2 + C。
不定积分具有的一个性质是，不同的原函数之间相差一个常数。
这是因为导数的定义中包含了常数项，因此不定积分是一个由无穷多个解组成的函数集合。
二、定积分的概念定积分是对一个函数在一个区间上的积分的结果，表示函数在该区间上的总体积或总量。
定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中a、b为积分区间的两个端点。
定积分的计算方式是将积分区间分成若干个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，并取极限得到积分的结果。
定积分的值为一个确定的数，它表示了被积函数在积分区间上的累积效果。
例如，对于函数f(x) = 2x，要计算其在区间[1, 3]上的定积分∫1^32xdx，可以首先计算每个小区间上的面积，再将这些面积相加。
在本例中，小区间[1, 3]上的面积为4。
因此，∫1^32xdx = 4。
定积分具有的一个性质是，积分区间的选取不影响定积分的结果。
也就是说，如果函数在不同的区间上有相同的积分，则它们的定积分结果相等。
三、不定积分与定积分的联系不定积分和定积分是微积分中密切相关的两个概念。
它们之间的联系可以通过牛顿—莱布尼茨公式来描述。
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sin xdx =
- cos x + C
dx 2 cos 2 x = sec xdx = tan x + C dx (9) 2 = csc 2 xdx = - cot x + C sin x
21
基 本 积 分 公 式
(10) sec x tan xdx = sec x + C ; (11) csc x cot xdx = - csc x + C ;
10
不定积分的概念
定义2
在区间I上，函数 f ( x ) 的带有任意常
数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 上的
不定积分，记为 f ( x )dx .
不定积分中各部分的名称： ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量.
44+11 4+ 1 -- + 33 3
xxx
24
三、 不定积分的性质
设f ( x)及g ( x)的原函数存在，则
(1)
证
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx;
f ( x )dx g( x )dx = f ( x ) g( x ).
23
（2） 13 dx = x -3dx = 1 x -3+1 + C = - 1 2 + C . 例4 - 3 +1 x 2x
1 dx = x --33dx = 1 x --33++1+ C = - 1 + C 1 dx = x dx = 1 x 1 + C = - 1 + C 4 33 .. 4 22 - 3 +1 - 3 +1 x 2x x 2x
f ( x + Dx) - f ( x) 且 f ( x0 ) = f ( x) y = lim Dx 0 Dx
x = x0
.
4
第四章
第一节
不定积分
不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质5源自一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间 I 上，可导函数F(x)的导 函数为f (x)，即 x I 都有
31
例 13 tan xdx = (sec x -1dx = sec xdx - dx (9) 例 13 tan 22xdx = (sec22x -1))dx= sec22xdx - dx
xdx = (sec2 x -1)dx = sec2 xdx - dx =tan x-x +C.
f ( x) - f ( x0 ) f ( x0 ) = lim . x x0 x - x0
3
如果函数 y=f(x)在开区间 I 上的每点处都 可导，就称函数 f(x)在开区间 I 上可导。
对于任一 x I，都对应着 f ( x) 的一个确定 的导数值。这样就构成了一个新的函数，这 个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数，记作 dy df ( x) y，f ( x)， 或 . dx dx
1 cos 2 x - sin 2 x 1 = dx = 2 dx 2 2 2 cos x sin x sin x cos x
= csc 2 x - sec 2 x dx = - tan x + cot x +C
30
x e- x (7) e x a dx 2 1- x x 1 ea x = ea dx = + arccos x +C 2 lnea 1- x
（此性质可推广到有限多个函数的情形）
(2)
kf ( x)dx =k f ( x)dx（ k 是常数， k 0)
25
例6 求积分
2 3 (1) dx . 2 2 1- x 1+ x
1 1 dx - 2 dx 解 原式 = 3 2 2 1+ x 1- x
= 3 arctan x - 2 arcsin x + C
导数的定义
定义 设函数 y = f ( x )在点 x 0的某个邻域内 有定义 , 当自变量 x在 x0处取得增量 D x ( 点 x0 + D x 仍在该邻域内) 时, 相应的函数 y 取 得增量D y = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ); 如果D y与 D x之比当 D x 0 时的极限存在 , 则称函数 y = f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y = f ( x )在点 x 0处的导数 , 记为 f ′ (x0),
27
1 + 2 x2 ( 3) 2 dx . 2 x (1 + x )
1 + x2 + x2 dx 解 原式 = 2 2 x (1 + x )
1 1 = 2 dx + dx 2 x 1+ x 1 = - + arctan x + C . x
28
1 ( 4) dx . 1 + cos 2 x
1 dx 解 原式 = 2 1 + 2 cos x - 1
1 1 1 = dx = tan x + C . 2 2 cos x 2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等 变形，才能使用基本积分表.
29
(5) ( x + 1)( x 3 - 1)dx 1 3 2 2 2 = x - x + x - 1 dx 3 5 1 3 2 2 2 2 = x - x + x - x +C 3 3 5 cos 2 x ( 6) dx 2 2 cos x sin x
6
问题：(1) 原函数是否存在、是否唯一？ (2) 若存在原函数，原函数如何求? (3) 若不唯一它们之间有什么联系？
原函数存在定理
如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I 上存在可导函数F(x)，x I 都有
F ( x) = f ( x )
连续函数一定有原函数.
8
原函数的性质： (1) 如果函数 f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么 F(x)+C都是 f(x)的原函数，其中C是任意常数. 如果函数f(x) 有一个原函数，那么 f(x)就有 无限多个原函数. (2) 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数。 即 若F(x)和G(x)都是函数f(x)的原函数， 则 F ( x ) - G ( x ) = C（C为任意常数）
(10) sin 2 dx - cos x dx ( - cos x))dx 例14 sin 2 xxdx = 11- cos xdx = 11 (1- cos xxdx 例 14 sin 2x dx ==1- cos x dx ==1 (11- cos )dx 例 14 2 2 2 22 22 22
2
15
dx 例4 求 x
解
dx x 0 = ln x + C , x 1 1 ( - x ) = , x 0, [ln(- x )] = -x x dx = ln( - x ) + C , x
dx = ln | x | +C x
16
不定积分与微分运算的关系
若 f ( x )dx = F ( x ) + C ，则有
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
+1
x x +1 实例 = x x dx = + C. +1 + 1
( -1)
结论
积分运算和微分运算是互逆的， 可以根据求导公式得出积分公式.
19
基 本 积 分 公 式
(1)
(2)
kdx = kx + C （k是常数);
14
例3 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此 曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f ( x ), 已知
即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
dy = 2x , dx
2 xdx = x + C ,
2
f ( x) = x2 + C ,
由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 y = x + 1.
26
1 + x + x2 ( 2) dx . 2 x(1 + x )
x + (1 + x ) dx 解 原式 = 2 x(1 + x )
2
1 1 1 1 = + dx = dx + dx 2 2 x 1+ x x 1+ x
= arctan x + ln | x | +C
x
dx =
x
+1
+1
+ C ( -1);
dx (3) = ln x + C x
20
基 本 积 分 (7) 公 式 ( 8)
1 ( 4) dx = arctan x + C = - arc cot x + C1 2 1+ x 1 ( 5) dx = arcsin x + C = - arccos x + C2 2 1- x (6) cos xdx = sin x + C
F ( x) = f ( x) 或 dF ( x) = f ( x)dx
例
则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。 sin x = cos x ，sin x 是cos x 的原函数. 1 x 0 时， ln x = ， x